朱磊， 沈繼紅

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

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正弦信號(hào)頻率估計(jì)的改進(jìn)高階自相關(guān)算法

朱磊， 沈繼紅

(哈爾濱工程大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150001)

摘要：針對(duì)混有加性高斯白噪聲的正弦信號(hào)，利用正弦信號(hào)的線性預(yù)測(cè)性質(zhì)和高階自相關(guān)函數(shù)，提出了新的頻率估計(jì)算法。新算法與多種算法進(jìn)行了計(jì)算復(fù)雜度比較，同時(shí)理論推導(dǎo)得到新算法的頻率估計(jì)方差的閉合表達(dá)。新算法平衡了估計(jì)性能和計(jì)算量之間的矛盾。在仿真實(shí)驗(yàn)中，與改進(jìn)協(xié)方差 (MC)算法、Rim算法、Pisarenko 諧波分解 (PHD)算法及其多種改進(jìn)型算法進(jìn)行比較。結(jié)果表明：本文算法總體優(yōu)于各對(duì)比算法，特別在在信號(hào)序列較短和中高信噪比情況下，性能接近克拉美羅界。

關(guān)鍵詞：正弦信號(hào)；頻率估計(jì)；線性性質(zhì)；高階自相關(guān) ；克拉美羅界；Pisarenko諧波分解法

網(wǎng)絡(luò)出版地址：http://www.cnki.net/kcms/detail/23.1390.u.20160127.1137.036.html

正弦信號(hào)的頻率估計(jì)問(wèn)題是信號(hào)處理領(lǐng)域的一個(gè)基本問(wèn)題，其在雷達(dá)、聲吶、探測(cè)、無(wú)線通信以及語(yǔ)音識(shí)別等領(lǐng)域被廣泛關(guān)注和研究[1-4]。極大似然估計(jì)法(maximum likelihood，ML)算法能夠達(dá)到克拉美羅限，但是需要進(jìn)行大量計(jì)算[2-3]，在工程中難以實(shí)現(xiàn)。為尋找計(jì)算量合適的次優(yōu)算法，研究者進(jìn)行了很多探索[3-22]， 焦點(diǎn)集中在兩個(gè)方面：估計(jì)的精度和算法實(shí)現(xiàn)所需的計(jì)算量。最大似然估計(jì)是最優(yōu)估計(jì)，其方差接近克拉美羅限(CRLB)[1-2]，但計(jì)算量大無(wú)法滿足實(shí)時(shí)處理的要求[5]。Quinn、 Candan等[6,16-17]利用FFT系數(shù)進(jìn)行插值計(jì)算。Rife、Aboutanios等[1,18-20]利用迭代估計(jì)頻率。為了提高估計(jì)性能采用相位校正[21-22]技術(shù)，能夠在插值算法中改善算法精度。而迭代法的性能則一定程度上依賴于初值的選取[5,21]。文獻(xiàn)[5]指出當(dāng)初值落在頻率真值5倍克拉美羅限均方根范圍之內(nèi)，迭代法方可獲得高性能。設(shè)計(jì)出新的高精度直接估計(jì)法，既可為迭代提供準(zhǔn)確初值，也可直接作為頻率估計(jì)器，具備理論和應(yīng)用的價(jià)值[21]。

利用正弦信號(hào)線性(linear prediction，LP)性質(zhì)及自相關(guān)函數(shù)，研究者提出了多種算法，如改進(jìn)協(xié)方差(modified covariance，MC)算法[13]、Pisarenko諧波分解法(PHD算法)等[8]。PHD算法具備實(shí)現(xiàn)步驟簡(jiǎn)單、計(jì)算量少等優(yōu)點(diǎn)，SO等[9-10]提出了眾多改進(jìn)算法，從改進(jìn)自相關(guān)函數(shù)設(shè)計(jì)的角度，減少估計(jì)誤差。Rim等[11]則考慮利用更多自相關(guān)信息，包括高階自相關(guān)等來(lái)進(jìn)行算法改進(jìn)。曹燕[4]利用Rim算法作為初值，利用泰勒展開(kāi)式進(jìn)行頻率細(xì)化，獲得了更好的精度。本文將利用高階自相關(guān)函數(shù)在提高估計(jì)精度上的優(yōu)勢(shì)[14]與PHD算法的派生形式[12]，進(jìn)行新估計(jì)算法的設(shè)計(jì)，尋找合適的直接估計(jì)算法。

