一維不連續(xù)映像動力學時間序列的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析

路少懷， 杜如海， 屈世顯

(陜西師范大學 物理學與信息技術(shù)學院， 陜西 西安 710119)

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一維不連續(xù)映像動力學時間序列的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)分析

路少懷， 杜如海， 屈世顯*

(陜西師范大學 物理學與信息技術(shù)學院， 陜西 西安 710119)

利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法研究了一維不連續(xù)映像的動力學，建立了不同動力學狀態(tài)時間序列相應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。對于任意P周期吸引子，可以構(gòu)成相互獨立的P個全連接網(wǎng)絡(luò)；對于混沌吸引子，可以構(gòu)成許多分立的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。同時，討論了系統(tǒng)所對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的連接密度、聚類系數(shù)、平均最短路徑長度等特征量隨控制參數(shù)變化的特征，分析了網(wǎng)絡(luò)特征量與系統(tǒng)動力學之間的聯(lián)系。結(jié)果發(fā)現(xiàn):連接密度在不同周期吸引子間有不連續(xù)的躍變，在周期吸引子和混沌吸引子轉(zhuǎn)變時出現(xiàn)不光滑變化；聚類系數(shù)和平均最短路徑在周期吸引子與混沌吸引子間發(fā)生轉(zhuǎn)變，并且在吸引子融合處均呈現(xiàn)不光滑轉(zhuǎn)變。因此，可以用相應(yīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征量刻畫不同動力學狀態(tài)及指示其轉(zhuǎn)變，并且當有吸引子共存出現(xiàn)時，這些量可以檢出周期吸引子。

遞歸圖； 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)； 不連續(xù)映像； 動力學轉(zhuǎn)變

PACS: 89.75.Hc, 05.40 Fb,05.60.-k

利用現(xiàn)代數(shù)據(jù)分析技術(shù)研究復(fù)雜動力學系統(tǒng)特征已受到研究者越來越多的重視[1-3]，其應(yīng)用范圍涉及許多科學領(lǐng)域，例如：天體物理學、經(jīng)濟學、生命科學等。 關(guān)聯(lián)維數(shù)、李雅普諾夫指數(shù)、互信息等方法已被廣泛運用[2-4]。 然而，這些方法需要使用很長的數(shù)據(jù)序列，而在分析具有較短時間序列的實際數(shù)據(jù)時，可能會導(dǎo)致不正確的結(jié)果。 因此，發(fā)展針對實際系統(tǒng)小數(shù)據(jù)時間序列特征的分析方法非常必要。

近年來，網(wǎng)絡(luò)中小世界效應(yīng)和無標度特性的發(fā)現(xiàn)引起了復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)研究的熱潮。 典型的網(wǎng)絡(luò)是由許多節(jié)點以及節(jié)點之間的連邊組成。 節(jié)點用來代表真實系統(tǒng)中的不同個體，而邊則用來表示不同個體之間的關(guān)系。 為了研究復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的統(tǒng)計特征，人們提出了平均路徑長度、聚類系數(shù)、連接密度、度分布等概念。 復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)作為一種新方法已被用于研究動力學系統(tǒng)的時間序列[5]。 在這類工作中，基于動力學狀態(tài)的時間序列，利用所謂遞歸圖方法直觀表示系統(tǒng)的動力學特征, 并通過所謂遞歸矩陣建立不同時刻系統(tǒng)狀態(tài)之間的聯(lián)系，從而構(gòu)建以動力學狀態(tài)為節(jié)點的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。 利用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的局部和全局性質(zhì)的特征量描述系統(tǒng)的動力學特征及不同動力學狀態(tài)間的相互轉(zhuǎn)變[6-9]。 基于該方法，可以獲得大量有關(guān)系統(tǒng)動力學的信息，其優(yōu)越性在于可以用來分析那些包含臨界特征的短時間序列的非穩(wěn)態(tài)實際數(shù)據(jù)。

在Marwan等人[5]的工作中，復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法的研究對象主要集中于連續(xù)映像。 然而，在許多實際系統(tǒng)中，例如：神經(jīng)細胞[10]、心臟病[11]、張弛振子和沖擊振子[12-13]、繼電控制系統(tǒng)[14]、直流變換器等，其動力學往往表現(xiàn)出不連續(xù)變化，可以用不連續(xù)映像描述系統(tǒng)的動力學。 在這類系統(tǒng)中，由于邊界碰撞分岔造成與處處光滑系統(tǒng)非常不一樣的動力學行為，例如：V型陣發(fā)、多重魔鬼階梯、吸引子共存、激變等。 因此，不連續(xù)映像中的動力學行為是一個非常重要的研究領(lǐng)域。 特別需要指出的是，在以往的基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的研究中，尚未見到處理具有共存現(xiàn)象的例子。

