劉艷玲(山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學(xué))
含參數(shù)的一元二次不等式的解法
劉艷玲
(山西省呂梁市離石區(qū)江陰高級中學(xué))
含參數(shù)不等式的求解問題一直是高中數(shù)學(xué)的一個難點,求解這類問題,需要學(xué)生具有一定的分析能力和掌握相應(yīng)的解題技巧。
含參數(shù)的不等式;分類討論;解法
所謂含參數(shù)的不等式,就是指除含未知數(shù)之外還含有參數(shù)的不等式。此類不等式,往往因參數(shù)的取值范圍不同,解集也不同。這類問題是中學(xué)數(shù)學(xué)的難點之一,學(xué)生對其常常難以駕馭,因此有必要研究其解法。本文重點討論形如ax2+bx+c〉0(或ax2+bx+c<0)的一元二次不等式模型,談?wù)劮诸愑懻撍枷朐诮獠坏仁街械暮唵螒?yīng)用。
例1.解關(guān)于x的不等式x2-(a2+a)x+a3〉0。
分析:先利用因式分解確定對應(yīng)方程的兩根,對兩根的大小進行分類討論。
解:原不等式可化解為(x-a2)(x-a)〉0。
(1)當(dāng)a2〉a,即a〉1或a<0時,原不等式的解集為{x|x<a或x〉a2}。
(2)當(dāng)a2=a,即a=1或a=0時,原不等式的解集為R。
(3)當(dāng)a2<a,即0<a<1時,原不等式的解集為{x|x<a2或x〉a}。
綜上所述,當(dāng)a〉1或a<0時,原不等式的解集為{x|x<a或x〉a2}。
當(dāng)a=1或a=0時,原不等式的解集為R。
當(dāng)0<a<1時,原不等式的解集為{x|x<a2或x〉a}。
規(guī)律總結(jié):當(dāng)不等式對應(yīng)方程根的大小不確定時,必須討論根的大小,以確定不等式的解集。
例2.解關(guān)于x的不等式ax2+(1-a)x-1〉0。
分析:先利用因式分解對不等式進行因式分解。因為二次項系數(shù)含有參數(shù),因此需要對a與0進行分類,若a≠0,則需要比較兩根的大小。
解:原不等式可化解為(x-1)(ax+1)〉0。
1.當(dāng)a=0時,原不等式為x-1〉0,則x〉1。
∴原不等式的解集為{x|x〉}1。
當(dāng)a=-1時,原不等式的解集為?。
規(guī)律總結(jié):解二次項含參數(shù)的一元二次不等式一定要對參數(shù)大于0,等于0和小于0展開討論。
例3.解關(guān)于x的不等式2x2+ax+2=0。
分析:二次系數(shù)為2,判別式Δ=a2-16不為完全平方式,故不能確定根,因此需要對判別式Δ的符號進行討論,確定根的個數(shù)。
解:Δ=a2-16=(a+4)(a-4)。
(1)當(dāng)a〉4或a<-4時,Δ〉0,方程2x2+ax+2=0的兩根為
(3)當(dāng)-4<a<4時,Δ<0,方程無根,原不等式的解集為R。
綜上所述,
當(dāng)a〉4或a<-4時,原不等式的解集為
當(dāng)-4<a<4時,原不等式的解集為R。
規(guī)律總結(jié):若一元二次方程判別式符號不確定,應(yīng)分Δ〉0,Δ= 0,Δ<0討論。
本文由淺入深地介紹了含有參數(shù)的一元二次不等式模型的幾種基礎(chǔ)解法。我們可以發(fā)現(xiàn),在求解此類問題時,應(yīng)正確認(rèn)識問題中的參數(shù),確定不等式的類型,按相應(yīng)類型不等式的解題方法進行求解,希望能對大家學(xué)習(xí)含參數(shù)一元二次不等式有所幫助。
·編輯 謝尾合