1基于線性(LP)性質(zhì)的估計(jì)方法

1.1MC估計(jì)法

單一頻率實(shí)正弦信號(hào)模型可表示為

(1)

其中

(2)

在無(wú)噪聲的情況下，利用正弦信號(hào)的LP性質(zhì)可以得到

(3)

基于LP性質(zhì)可以構(gòu)造預(yù)測(cè)誤差函數(shù):

(4)

(5)

此方法被也就是改進(jìn)協(xié)方差(modified covariance，MC)算法[13]。

1.2Rim估計(jì)法

當(dāng)噪聲存在時(shí)，MC算法是一個(gè)有偏的方法[15]。為了改進(jìn)MC算法的估計(jì)精度，不少文獻(xiàn)開(kāi)展了研究[9，11]。其中Rim提出基于自相關(guān)的頻率估計(jì)算法[11]。

無(wú)噪理想情況下，對(duì)式(1)給出的信號(hào)模型，定義基于時(shí)間平均的自相關(guān)函數(shù):

(6)

當(dāng)N足夠大時(shí)，式(6)中第二項(xiàng)趨于零，對(duì)自相關(guān)求數(shù)學(xué)期望為

(7)

式中δk,0為Kronecker函數(shù)。當(dāng)k≠0,δk=0，此時(shí)信號(hào)的自相關(guān)函數(shù)：

(8)

自相關(guān)信號(hào)的頻率與原信號(hào)頻率相同，即原信號(hào)的頻率估計(jì)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為自相關(guān)信號(hào)的頻率估計(jì)問(wèn)題。同樣利用LP性質(zhì)可得rk+rk+2≈2cos(ω0)rk+1，則對(duì)q>p>1，觀察序列:

(9)

可以得出Rim法頻率估計(jì)表達(dá)式：

(10)

對(duì)Rim算法的性能進(jìn)行了進(jìn)一步分析表明，Rim算法在中高信噪比下表現(xiàn)較好。但是由于算法需要進(jìn)行多個(gè)自相關(guān)函數(shù)計(jì)算，因此計(jì)算量較大[7]。

2基于高階自相關(guān)的頻率估計(jì)方法

從基于自相關(guān)的頻率估計(jì)誤差分析，自相關(guān)階數(shù)越高，性能越好[14]。文獻(xiàn)[12]對(duì)PHD算法的派生形式進(jìn)行了研究，提出基于方程求根形式的PHD算法表達(dá)。本文算法引入高階自相關(guān)系數(shù)，利用LP性質(zhì)推廣PHD派生形式。推導(dǎo)出基于高階自相關(guān)的估計(jì)算法。

自相關(guān)函數(shù)定義由式(6)得到，同時(shí)由式(8)可以得到

(11)

(12)

(13)

上述過(guò)程都利用了高階的自相關(guān)函數(shù)，會(huì)帶來(lái)頻率模糊問(wèn)題。文獻(xiàn)[11]和文獻(xiàn)[18]提出利用與PHD估計(jì)值最近的估計(jì)值作為算法的估計(jì)值。

(14)

表1　各種方法計(jì)算量比較

3統(tǒng)計(jì)性能分析

由式(12)定義三階多項(xiàng)式：

f(T)=4r2T3-2r3T2-3r2T+r3

(15)

(16)

(17)

利用式(6)進(jìn)行期望計(jì)算，為計(jì)算式(16)，可以從式(15)得到

(18)

