方　睿，沈國(guó)安

(1.汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東汕頭515063；2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

?

元件相依的串、并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命及休止時(shí)間

方睿1*，沈國(guó)安2

(1.汕頭大學(xué)理學(xué)院，廣東汕頭515063；2.廈門大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,福建廈門361005)

摘要：應(yīng)用阿基米德copula刻畫隨機(jī)變量間的相依性結(jié)構(gòu),對(duì)于由兩個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng),比較了由舊元件組成的新系統(tǒng)的壽命與舊系統(tǒng)的剩余壽命的隨機(jī)大小,得到了似然比序存在的充分條件.對(duì)于由兩個(gè)元件組成的并(串)聯(lián)系統(tǒng),比較了新元件組成的系統(tǒng)的休止時(shí)間與在給定兩相似元件已損壞條件下系統(tǒng)休止時(shí)間的最大(最小)值之間的隨機(jī)大小,得到了失效率序、似然比序存在的充分條件，也給出幾個(gè)數(shù)值例子進(jìn)一步說明得到的主要結(jié)論.

關(guān)鍵詞：休止時(shí)間;剩余壽命;似然比序;失效率序;阿基米德copula

串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng)作為可靠性理論中的兩個(gè)最基本也最重要的系統(tǒng),在過去的幾十年間受到相當(dāng)?shù)年P(guān)注并已得到深入的研究.通常來說,串聯(lián)系統(tǒng)正常運(yùn)行當(dāng)且僅當(dāng)該系統(tǒng)的每個(gè)元件都正常工作,而并聯(lián)系統(tǒng)正常運(yùn)行當(dāng)且僅當(dāng)至少有一個(gè)元件正常運(yùn)行.協(xié)同系統(tǒng)是一種更一般的系統(tǒng),包含串聯(lián)和并聯(lián)系統(tǒng).有關(guān)協(xié)同系統(tǒng)可參見文獻(xiàn)[1-2].

在可靠性理論中,比較舊協(xié)同系統(tǒng)的壽命與由舊元件組成的協(xié)同系統(tǒng)的剩余壽命(休止時(shí)間、系統(tǒng)可靠性等)的隨機(jī)大小具有理論和實(shí)際指導(dǎo)意義,是一個(gè)重要的問題.具體地,對(duì)于任意時(shí)刻t≥0,舊協(xié)同系統(tǒng)在該時(shí)刻的剩余壽命和休止時(shí)間可以分別表示為[T(X)-t|T(X)>t]和[t-T(X)|T(X)≤t];由舊元件組成的協(xié)同系統(tǒng)在該時(shí)刻的剩余壽命可以表示為[(X1-t,…,Xn-t)|X1>t,…,Xn>t];而在給定元件均已失效的條件下,元件的休止時(shí)間向量可以表示為[(t-X1,…,t-Xn)|X1≤t,…,Xn≤t].在獨(dú)立假定下的研究可參閱文獻(xiàn)[3-6].事實(shí)上,在許多實(shí)際場(chǎng)景中獨(dú)立性的假設(shè)常常不能滿足,如處于同一工作環(huán)境中的各元件壽命間通常會(huì)存在一定的相依性.有關(guān)相依元件系統(tǒng)的研究結(jié)果不多,可參閱文獻(xiàn)[7-10].在比較一般的相依性結(jié)構(gòu)下,Gupta等[10]研究了元件壽命相依且同分布的兩個(gè)協(xié)同系統(tǒng)剩余壽命及休止時(shí)間的隨機(jī)大小.然而,元件同分布的假設(shè)實(shí)際中很少滿足,同時(shí)其所給出的充要條件過于復(fù)雜,導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用時(shí)即使在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)很簡(jiǎn)單的情況下也很難驗(yàn)證.為了部分克服這一缺陷,在系統(tǒng)具有阿基米德copula相依結(jié)構(gòu)的場(chǎng)景中,考慮雙元件的串、并聯(lián)系統(tǒng),比較了兩個(gè)壽命同分布的舊元件構(gòu)成的并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命與由相似新元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命之間的隨機(jī)大小;對(duì)于元件壽命不同分布的情景,比較了在給定元件都失效的條件下,元件休止時(shí)間的最大(最小)值與由相似新元件組成的并(串)聯(lián)系統(tǒng)的休止時(shí)間之間的隨機(jī)大小.這里“相似”表示元件壽命的聯(lián)合分布函數(shù)相同.

1基本概念

首先回顧幾個(gè)重要的概念,包括失效率序、似然比序、copula和阿基米德copula的定義.

