伍新　文桂林　何莉萍　徐慧東　魏克湘

摘要：首先建立了落砂機(jī)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射，考慮到在設(shè)計(jì)過程中經(jīng)典的Neimark_Sacker分岔臨界準(zhǔn)則需要直接計(jì)算特征值帶來的局限性，利用不直接依賴于特征值計(jì)算的顯式臨界準(zhǔn)則，獲得了系統(tǒng)發(fā)生Neimark-Sacker分岔的兩參數(shù)區(qū)域圖，所獲得的參數(shù)區(qū)域圖有助于主動(dòng)設(shè)計(jì)系統(tǒng)的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。然后應(yīng)用中心流形正則形方法進(jìn)一步分析了擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。最后數(shù)值仿真表明在選定的系統(tǒng)參數(shù)處能產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。

關(guān)鍵詞：落砂機(jī)；沖擊振動(dòng)；Neimark-Sacker分岔；擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)；穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)：0322；TB123 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

碰撞振動(dòng)在實(shí)際工程領(lǐng)域中普遍存在，由于碰撞和沖擊過程中固有的不連續(xù)性造成的強(qiáng)非線性，使得系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)響應(yīng)十分復(fù)雜多變，產(chǎn)生豐富的非線性現(xiàn)象，如分岔和混沌現(xiàn)象等。

振動(dòng)落砂機(jī)是一種利用碰撞振動(dòng)原理對(duì)砂箱進(jìn)行落砂的機(jī)械設(shè)備。這種周期碰撞的機(jī)械設(shè)備工作頻率單一，導(dǎo)致生產(chǎn)效率低、能耗高。而擬周期碰撞是典型的非線性振動(dòng)，與簡(jiǎn)單的周期碰撞相比，擬周期碰撞具有多頻性，以及振動(dòng)加振蕩之復(fù)式激振品質(zhì)，可提高系統(tǒng)的功能和效率，同時(shí)又沒有混沌運(yùn)動(dòng)的不可預(yù)測(cè)性和初始條件敏感性，該特性在實(shí)際工程領(lǐng)域具有應(yīng)用潛力，能有效解決上述存在的一些缺陷。

近來，國內(nèi)外一些學(xué)者對(duì)振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)非線性特性開展了理論和數(shù)值模擬分析。羅冠煒等通過理論分析和數(shù)值仿真揭示了振動(dòng)落砂機(jī)周期運(yùn)動(dòng)經(jīng)概周期分岔和倍周期分岔通向混沌的演化過程。丁旺才等使用中心流形范式方法研究了振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)在強(qiáng)共振下的兩參數(shù)開折的局部動(dòng)力學(xué)行為并通過數(shù)值仿真進(jìn)一步揭示了系統(tǒng)共振點(diǎn)附近的Hopf分岔不變環(huán)面和次諧分岔4-4周期運(yùn)動(dòng)。

隨著分岔理論和非線性動(dòng)力學(xué)設(shè)計(jì)方法的發(fā)展，人們開始關(guān)注如何主動(dòng)利用分岔特性來提高系統(tǒng)的功能與效率，通過主動(dòng)選擇系統(tǒng)的參數(shù)來設(shè)計(jì)出具有所期望特性的分岔解。然而上述文獻(xiàn)中對(duì)振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)的非線性現(xiàn)象的研究大部分是基于特征值的特性來描述的傳統(tǒng)的分岔準(zhǔn)則。對(duì)于一個(gè)四維多參數(shù)的落砂機(jī)碰撞振動(dòng)系統(tǒng)，如果按照傳統(tǒng)的Hopf分岔臨界準(zhǔn)則，逐點(diǎn)試算特征值是否滿足分岔的存在條件，這對(duì)于通過設(shè)計(jì)來主動(dòng)實(shí)現(xiàn)分岔解具有一定的局限性。針對(duì)傳統(tǒng)分岔準(zhǔn)則的不足，文桂林等提出了新的離散系統(tǒng)Hopf分岔準(zhǔn)則，建立的Hopf分岔準(zhǔn)則是由一些系統(tǒng)參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)等式和不等式組成的顯式分岔臨界準(zhǔn)則，并不依賴于特征值的計(jì)算，這更適合分岔參數(shù)機(jī)理分析和設(shè)計(jì)。

