王會姣, 趙　瑜，原三領

(上海理工大學 理學院，上海 200093)

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具有模糊性的單種群恒化器動力學模型研究

王會姣, 趙瑜，原三領

(上海理工大學 理學院，上海 200093)

摘要：研究了一類具有模糊性的單種群恒化器模型. 給出了模型依賴于模糊參數(shù)p的得失相當常數(shù)λ(p)，且模型的動力學完全由λ(p)決定：如果λ(p)<1，微生物絕滅平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)>1， 微生物存在的正平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定. 基于上述分析，進而得到了依賴于模糊性的動力學行為的參數(shù)空間，并通過數(shù)值仿真驗證了所得理論結果. 研究結果為預測在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢提供了有效的區(qū)間估計方法.

關鍵詞：恒化器； 不確定因素； 區(qū)間值參數(shù)； 漸近行為

恒化器(chemostat)是實驗室中對微生物連續(xù)培養(yǎng)的一種裝置，在生態(tài)學和微生物生態(tài)學上具有非常重要的作用. 在生態(tài)學上，恒化器可用來模擬海洋和湖泊中單細胞藻類浮游生物的增長過程；在微生物發(fā)酵工程方面，它可以看作大型生物反應器的實驗室裝置. 恒化器有許多優(yōu)點：在實驗室中可以操作，有關參數(shù)可以通過實驗測得，且所建立的數(shù)學模型可以進行較為詳盡的數(shù)學分析. 因此，對恒化器動力學的建模研究吸引了許多學者的關注，且得到了許多有意義的成果[1-7]. 這些工作在一定程度上為從事生物發(fā)酵以及海洋湖泊微生物增長研究的生物工作者提供了可靠的數(shù)學依據(jù). 最簡單的單營養(yǎng)單種群恒化器模型[4]為

(1)

其中：S(t)和x(t)分別為t時刻恒化器中營養(yǎng)和微生物的濃度. 模型(1)中的所有參數(shù)均為正的常數(shù)：γ為微生物的增長系數(shù)，表示從營養(yǎng)到微生物的轉化率；S0為限制性營養(yǎng)的輸入濃度；D為稀釋率；mS/(a+S)表示Monod型微生物增長的功能反應函數(shù)，其中m為微生物的最大增長率，a為半飽和常數(shù). 模型(1)的動力學完全由得失相當常數(shù)λ=aD/(m-D)決定：當λ≤S0時，模型(1)存在一個全局穩(wěn)定的絕滅平衡點E0；當λ>1時，系統(tǒng)存在兩個平衡態(tài)(絕滅平衡點E0和微生物持續(xù)平衡點E*)，其中微生物持續(xù)平衡點E*全局漸近穩(wěn)定，而絕滅平衡點E0不穩(wěn)定.

模型(1)的參數(shù)是基于假設對生物系統(tǒng)和環(huán)境參數(shù)已經能夠準確了解基礎上的確定性參數(shù). 然而，由于微生物增長過程非常復雜，要準確測得恒化器中所有的狀態(tài)變量非常困難. 同時，由于受到操作誤差、測量信息缺失等因素的影響，通常測得的模型參數(shù)都會落在某一區(qū)間范圍內而不是精確的固定值[8-10]. 利用模糊微分方程來刻畫參數(shù)落在某一區(qū)間范圍的模糊動力學過程已成為一種有效的方法[11]. 例如，文獻[8]利用模糊微分方程刻畫了一類模糊參數(shù)的食餌-捕食模型；文獻[9-10]探討了一類具有模糊區(qū)間生物參數(shù)的食餌-捕食模型的最佳捕獲問題. 受此啟發(fā)，在模型(1)中考慮其模糊區(qū)間的生物參數(shù)將更加符合實際情況，所得的模型能夠更好地刻畫微生物的生長過程. 本文利用模糊微分方程相關的理論和方法來探討模糊參數(shù)對單種群恒化器模型動力學行為的影響.

1模型的建立及預備知識

首先對模型(1)進行無量綱化，令

則模型(1)可寫成如下的形式(仍用原來的符號表示各個變量和參數(shù))：

(2)

在模型(2)中將參數(shù)m和a用模糊區(qū)間值函數(shù)的方式進行刻畫，即

(3)

具有初值：

S(0)≥0,x(0)≥0,

(4)

(a) m∧和a∧的變化范圍

(b) 功能反應函數(shù)mS/(a+S)的變化范圍

一個區(qū)間數(shù)B可由閉區(qū)間[b,c]表示，并可定義為

B=[b,c]={x:b≤x≤c,x∈R}

其中：b和c分別稱為區(qū)間數(shù)B的左極限和右極限. 對任意的實數(shù)b可表示成區(qū)間數(shù)[b,b].