2) 如果g(x)/f(x)關(guān)于x單調(diào)增加,則稱X以似然比序小于Y(記為X≤lrY).

有關(guān)更多其他隨機(jī)序可參閱文獻(xiàn)[11-12].

F(x1,x2)=C(F1(x1),F2(x2)),

則稱C為X的copula.copula刻畫了隨機(jī)變量間的相依性結(jié)構(gòu),在過去的幾十年里受到廣泛的關(guān)注.在眾多copula族類中,阿基米德copula族具有良好的數(shù)學(xué)性質(zhì),在理論分析與統(tǒng)計(jì)擬合方面均具有相當(dāng)?shù)膬?yōu)勢(shì),而且能夠刻畫很大一部分相依性結(jié)構(gòu),因此近年來在金融經(jīng)濟(jì)、精算保險(xiǎn)和統(tǒng)計(jì)分析等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用.

表1　一些常用的阿基米德copula

Tab.1　Some commonly-used Archimedean copulas

名稱生成元ψ參數(shù)copulaIndependencee-t無C1(u1,u2)=u1u2Clayton(θt+1)-1/θθ>-1C2(u1,u2)=(max{u-θ1+u-θ2-1,0})-1/θAMH1-θet-θθ∈[-1,1)C4(u1,u2)=u1u21-θ(1-u2)(1-u1)

Cψ(u1,u2)=ψ(ψ-1(u1)+ψ-1(u2)),

對(duì)任意的(u1,u2)∈[0,1]2,

(1)

阿基米德copula族包含許多copula子族,表1列出了3個(gè)常用的阿基米德copula：Independence,Clayton,AMH.更多有關(guān)阿基米德copula的研究可參閱文獻(xiàn)[13-14].

為方便起見,文中約定如下:隨機(jī)變量均為非負(fù)絕對(duì)連續(xù)隨機(jī)變量,遞增(減)性都是非嚴(yán)格意義下的單調(diào)性.

2主要結(jié)論

考慮壽命為X和Y的兩個(gè)元件,在時(shí)刻t>0,這兩個(gè)元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)與串聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命分別表示為

(max{X,Y})t=

和

(min{X,Y})t=

對(duì)應(yīng)的休止時(shí)間分別為

(max{X,Y})t=

以及

(min{X,Y})t=

由已經(jīng)工作t時(shí)間的舊元件組成的并聯(lián)與串聯(lián)系統(tǒng)的壽命分別為

類似的,在給定元件在t時(shí)刻已經(jīng)損壞的條件下,元件休止時(shí)間的最大、最小值分別為

容易看出無論X與Y具有何種相依性結(jié)構(gòu),串聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命與舊元件組成的串聯(lián)系統(tǒng)的壽命隨機(jī)相等.此外,對(duì)任意的x≥0,

P((max{X,Y})t≤x)=

(2)

2.1元件壽命同分布

考慮壽命同分布的元件組成的串、并聯(lián)系統(tǒng).假定隨機(jī)向量(X,Y)的阿基米德copula為Cψ,邊際分布函數(shù)為F以及邊際密度函數(shù)為f，則(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

P(X≤x,Y≤y)=ψ(φ(F(x))+φ(F(y))).

定理1給出了并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命以似然比序小于舊元件組成的并聯(lián)系統(tǒng)的壽命的一個(gè)充分條件.

定理1如果ψ′是單調(diào)遞增函數(shù)且ln(-ψ′)為凸函數(shù),那么對(duì)任意的t≥0,

Y>t].

f1(x)=

與

于是

令

只需證明M1(x)關(guān)于x遞減.

由ψ的單調(diào)性可知φ(F(t+x))關(guān)于x單調(diào)遞減.對(duì)任意的x1≤x2,由ln(-ψ′)的凸性和ψ′的單調(diào)遞增性質(zhì)可以得到

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x1))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x1))))≥

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t))))-

log(-ψ′(φ(F(t+x2))+φ(F(t+x2)))).

因此

M1(x)=exp{log(-ψ′(φ(F(t+x))+

φ(F(t))))-log(-ψ′(2φ(F(t+x))))}

關(guān)于x單調(diào)遞減.于是f2(x)/f1(x)關(guān)于x單調(diào)遞增,結(jié)論成立.

容易驗(yàn)證,表1中列出的Independence copula、Clayton copula(當(dāng)參數(shù)θ>0)、AMH copula(當(dāng)參數(shù)θ∈[0,1))都滿足定理1中關(guān)于copula的條件.同時(shí)需要指出的是,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),定理1結(jié)論中的等號(hào)不一定成立.當(dāng)t=0時(shí),不等號(hào)左右兩邊退化為同一個(gè)隨機(jī)變量,此時(shí)等號(hào)成立.