在本文中，我們以一個一維不連續(xù)不可逆映像[15]為例，在不同動力學參數(shù)區(qū)間構(gòu)建復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，計算其相應(yīng)的特征量，并以此作為揭示動力學狀態(tài)及其轉(zhuǎn)變的特征指標。

1 模型與方法

本文所使用的動力學模型是一維不連續(xù)不可逆映像，即

xn+1=fi(xn)=ki·xn+bi(i=1,2,3,4),

(1)

其中:

k3=0.307 055,b3=-0.530 165,x∈[xg,xF];

k4=0.405 507,b4=-0.201 586,x∈[xF,1]。

變量yb=b1-μ,yA=0.203 921,yC=0.46,yG=yA,xb=0.107 663,xg=0.35,xF=0.497 121,μ∈[0.025,0.06]為控制參數(shù)。 隨著控制參數(shù)μ的變化，映像表現(xiàn)出豐富的動力學行為，圖1為相應(yīng)的分岔圖。 圖中顯示，當μ<μ1時，只有5周期吸引子；當μ1≤μ<μ2時，5周期吸引子與11帶混沌吸引子共存；當μ2≤μ<μ3時，只有5周期吸引子；當μ3≤μ<μ4時，5周期與6周期吸引子共存；當μ4≤μ<μ5時，周期6軌道經(jīng)邊界碰撞分岔轉(zhuǎn)變?yōu)?2帶混沌吸引子，出現(xiàn)5周期吸引子與12帶混沌吸引子共存；當μ5≤μ<μ6時，12帶混沌融合轉(zhuǎn)變?yōu)?帶混沌，出現(xiàn)5周期吸引子與6帶混沌吸引子共存；μ6≤μ，周期5軌道經(jīng)邊界碰撞分岔消失，僅存在混沌吸引子。 其中，μ1=0.028 79,μ2=0.030 40,μ3=0.039 56,μ4=0.045 06,μ5=0.050 11,μ6=0.051 14。

圖1　模型的分叉圖

下面敘述通過映像動力學狀態(tài)的時間序列構(gòu)造復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的方法。 考慮一維動力學系統(tǒng)，設(shè)xi(i=1,2,…N) 為相空間中不同時刻的動力學狀態(tài)，即離散時間序列。 據(jù)此可以定義如下遞歸矩陣R，其矩陣元可由下式得到

Ri,j=Θ(ε-d(xi-xj)),

(2)

其中:Θ(x)為階躍函數(shù);ε為距離閾值，在本工作中設(shè)為0.000 8;d(xi,xj)=|xi-xj|為狀態(tài)xi和xj間的距離,若d(xi,xj)≤ε，Ri,j=1，反之，Ri,j=0。 顯然，遞歸矩陣反映了第i個時間步時系統(tǒng)的狀態(tài)與第j個時間步的狀態(tài)在相空間的鄰居關(guān)系。Ri,j=1表明兩個狀態(tài)在相空間互為鄰居，Ri,j=0表明兩狀態(tài)在相空間中不相關(guān)。 如果將系統(tǒng)的狀態(tài)xi看做節(jié)點，Ri,j=1表示狀態(tài)xi和xj間有連邊，Ri,j=0表示兩個節(jié)點間沒有連邊。 因此，可以由系統(tǒng)的時間序列構(gòu)建一個復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)。 顯然，除對角元外遞歸矩陣就與復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣相應(yīng)。 因此，移除遞歸矩陣中的主對角元素，即可得到一個無權(quán)無向網(wǎng)絡(luò)的鄰接矩陣A，其矩陣元為

Ai,j=Ri,j-δi,j(i,j=1,2,…,N),

(3)

其中，δi,j是克羅內(nèi)克符號。 這樣，就可以用復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的語言描述系統(tǒng)的動力學特征。 基于鄰接矩陣A，可以計算復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的局部和全局特征量：節(jié)點度ki、連接密度ρ、聚類系數(shù)C和平均最短路徑長度L。 節(jié)點的度定義為