定義1[7]令b>0，c>0,對區(qū)間[b,c]，由于任何實數(shù)都可在一條數(shù)軸上進行表示，故將區(qū)間用一個函數(shù)來表示, 則區(qū)間[b,c]可表示成如下形式的函數(shù)：

h(p)=b(1-p)cp, p∈[0,1]

令B=[bl,bu],C=[cl,cu]為兩個區(qū)間值，下面給出其運算法則：

(1) 加法.B+C=[bl,bu]+[cl,cu]=[bl+cl,bu+cu]， 其中bl+cl>0. 對應的區(qū)間值函數(shù)h(p)=(bl+cl)1-p(bu+cu)p,p∈[0,1].

(2) 減法.B-C=[bl,bu]-[cl,cu]=[bl-cu,bu-cl]， 其中bl-cl>0. 對應的區(qū)間值函數(shù)h(p)=(bl-cl)1-p(bu-cu)p,p∈[0,1].

下面的定理1給出了模型(3)與其區(qū)間值函數(shù)形式模型(5)的等價性.

定理1模型(3)與下面的區(qū)間值函數(shù)模型(5)是等價的

(5)

其中：(ml)1-p(mu)p和(al)1-p(au)p(0≤p≤1)分別表示m和a的模糊區(qū)間值函數(shù).

證明：模型(3)可寫成如下區(qū)間值的形式：

(6)

令m1∈[ml,mu],a1∈[al,au]， 根據(jù)區(qū)間值的運算法則，系統(tǒng)(6)可簡化為

(7)

(8)

由于模型(5)與模型(3)的等價性,本文主要考慮模型(5)在模糊性條件下的動力學行為.

注1：易知，R={(S,x):S≥0,x≥0,0≤S+x≤1}為模型(3)或(5)的正向不變集.

2模型(5)的平衡態(tài)及其全局動力學行為

E*=(S*(p),x*(p))=

(9)

可定義得失相當常數(shù)為

(10)

其中：(ml)1-p(mu)p≥1.

注2：如果(ml)1-p(mu)p<1，則微生物的最大增長率小于稀釋率，此時,微生物將最終在恒化器中絕滅.

定理2如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)E0=(1,0)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)<1，E0=(1,0)不穩(wěn)定, E*=(S*(p),x*(p))全局漸近穩(wěn)定.

證明：模型的Jacobi矩陣為

(11)

在平衡點E0=(1,0)處對應的特征方程為

det(J-λI)|E0=(-λ-1)·

(12)

其特征值為

在平衡點E*=(S*(p),x*(p))處對應的特征方程為

(13)

因λ(p)<1，即(ml)1-p(mu)p-(al)1-p(au)p-1>0，可知θ>0. 此時，λ1<0，λ2<0. 因此，E*=(S*(p),x*(p))是局部漸近穩(wěn)定的結點.

為了證明平衡態(tài)E*的全局穩(wěn)定性，構造如下的Liapunov函數(shù)：

(14)

其中：α(a,m)是關于a和m的正的待定函數(shù). 易知V是正定的. 沿著模型(5)的解計算V的全導數(shù)為

(15)

顯然，V′(S*,x*)=0. 又因S*+x*=1，有：

(16)

由二次型理論可知, 要使得V′≤0，只需滿足

(17)

由式(17)可知

由注1解的正向不變集可知0

因此，使得V′≤0成立的條件為

(18)

即可選擇

(19)

使得V′≤0成立. 與此同時，當(S,x)=(S*,x*)時, V′=0.

綜述所述，如果λ(p)<1時V′<0，即為E*全局漸近穩(wěn)定，故定理2得證.

注3：由定理2的證明可知，模型(5)的動力學行為完全由依賴于模糊性的得失相當常數(shù)λ(p)決定，模糊性對模型(5)兩個平衡態(tài)的穩(wěn)定性具有顯著的影響.

3數(shù)值仿真及討論

為了驗證本文的理論結果，通過例1說明模糊性對微生物絕滅平衡態(tài)和微生物生存平衡態(tài)的影響.

例1在模型(5)中，可假定[ml,mu]=[1.2,1.6],[al,au]=[0.3,0.5]. 由于對任意p微生物絕滅平衡態(tài)總是存在的，而隨著p的變動，微生物生存平衡態(tài)會發(fā)生較大的改變.對應不同的p值，平衡點及其對應變分矩陣的特征值的變化情況如表1所示.

表1　平衡態(tài)的值、其特征值及對應的類型

由表1可知，隨著p值的增加，平衡態(tài)及其對應的變分矩陣的特征值，以及平衡態(tài)的類型都發(fā)生了改變. 為了更直觀地揭示模糊性對恒化器中單種群微生物的演化趨勢的影響，借助Matlab中的ODE45算法，得到不同p值下營養(yǎng)S(t)和微生物x(t)濃度的演化軌線圖(如圖2所示). 結合表1和圖2可知，p值對微生物的生存具有很大的影響：隨著p值的增大，原本絕滅的微生物將能夠生存下來；另一方面，微生物的演化趨勢必將介于p=0和p=1這兩條軌線之間，這就為估計恒化器中微生物的演化提供了一種趨勢范圍的預測手段. 模型的參數(shù)由于測量誤差、信息缺失等因素而導