定理2比較了在給定元件均已失效的條件下,元件休止時(shí)間的最小(最大)值與由相似元件構(gòu)成的串(并)聯(lián)系統(tǒng)的休止時(shí)間的隨機(jī)大小,得到了似然比序存在的一個(gè)充分條件.

定理2如果ψ′是單調(diào)遞增函數(shù)且ln(-ψ′)是凹函數(shù),則對(duì)任意的t≥0,

X≤t,Y≤t],

及

X≤t,Y≤t].

(3)

與

f4(x)=

于是

M2(x)-1.

由ln(-ψ′)的凹性和ψ′的單調(diào)遞增性質(zhì),采用定理1證明中的方法,可以證明M2(x)關(guān)于x遞增,即f4(x)/f3(x)關(guān)于x的遞增.

(ii) 對(duì)x≥0,(min{X,Y})t的密度函數(shù)為

令

注意到ln(-ψ′)為凹函數(shù)且ψ′為單調(diào)遞增函數(shù),采用定理1證明中的類似方法,可以證明M3(x)關(guān)于x單調(diào)遞增,故結(jié)論成立.

不難驗(yàn)證,表1中的Independence copula、Clayton copula(當(dāng)參數(shù)θ∈(-1,0))、AMH copula(當(dāng)參數(shù)θ∈[-1,0))滿足定理2中對(duì)copula結(jié)構(gòu)的條件.此外,與定理1 類似,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),定理2結(jié)論中的等號(hào)不一定成立.對(duì)于t→∞的情形,不等號(hào)左右兩邊退化為同一個(gè)隨機(jī)變量,此時(shí)等號(hào)成立.在本小節(jié)的最后給出一個(gè)數(shù)值例子,表明定理2的結(jié)論在條件不滿足的情形下可能依然成立.

圖1　密度函數(shù)比值曲線Fig.1Curves of the ratio of density functions

2.2元件壽命不同分布

前文已經(jīng)研究了元件壽命同分布的情形,但在實(shí)際應(yīng)用中,系統(tǒng)元件壽命具有不同分布的情形更為常見.本小節(jié)將考慮元件壽命不同分布的場(chǎng)景,比較了在給定元件均已失效的條件下,元件休止時(shí)間的最大(最小)值與相似元件組成的并(串)聯(lián)系統(tǒng)休止時(shí)間的隨機(jī)大小,得到了失效率序存在的充分條件.具體的,假設(shè)兩個(gè)元件壽命X和Y的分布函數(shù)分別為F1與F2,(X,Y)具有阿基米德copula(記為Cψ),則(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)可表示為

P(X≤x,Y≤y)=

ψ(φ(F1(x))+φ(F2(y))).

定理3如果lnψ為凹函數(shù),則對(duì)任意的t≥0,有

X≤t,Y≤t],

及

Y≤t].

(ψ(φ(F1(t-x))+φ(F2(t)))+ψ(φ(F1(t))+

φ(F2(t-x))))·(ψ(φ(F1(t-x))+

φ(F2(t-x))))-1-1=M4(x)+M5(x)-1,

(4)

其中

注意到ψ為對(duì)數(shù)凹函數(shù),采用定理1證明中的思路,可以證明M4(x)和M5(x)都關(guān)于x單調(diào)遞增.故式(4)為關(guān)于x的增函數(shù).

(ii) 采用(i)中的證明思路即可證明

經(jīng)過簡(jiǎn)單計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),表1中的Independence copula、Clayton copula(當(dāng)參數(shù)θ∈(-1,0))、AMH copula(當(dāng)參數(shù)θ∈[-1,0))都滿足定理3中對(duì)copula結(jié)構(gòu)的條件要求.下面例子指出定理3中關(guān)于失效率序的結(jié)論在條件不滿足的某些場(chǎng)景中依然成立,即定理3的條件不是必要的.

例2假定X和Y分別服從參數(shù)λ為2和3的指數(shù)分布,均具有生成元為ψ(z)=(zθ+1)-1/θ的Clayton copula(見表1).顯然當(dāng)θ∈[0,∞)時(shí),ψ(z)是對(duì)數(shù)凸函數(shù),因而不滿足定理3中的條件.令θ=2和t=2.容易發(fā)現(xiàn)在t=2休止時(shí)間的支撐集為區(qū)間[0,2].

圖2　生存函數(shù)比值曲線Fig.2Curves of the ratio of survival functions

從圖2可以看出,兩條生存函數(shù)的曲線在x∈[0,2]上都是單調(diào)遞增的.所以定理3的結(jié)論仍然成立.