(19)

分別計(jì)算E(r2)、E(r3)、E(r22)、E(r32)、E(r2r3)：

(20)

(21)

(22)

(23)

E(r2r3)=

(24)

將結(jié)果代入式(18)、(19)，通過(guò)略去高次項(xiàng)進(jìn)行近似，得到方差的精確理論估計(jì)：

(25)

當(dāng)N值較大時(shí)，式(25)的后幾項(xiàng)可以進(jìn)行進(jìn)一步的簡(jiǎn)化得到：

(26)

其結(jié)構(gòu)更加清楚簡(jiǎn)潔，當(dāng)然，準(zhǔn)確程度受到相應(yīng)的限制。通過(guò)圖像可以清楚的對(duì)比理論誤差式(25)、(26)與估計(jì)算法的數(shù)值試驗(yàn)的近似程度。

圖1顯示精確誤差公式在SNR=10 dB， N=200時(shí)能夠較好的匹配試驗(yàn)結(jié)果。但注意到式(26)在對(duì)式(25)近似時(shí)，要求合適的SNR與N值。在對(duì)SNR與N取不同值時(shí)發(fā)現(xiàn)理論誤差公式(26)在較大的SNR與較小N值情況下，近似效果較差。

圖1　SNR=10 dB， N=200時(shí)均方誤差Fig.1　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=200

圖2～4分別顯示增大SNR、長(zhǎng)度 N不變，SNR不變、N減小，SNR增大同時(shí)N減小三種情況下理論誤差公式與試驗(yàn)情況的對(duì)比圖。

通過(guò)表2，清楚的看到式(25)與式(26)的近似程度差別。雖然式(25)結(jié)構(gòu)繁瑣，但能夠更好的逼近估計(jì)誤差。在相對(duì)低SNR與高數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N情況下則能夠用式(26)近似。相對(duì)于SNR變化，式(26)對(duì)于數(shù)據(jù)長(zhǎng)度N變化更加敏感，這與理論分析相吻合。

圖2　SNR=20 dB， N=200時(shí)均方誤差Fig.2　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

圖3　SNR=10 dB， N=40時(shí)均方誤差Fig.3　MSE vsω0/π， SNR=10 dB， N=40

圖4　SNR=20 dB， N=40時(shí)均方誤差Fig.4　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=40

SNR=10dBSNR=20dBN=200好(圖1)較差(圖2)N=40差(圖3)非常差(圖4)

4仿真實(shí)驗(yàn)

利用計(jì)算機(jī)對(duì)本文提出的估計(jì)算法進(jìn)行模擬。 并將算法與PHD算法[8]、ML算法[3]、MC算法[13]、IVPHD(improved PHD)算法[9]、RPHD(reformed PHD)算法[10]、Rim算法[11]進(jìn)行比較。最后，與CRLB限[2]進(jìn)行對(duì)比。

圖5的比較結(jié)果顯示本文提出的算法明顯優(yōu)于各種PHD算法及其改進(jìn)IVPHD，RPHD算法等。特別的，在區(qū)間(0.35π,0.65π)，最大領(lǐng)先10 dB。注意到在圖2～4中，IVPHD體現(xiàn)出過(guò)大的波動(dòng)性，并且在區(qū)間(0.35π,0.65π)內(nèi)明顯差與本文算法(并且差于其他算法)，并在區(qū)間外呈現(xiàn)大幅震蕩的結(jié)果，算法穩(wěn)定性較差。并且，與計(jì)算量最大的Rim算法相比，算法總體上優(yōu)于Rim算法，特別在區(qū)間ω0≤0.2π和ω0≥0.8π有5 dB以上的優(yōu)勢(shì)，并且算法的穩(wěn)定性很好。