(4)

N表示節(jié)點i鄰居的數(shù)目。 節(jié)點的度是一個局部量，可以反映系統(tǒng)局部轉(zhuǎn)態(tài)的相空間密度。 進一步，對所有節(jié)點的度求平均可以得到連接密度，即

(5)

該特征量反映動力學狀態(tài)的相空間分布密度。 對于每個節(jié)點i可以定義聚類系數(shù)為

(6)

(7)

其中，di,j是指從節(jié)點i到節(jié)點j的最少連邊數(shù)目。

2 結(jié)果與討論

對于任意初值，我們選取6 000個連續(xù)時間步。 除去5 000個瞬態(tài)，則用于統(tǒng)計的時間序列長度為N=1 000。 我們計算了三個全局特征量隨著映像控制參數(shù)μ的變化情況。 考慮到系統(tǒng)在一些參數(shù)區(qū)間中出現(xiàn)吸引子共存，不同的初值選擇，對應(yīng)不同的網(wǎng)絡(luò)類型。 根據(jù)上一節(jié)所述的方法，對于一個周期P吸引子，其時間序列在相空間中僅存在P個相互獨立的、且互不為鄰的動力學狀態(tài)，每個狀態(tài)的鄰居只能是其自身。 因此，通過周期P的時間序列可以構(gòu)建P個相互獨立的全連網(wǎng)絡(luò)。 根據(jù)定義可以得到，周期吸引子網(wǎng)絡(luò)的連接密度為ρ=(N/P-1)/(N-1)，聚類系數(shù)C=1，平均最短路徑L=1。 對于混沌吸引子，盡管其動力學狀態(tài)具有內(nèi)稟隨機性，但其在相空間的分布卻是有結(jié)構(gòu)的。 因而，通過其時間序列構(gòu)建的網(wǎng)絡(luò)不會是全連通網(wǎng)絡(luò)，而是形成許多不同尺寸的獨立網(wǎng)絡(luò)、節(jié)點對或孤立節(jié)點(如圖2所示)。 在這種情況下，我們不能像周期吸引子那樣給出三個特征量的解析表達式，只能通過數(shù)值計算確定它們的數(shù)值。 混沌吸引子所構(gòu)成網(wǎng)絡(luò)的性質(zhì)導(dǎo)致網(wǎng)絡(luò)的連接密度和聚類系數(shù)小于周期吸引子情況下的值，而平均最短路徑卻要大于周期吸引子下的值。

圖2　混沌吸引子對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)示意圖

首先，我們討論網(wǎng)絡(luò)的連接密度ρ隨控制參數(shù)的變化。 圖3顯示，對于周期吸引子，連接密度是周期P與序列長度N的有理函數(shù)，當動力學從一個周期態(tài)向另一個不同周期態(tài)轉(zhuǎn)變時將發(fā)生不連續(xù)的躍變，即Δρ=N(1/P2-1/P1)/(N-1)，例如圖3中，μ∈[μ3,μ4]出現(xiàn)了周期5和周期6共存，我們觀察到兩者連接密度存在有限差值。 這表明，可以用連接密度的躍變明確地指示這種不同或者轉(zhuǎn)變。 混沌吸引子對應(yīng)著獨立網(wǎng)絡(luò)，因此相應(yīng)的連接密度較小，隨控制參數(shù)增加而呈連續(xù)變化的趨勢，如圖3中區(qū)域[μ1,μ2)和[μ4,0.060)所示。 在這兩個區(qū)域中，隨控制參數(shù)的增加網(wǎng)絡(luò)連接密度減小，這是由于混沌帶的寬度隨控制參數(shù)的增加而增寬，從而造成落入任意狀態(tài)xi的ε鄰域中的狀態(tài)數(shù)減少。 在這兩個區(qū)域的邊界上，即μ=μ1、μ2、μ4時，系統(tǒng)動力學行為發(fā)生了轉(zhuǎn)變，因此相應(yīng)的網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)發(fā)生了突變，因此可以看到連接密度的不連續(xù)變化。 我們注意到，在μ=μ5時，網(wǎng)絡(luò)連接密度有一微小的凸起。 這是由于該控制參量下發(fā)生了12帶混沌融合為6帶混沌吸引子，在融合點附近的一些原來不相關(guān)網(wǎng)絡(luò)融合成較大網(wǎng)絡(luò)，從而導(dǎo)致連接密度的些微增加。 我們將在后面的部分仔細討論其機制。