3結(jié)論

注意到文獻(xiàn)[15]指出,對(duì)于一個(gè)二維阿基米德copulaCψ,ln(-ψ′)的凸性等價(jià)于Cψ是CI的(一個(gè)n維隨機(jī)向量X=(X1,…,Xn)是條件遞增，記為CI),而CI是一種正相依性結(jié)構(gòu)的刻畫.由ln(-ψ′)為凹函數(shù)可知lnψ為凹函數(shù),類似于文獻(xiàn)[16-17]中的方法,容易發(fā)現(xiàn)lnψ的凹性可推出Cψ的LTI性質(zhì)[2](一個(gè)二元隨機(jī)向量(X,Y)具有左尾遞增性，記為L(zhǎng)TI),而LTI是一種負(fù)相依性的刻畫.

本研究的多數(shù)結(jié)果都是在元件壽命具有負(fù)相依性場(chǎng)景下得到的,文獻(xiàn)[18]給出了一些實(shí)際應(yīng)用中具有負(fù)相依結(jié)構(gòu)的場(chǎng)景.比如：1) 當(dāng)一個(gè)電閘失效而未能啟動(dòng)時(shí),其控制的下游電路即被切斷,電路中的電子設(shè)備所承受的負(fù)載隨即消失,它們失效的概率就會(huì)降低;2) 當(dāng)一個(gè)系統(tǒng)因某個(gè)特定元件進(jìn)行維修而停機(jī),施加在其他元件上的負(fù)荷通常也會(huì)被去除,從而這些元件失效的可能性在系統(tǒng)維修期間也會(huì)相應(yīng)降低.除了負(fù)相依性外,正相依性在可靠性領(lǐng)域?qū)嶋H應(yīng)用中也頗為常見.比如,當(dāng)幾個(gè)元件共同承擔(dān)一定工作負(fù)荷時(shí),其中一個(gè)元件的失效會(huì)加重剩余元件的工作負(fù)荷,從而導(dǎo)致這些元件失效的可能性增加.更多有關(guān)正相依性在實(shí)際場(chǎng)景中的例子可參考文獻(xiàn)[18].關(guān)于正相依性結(jié)構(gòu)場(chǎng)景的研究結(jié)論不多,而從數(shù)值例子中可以發(fā)現(xiàn),在負(fù)相依場(chǎng)景中所得到隨機(jī)比較結(jié)果很可能在正相依場(chǎng)景中依然成立,進(jìn)一步的研究具有重要的理論和實(shí)際意義.

致謝對(duì)李效虎教授在論文撰寫過程中提供的寶貴修改意見表示衷心的感謝.

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doi：10.6043/j.issn.0438-0479.201412035

收稿日期：2015-05-26錄用日期：2016-06-06

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金(11171278)；汕頭大學(xué)科研啟動(dòng)基金(NTF15002)；汕頭大學(xué)青年科研基金(YR15002)

*通信作者：xmufr1987@hotmail.com

中圖分類號(hào):O 211

文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：0438-0479(2016)04-0558-06

Stochastic Comparisons on Inactivity Times and Residual Lifetimes of Series and Parallel Systems with Dependent Components

FANG Rui1*，SHEN Guoan2

(1.College of Science,Shantou University,Shantou 515063,China;2.School of Mathematical Sciences,Xiamen University,Xiamen 361005,China)

Abstract:In this paper,we employ the Archimedean copula to characterize the dependence structure between random variables.For two-unit parallel systems,we compare the lifetime of a parallel system composed of two used units with the residual lifetime of the parallel system composed of a similar pair of new units,and obtain a sufficient condition for the existence of likelihood ratio order.as for two-unit series (parallel) systems,we compare the inactivity time of a series (parallel) system with two new unitsand the minimum (maximum) of a similar pair of units′ inactivity time given that both units have failed,and obtain several sufficient conditions for the existence of hazard rate order and likelihood ratio order.Several numerical examples are also presented to illustrate the main results.

Key words:inactivity time;residual lifetime;likelihood ratio order;hazard rate order;Archimedean copula

引文格式：方睿，沈國(guó)安.元件相依的串、并聯(lián)系統(tǒng)的剩余壽命及休止時(shí)間[J].廈門大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)，2016,55(4)：558-563.

Citation：FANG R，SHEN G A．Stochastic comparisons on inactivity times and residual lifetimes of series and parallel systems with dependent components[J].Journal of Xiamen University(Natural Science)，2016,55(4)：558-563．(in Chinese)