圖7顯示本文提出的兩種算法，與其他6種算法，在ω0=0.825π,N=20,φ=0 情況下，MSE 隨SNR 變化情況。結(jié)果顯示算法體現(xiàn)出優(yōu)勢(shì)。本文提出的算法全面優(yōu)于MC、PHD、IVPHD、RPHD，Rim算法。特別是在SNR>10 dB情況下，算法能夠接近于CLRB界，相差小于1 dB ，體現(xiàn)了計(jì)算量和計(jì)算精度很好的綜合。

圖5　SNR=20 dB 、 N=200時(shí)各算法MSEFig.5　MSE vsω0/π， SNR=20 dB， N=200

圖6　SNR=10 dB 、 N=20時(shí)各算法MSEFig.6　MSE vsω0/π， SNR=10 dB & N=20

圖7　ω0=0.85π,N=20時(shí)各算法MSEFig.7　MSE vs SNR atω0=0.85π,N=20

5結(jié)論

本文對(duì)正弦信號(hào)頻率估計(jì)問(wèn)題進(jìn)行研究，通過(guò)理論分析和推導(dǎo)，利用正弦信號(hào)的LP性質(zhì)及高階自相關(guān)函數(shù)的特點(diǎn)，提出基于高階自相關(guān)的新估計(jì)算法：

1)對(duì)算法進(jìn)行計(jì)算復(fù)雜度比較，相較其他算法，本文算法在計(jì)算量上的消耗較小。適用于實(shí)時(shí)情況；

2)利用泰勒展開(kāi)式對(duì)算法的方差進(jìn)行理論推導(dǎo)，給出本文算法的估計(jì)誤差的精確和粗略2種閉合表達(dá)式。精確公式能夠在各種條件下更準(zhǔn)確逼近估計(jì)誤差。但在N值較大情況下，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單的粗略形式表達(dá)滿足精度要求；

3)對(duì)算法的仿真結(jié)果表明，本文算法精度性能上優(yōu)于與之對(duì)比的算法，特別是在數(shù)據(jù)序列較小和中高信噪比情況下能夠逼近理論界CRLB。本文提出的估計(jì)算法能夠綜合平衡計(jì)算精度和計(jì)算量，既能單獨(dú)作為估計(jì)算法，以較小計(jì)算量滿足精度需求。同時(shí)，也能作為頻率估計(jì)迭代算法的合適初值，進(jìn)一步提高頻率估計(jì)算法的性能。

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收稿日期：2015-01-14.

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(NSFC:11002037).

作者簡(jiǎn)介：朱磊(1982-), 男,講師,博士研究生； 通信作者：朱磊, E-mail: zhulei@hrbeu.edu.cn.

doi:10.11990/jheu.201501022

中圖分類號(hào)：TN911.23

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1006-7043(2016)04-0579-06

Modified high-lag autocorrelation estimation method for frequency estimation of sinusoidal signal

ZHU Lei，SHEN Jihong

(College of Automation, Harbin Engineering University, Harbin 150001, China)

Abstract：Based on the linear prediction (LP) property and high-lag autocorrelation of sinusoidal signals, a new frequency estimation algorithm for real sinusoid signals in additive white Gaussian noise is proposed. The computational complexity and theoretical variance expression of the frequency estimation algorithm are given. The new estimator can reach a compromise between estimation performance and amount of computation. Computer simulations were performed to validate the performance of the proposed algorithm via comparison with the Cramer-Rao lower bound (CRLB) and several conventional frequency estimation algorithms, including modified covariance (MC), Rim, Pisarenko harmonic decomposition (PHD), and their modified algorithms. The results show the proposed algorithm is superior to the other methods, and its performance is close to that of CRLB for short data lengths and large SNR.

Keywords：sinusoidal signal; frequency estimation; LP property; high-lag autocorrelation; Cramer-Rao lower bound; Pisarenko harmonic decomposition

網(wǎng)絡(luò)出版日期：2016-01-27.

沈繼紅(1966-), 男, 教授，博士生導(dǎo)師.