需要特別指出，在出現(xiàn)共存的參數(shù)區(qū)域，例如[μ1,μ2)、[μ3,μ4)和[μ4,μ5)，不同的初值對應(yīng)著不同的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，我們在圖3、圖4和圖5中將不同吸引子對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的特征值分別標出。 共存的周期5吸引子對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的特征值用虛線標出，共存的其他周期吸引子網(wǎng)絡(luò)的特征值用實線標出，共存的混沌吸引子網(wǎng)絡(luò)的特征值用數(shù)據(jù)點標出。

圖3　連接密度隨控制參數(shù)μ的變化

進一步討論網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)C隨控制參數(shù)變化情況。 圖4顯示，周期吸引子對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)均為1，與前面的預(yù)測結(jié)果一致。 因此，聚類系數(shù)C無法區(qū)分不同周期狀態(tài)間的轉(zhuǎn)變, 但可以明顯區(qū)分周期狀態(tài)和混沌狀態(tài)間的轉(zhuǎn)變。 在混沌狀態(tài)，隨控制參量增加落入任意狀態(tài)鄰域中的其他時刻狀態(tài)的數(shù)目減小，相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)節(jié)點間的連邊減少，因此在圖4的區(qū)域[μ1,μ2)和[μ4,0.060)中聚類系數(shù)隨控制參數(shù)的增加而減小。 注意，在μ=μ5時聚類系數(shù)的變化曲線出現(xiàn)一個尖點，這是由于混沌帶的融合造成了相應(yīng)網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)變化的結(jié)果。 因此，聚類系數(shù)C可以用來指示不同混沌吸引子間的轉(zhuǎn)變。

圖4　網(wǎng)絡(luò)的聚類系數(shù)隨控制參數(shù)μ的變化

最后，我們討論平均最短路徑長度L隨控制參數(shù)的變化情況。 如圖5所示，周期吸引子所對應(yīng)網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度均為1，與解析結(jié)果一致，因而不能用于區(qū)分不同周期態(tài)之間的轉(zhuǎn)變，但可以用于區(qū)分周期態(tài)和混沌態(tài)間的轉(zhuǎn)變。 而當系統(tǒng)處于混沌狀態(tài)時，L隨控制參數(shù)的變化卻出現(xiàn)比較復(fù)雜的情況。 在區(qū)域[μ1,μ2)和[μ4,μ5)，L隨控制參數(shù)的增加而增大。 這樣的變化是可以理解的，因為在這兩個區(qū)域中的混沌帶單純由失穩(wěn)的不動點造成，隨著其寬度增加動力學狀態(tài)在相空間中的分布范圍擴大。 再考慮到平均最短路徑長度L本質(zhì)上是以ε為單位任意兩個狀態(tài)間距離的平均值，所以L隨之增大。 這樣，在μ=μ1、μ2、μ4各臨界點上L出現(xiàn)非光滑變化。 因此，可以用它來指示周期態(tài)與混沌態(tài)間的轉(zhuǎn)變。 有趣的是，當μ≥μ5時，平均最短路徑卻隨控制參數(shù)的增加而減小。 顯然，我們不能用前述原因解釋。

