一類改進(jìn)的捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

王白雪， 賈云鋒

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

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一類改進(jìn)的捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

王白雪， 賈云鋒*

(陜西師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院， 陜西 西安 710119)

研究了在齊次Neumann邊界條件下一類帶有Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)項(xiàng)的改進(jìn)的Leslie-Gower捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。給出了關(guān)于正平衡點(diǎn)存在唯一的結(jié)果,利用單調(diào)迭代方法得到了正平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定的充分條件。

改進(jìn)的Leslie-Gower捕食-食餌模型; Beddington-DeAngelis反應(yīng)項(xiàng); 唯一性; 穩(wěn)定性

MR subject classification: 35K57

自經(jīng)典的Lotka-Volterra捕食-食餌模型[1]被提出以來(lái), 捕食-食餌模型作為數(shù)學(xué)生物學(xué)中一類重要的模型一直受到學(xué)者的廣泛關(guān)注。近幾十年,許多捕食-食餌模型被提出并取得了許多有價(jià)值的研究成果[2-14]。

(1)

其中Ω為Rn(n≥1)中具有光滑邊界?Ω的有界開(kāi)區(qū)域,ν為邊界?Ω上的單位外法向量。u、v分別表示食餌和捕食者的種群密度,d1、d2分別為u、v的擴(kuò)散率,a、b分別為u、v的生長(zhǎng)率,c為自飽和食餌密度,α為v的捕食率,m為飽和常數(shù),β表示v的轉(zhuǎn)換率,r為環(huán)境對(duì)v的承載量。u0(x)、v0(x)為Ω上的光滑函數(shù)。所有參數(shù)都為正常數(shù)。

穩(wěn)定性是種群系統(tǒng)的一個(gè)極其重要的特性, 研究任何一個(gè)種群系統(tǒng), 穩(wěn)定性是必不可少的內(nèi)容。例如,文獻(xiàn)[9-10]研究了一類Holling-Tanner型捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[11-12]討論了一類比率依賴型捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性,文獻(xiàn)[13]考慮了一類帶有B-D反應(yīng)項(xiàng)的捕食-食餌模型正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性和圖靈不穩(wěn)定,文獻(xiàn)[14]研究了一類具有Holling Ⅲ型非線性密度制約捕食-食餌模型共存解的穩(wěn)定性等。

本文主要研究系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。首先，討論系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)的存在唯一性; 其次, 討論正平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性和全局漸近穩(wěn)定性。

1　正平衡點(diǎn)的存在唯一性

定理1若

αbr<α(cr+cβ+mbr)

(2)

和以下兩個(gè)條件

a

(3)

a>c+r+β+mb,a(c+r+β+mb)>cr+cβ+

mbr+αb

(4)

之一成立, 則系統(tǒng)(1)存在唯一正平衡點(diǎn)(u*,v*)。

-u3+(a-c-r-β-mb)u2+(ac+ar+aβ+

amb-cr-cβ-mbr-αb)u+

a(cr+cβ+mbr)-αbr=0

(5)

有唯一正根u*。記

s(h)=-h3+(a-c-r-β-mb)h2+(ac+ar+aβ+amb-cr-cβ-mbr-αb)h+a(cr+

cβ+mbr)-αbr。則s(h)關(guān)于h的導(dǎo)數(shù)為

s′(h)=-3h2+2(a-c-r-β-mb)h+

a(c+r+β+mb)-cr-cβ-mbr-αb。

即a

亦即(3)、(4)式成立,定理結(jié)論得證。

a>c+r+β+mb,

a(c+r+β+mb)

(6)

由二次函數(shù)的性質(zhì)知,若(2)式和(6)式成立,則系統(tǒng)(1)存在正平衡點(diǎn)。

2　正平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性

定理2設(shè)定理1的條件成立。若a≤c,則系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)是局部漸近穩(wěn)定的。

該定理的證明只需考慮系統(tǒng)(1)在(u*,v*)處線性化算子特征值實(shí)部的正負(fù)即可,證明從略。

下面運(yùn)用單調(diào)迭代方法討論系統(tǒng)(1)正平衡點(diǎn)(u*,v*)的全局漸近穩(wěn)定性。為此,引入如下引理[15]。

引理1若c>0,z(x,t)滿足

定理3若ac-bα>0且r[(c-a)(r+β)+mbr]-acβ>0,則系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的。

設(shè)(u(x,t),v(x,t))是系統(tǒng)(1)的任一非負(fù)解,則從系統(tǒng)(1)第一個(gè)方程可知,u(x,t)滿足

由系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程可知,v(x,t)滿足

這樣，由上式和系統(tǒng)(1)第一個(gè)方程知,u(x,t)滿足

同時(shí),由系統(tǒng)(1)第二個(gè)方程還可得到v(x,t)滿足

這樣，由以上討論可知

(7)

(8)

設(shè)

則當(dāng)u、v>0時(shí),易知

(9)

因此,由(7)—(9)式及歸納法可得

(10)

利用拋物型方程比較原理和歸納法可得

(11)

(12)

(13)

(14)

(13)、(14)式后面的等式相減可得

(15)

將(14)式的第二個(gè)方程代入(13)式的第一個(gè)方程可得

a(cr+cβ+mbr)+αbr=0。

(16)

(13)式的第二個(gè)方程代入(14)式的第一個(gè)方程可得

a(cr+cβ+mbr)+αbr=0。

(17)

(16)式減(17)式可得

ar-aβ+ac+amb-αb]=0。

(18)

ar+aβ-ac-amb+αb。

(19)

由題設(shè)的后一個(gè)條件可得

ar(r+β)-acr-ambr

a(cr+mbr+cβ)。

(20)

利用(2)式和(20)式可知

-cr-cβ-mbr+ar+aβ-ac-amb+αb<0。

即系統(tǒng)(1)的正平衡點(diǎn)(u*,v*)是全局漸近穩(wěn)定的。定理結(jié)論得證。

3　結(jié)語(yǔ)

本文主要運(yùn)用單調(diào)迭代方法研究了一類帶有Beddington-DeAngelis型功能反應(yīng)項(xiàng)的改進(jìn)的Leslie-Gower捕食-食餌模型, 分析了模型正平衡點(diǎn)的局部和全局漸近穩(wěn)定性。文中所采用的相關(guān)研究方法是偏微分方程理論及工具在種群生態(tài)學(xué)中的具體應(yīng)用, 所得結(jié)論對(duì)研究具體的生物種群動(dòng)力學(xué)具有一定的現(xiàn)實(shí)意義。

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〔責(zé)任編輯宋軼文〕

Stability of positive equilibrium for a modified predator-prey model

WANG Baixue, JIA Yunfeng*

(School of Mathematics and Information Science, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

A modified Leslie-Gower predator-prey model with Beddington-DeAngelis functional response under homogeneous Neumann boundary condition is considered. Firstly, the existence and uniqueness result of positive constant equilibrium is obtained under certain conditions. Secondly, the sufficient condition for the global asymptotic stability of the positive constant equilibrium is given by the monotone iteration principle.

modified Leslie-Gower predator-prey model; Beddington-DeAngelis functional response; uniqueness; stability

1672-4291(2016)04-0001-04

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.141

2015-04-13

國(guó)家自然科學(xué)基金(11271236); 陜西省自然科學(xué)基礎(chǔ)研究計(jì)劃(2015JQ1023)

賈云鋒, 男, 副教授, 博士。E-mail:jiayf@snnu.edu.cn

O175.26

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