致的不確定性是廣泛存在的，基于此，本文研究了一類具有模糊參數(shù)的單種群恒化器模型，得到了依賴于模糊性的得失相當常數(shù)λ(p)的變化對模型動力學行為的影響. 對λ(p)關于模糊參數(shù)m和a做敏感性分析，可以得到模型(5)依賴于模糊性的全局動力學行為的參數(shù)空間(如圖3所示)：如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的；如果λ(p)<1, 微生物存在平衡態(tài)是全局漸近穩(wěn)定的. 因此，模糊性對單種群恒化器模型動力學行為具有明顯的影響. 同時，本文的方法能夠為估計在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢提供有效的區(qū)間估計方法.

(a) S(t) 　　　　(b) x(t)

(a) λ(p)對m和a的敏感性分析　　　　(b) E0和E*的穩(wěn)定區(qū)域

4結語

本文得到了單種群恒化器模型的動力學行為完全由依賴于模糊性參數(shù)p的得失相當常數(shù)λ(p)決定的結論，即：如果λ(p)>1，微生物絕滅平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定；如果λ(p)<1，微生物存在的正平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定.而考慮到實際中參數(shù)的不確定性，故對模糊性的動力學行為的研究更為符合實際，并且其研究結果為預測在模糊參數(shù)影響下的恒化器中微生物的演化趨勢提供了有效的區(qū)間估計方法. 下一步的研究應在更多的生物模型領域考慮模糊參數(shù)的影響.

參考文獻

[1] SMITH H L, WALTMAN P. The theory of the chemostat: Dynamics of microbial competition[D]. Cambridge: Cambridge University Press, 1995.

[2] 陳堅, 李寅. 發(fā)酵過程優(yōu)化原理與實踐[M]. 北京: 化學工業(yè)出版社, 2001.

[3] 阮士貴. 恒化器模型的動力學[J]. 華中師范大學學報(自然科學版), 1997, 31(4): 377-397.

[4] GARD T C. A new Liapunov function for the simple chemostat[J]. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2002 (3): 221-226.

[5] 李姣, 孟琳琳. 具有多個參數(shù)擾動的隨機恒化器模型研究[J]. 上海理工大學學報，2013, 35(6): 523-530.

[6] 凌志超, 張?zhí)焖? 恒化器中一類具有非常數(shù)消耗率微生物培養(yǎng)模型的定性分析[J]. 上海理工大學學報，2010, 32(6): 539-548.[7] XU C Q, YUAN S L, ZHANG T H . Asymptotic behavior of a chemostat model with stochastic perturbation on the dilution rate[J]. Abstract and Applied Analysis, 2013, DOI：10.1155/2013/ 423154.[8] PEIXOTO M S, BARROS L C, BASSANEZI R C. Predator-prey fuzzy model[J]. Ecological Modelling, 2008, 214(1): 39-44.[9] PAL D, MAHAPTRA G S, SAMANTA G P. Optimal harvesting of prey-predator system with interval biological parameters: A bioeconomic model[J]. Mathematical Biosciences, 2013,241 (2): 181-187.

[10] ZHANG X B, ZHAO H Y. Bifurcation and optimal harvesting of a diffusive predator-prey system with delays and interval biological parameters[J]. Journal of Theoretical Biology,2014，363: 390-403.

[11] LAKSHMIKANTHAM V, MOHAPATRA R N. Theory of fuzzy differential equations and inclusions[M]. London:Taylor & Francis, 2003.

文章編號：1671-0444(2016)03-0437-06

收稿日期：2015-06-24

基金項目：國家自然科學基金資助項目(11271260)；上海市教委科研創(chuàng)新重點資助項目(13ZZ116)；中國滬江基金資助項目(B14005)；上海市一流學科資助項目(XTKX2012)

作者簡介：王會姣(1988—)，男，河北邢臺人，碩士研究生，研究方向為生物數(shù)學.E-mail:13167051881@163.com 原三領(聯(lián)系人), 男，教授，E-mail: sanling@usst.edu.cn

中圖分類號：O 159

文獻標志碼：A

Study on the Dynamics of a Single-Species Chemostat Model with Fuzziness

WANGHui-jiao,ZHAOYu,YUANSan-ling

(College of Science, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)

Abstract:A single-species chemostat model with fuzziness is considered. The break-even concentration λ(p)，which depends on the fuzzy parameter p is first given, and the dynamics of the model is completely determined by λ(p): if λ(p)>1， then the extinction equilibrium is globally stable; if λ(p)<1， then the positive equilibrium of microorganism survival is globally stable. Based on the above analysis, the parameter space of dynamic behaviors which depend on the fuzziness is derived. Numerical simulations are carried out to support the theoretical results obtained. The research result provides an effective method on the prediction of the evolution ranges of the microorganism in chemostat under the influence of fuzzy parameters.

Key words:chemostat; uncertain factors; interval-valued parameters; asymptotic behavior