圖5　平均路徑長度隨控制參量μ的變化

圖6中給出幾個典型控制參數(shù)下系統(tǒng)處于12帶混沌吸引子和6帶混沌吸引子所對應(yīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)的拓撲圖。 當μ=0.045 08時(見圖6a)，系統(tǒng)剛剛通過邊界碰撞分岔經(jīng)由周期6轉(zhuǎn)變?yōu)?2帶混沌狀態(tài)，因此我們可以觀察到12個獨立的近乎全連的網(wǎng)絡(luò)。 這時，網(wǎng)絡(luò)的連接密度ρ小于周期6時的值(如圖3所示)，聚類系數(shù)C略小于1(如圖4所示)，而平均最短路徑長度L略大于1。 當μ=0.048 00時(見圖6b)，該12個網(wǎng)絡(luò)拆分為許多較小的網(wǎng)絡(luò)和數(shù)量較小的節(jié)點對和孤立節(jié)點。 這些較小的網(wǎng)絡(luò)顯著地偏離全連網(wǎng)絡(luò)，因此其連接密度和聚類系數(shù)較前者小，而平均最短路徑長度大于前者。 而當μ=0.050 00時，網(wǎng)絡(luò)進一步碎片化(見圖6c)，出現(xiàn)了較多的節(jié)點對和孤立點，因此，ρ和C進一步減小，而L進一步增大。 值得注意的是，當μ=0.050 11時系統(tǒng)的12條混沌帶剛剛開始融合為6帶混沌吸引子，從而引起了與融合點附近軌跡點相應(yīng)的節(jié)點所屬網(wǎng)絡(luò)的融合, 見圖6d中間區(qū)域的巨大網(wǎng)絡(luò)；所以，我們在圖5中觀察到平均最短路徑的突然躍升。 然而，與遠離融合區(qū)的軌跡點對應(yīng)的孤立節(jié)點和小網(wǎng)絡(luò)的數(shù)目基本保持不變。 因此，我們可以在圖3中觀察該臨界點處連接密度的些微抬升，在圖4中觀察到一個尖點。 當μ=0.053 00(見圖6e)時，由于系統(tǒng)的動力學變得更加無序，圖6d中央的巨大網(wǎng)絡(luò)碎片化，孤立節(jié)點增多。 因此，平均最短路徑減小。μ=0.056 00時(見圖6f)，較大的網(wǎng)絡(luò)進一步碎片化，孤立點進一步增多，因此平均最短路徑長度則進一步減小。 因此，平均最短路徑長度還可以明顯地標示混沌融合。

圖6 12帶和6帶混沌吸引子的網(wǎng)絡(luò)拓撲圖(x0=0.70)

Fig.6Network Topologies for band-12 and band-6 chaotic attractors(x0=0.70)

3 結(jié)論

本文基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)方法建立了一維不連續(xù)不可逆映像的時間序列所對應(yīng)的復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)，計算了網(wǎng)絡(luò)的平均最短路徑長度、聚類系數(shù)、連接密度等特征量隨控制參數(shù)的變化。 結(jié)果發(fā)現(xiàn)，當系統(tǒng)的動力學狀態(tài)出現(xiàn)轉(zhuǎn)變時，網(wǎng)絡(luò)特征量具有明顯的變化。 因此，可以用相應(yīng)復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)特征量刻畫不同動力學狀態(tài)及其轉(zhuǎn)變。 連接密度可以顯著呈現(xiàn)周期吸引子與周期吸引子間的轉(zhuǎn)變，以及周期吸引子與混沌吸引子間的轉(zhuǎn)變。 而平均最短路徑長度和聚類系數(shù)不僅可以標示上述轉(zhuǎn)變，而且可標示混沌融合或激變。 當時間序列中存在周期吸引子和其他吸引子共存的情形時，通過判斷全連網(wǎng)絡(luò)的數(shù)目可以將周期吸引子檢出。

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〔責任編輯 李博〕

Complex network analysis on the dynamical time series in one dimensional discontinuous map

LU Shaohuai, DU Ruhai, QU Shixian*

(School of Physics and Information Technology, Shaanxi Normal University,Xi′an 710119, Shaanxi, China)

The dynamics of one dimensional discontinuous map is investigated by the complex network approach. The complex networks are built for corresponding time series of different dynamical states. There arePindependent full-linked networks for an arbitraryP-period attractor and many independent complex networks of different sizes for a chaotic attractor. Meanwhile, the control parameter dependence of the link density, the clustering coefficient and the average length of the shortest paths for the complex networks are calculated and discussed. The correlation of these characteristic quantities with the dynamics of the system is analyzed. The result shows that the link density shows a discontinuous change for different periodic attractor and a nonsmooth change at the transition point between a periodic attractor and a chaotic attractor; the nonsmooth changes of the clustering coefficient and the average length of the shortest paths appear at the transition point between periodic and chaotic attractors, and the merging point of chaotic attractors, respectively. These phenomena imply that the characteristic quantities might be proper indexes to describe the dynamical states and exhibit their transitions. Moreover, they may help to check out the periodic attractors when they are coexistence with some other attractors.Keywords: recurrence plot; complex network; discontinuous map; dynamical transitions

1672-4291(2016)04-0038-06

10.15983/j.cnki.jsnu.2016.04.244

2016-01-27

國家自然科學基金(10875076)

屈世顯，男，教授，博士生導(dǎo)師。E-mail: sxqu@snnu.edu.cn

O415.5

A