本文以振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)為研究對(duì)象，針對(duì)傳統(tǒng)的映射Hopf分岔臨界準(zhǔn)則在主動(dòng)設(shè)計(jì)方面存在的局限性，基于Neimark-Sacker分岔（二次Hopf分岔）理論，使用不直接依賴于特征值計(jì)算的顯式臨界準(zhǔn)則來設(shè)計(jì)系統(tǒng)的參數(shù)，使其產(chǎn)生擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。然后，應(yīng)用中心流形一正則形方法來分析擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性。最后，通過選取適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，數(shù)值實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。

1 力學(xué)模型及其運(yùn)動(dòng)方程

對(duì)于振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)，僅考慮垂直方向振動(dòng)，將振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)簡(jiǎn)化為圖1所示的兩自由度的質(zhì)量彈簧阻尼器系統(tǒng)。其中，質(zhì)量塊M，m分別表示質(zhì)量為M的振動(dòng)基座和質(zhì)量為m的砂箱（包括型砂和鑄件），振動(dòng)基座和基礎(chǔ)之間用剛度為K的線性彈簧和阻尼系數(shù)為C的阻尼器連接，振動(dòng)基座受到簡(jiǎn)諧力Fsin（ωt+δ）的作用。圖中X，Y分別表示基座和砂箱的位移。砂箱和基座不發(fā)生碰撞時(shí)，砂箱只受重力作用，當(dāng)基座和砂箱位移相同即X=y，并且相對(duì)速度不為零時(shí)，它們會(huì)發(fā)生垂直方向的正碰。為了方便計(jì)算，振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)采用文獻(xiàn)中的無量綱運(yùn)動(dòng)微分方程來描述：

無量綱方程中的“·”表示對(duì)無量綱θ求導(dǎo)數(shù)，R表示碰撞恢復(fù)系數(shù)。

2 振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射

由無量綱方程（1）和（2）可知，在系統(tǒng)未發(fā)生碰撞時(shí)，基座和砂箱會(huì)遵循方程（1）做連續(xù)運(yùn)動(dòng)。當(dāng)發(fā)生碰撞時(shí)，基座和砂箱的速度會(huì)遵循沖擊方程（2）發(fā)生突變，得到下一次做連續(xù)運(yùn)動(dòng)的初始值，因此系統(tǒng)會(huì)進(jìn)行碰撞、連續(xù)運(yùn)動(dòng)、再碰撞的循環(huán)運(yùn)動(dòng)。為了使系統(tǒng)產(chǎn)生Neimark-Sacker分岔，求得一個(gè)周期沖擊運(yùn)動(dòng)。其無碰撞部分的解析表達(dá)式如下：

3 振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)

3.1 振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件

為了設(shè)計(jì)出振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)，主要任務(wù)就是確定適當(dāng)?shù)南到y(tǒng)參數(shù)，使系統(tǒng)（11）發(fā)生Neimark-Sacker分岔。如果采用傳統(tǒng)的分岔臨界準(zhǔn)則，需要在參數(shù)空間內(nèi)通過逐點(diǎn)取值來計(jì)算和驗(yàn)證系統(tǒng)的特征值是否滿足Neimark-Sacker分岔的臨界準(zhǔn)則，這種數(shù)值搜尋的方法具有一定的盲目性和不確定性，非常耗時(shí)。另外，雖然可以采用極點(diǎn)配置方法找到滿足特征值分布條件的系統(tǒng)參數(shù)點(diǎn)，但該方法也是先確定特征值后再確定參數(shù)，確定的參數(shù)對(duì)于系統(tǒng)仍存在機(jī)理不明確問題。特別是對(duì)于橫截條件，由于需要求特征值對(duì)分岔參數(shù)的導(dǎo)數(shù)，極點(diǎn)配置方法無法解決。因此為了克服傳統(tǒng)分岔臨界準(zhǔn)則的局限性，本文采用不直接依賴于特征值計(jì)算的映射Neimark-Sacker分岔的顯式臨界條件來獲得系統(tǒng)參數(shù)。

設(shè)映射（11）的一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)為X^*=（x^*，x^*，y^*，τ^*）^T，在不動(dòng)點(diǎn)處映射（11）的線性化矩陣的特征多項(xiàng)式為：

這里選取μ=（ρ，β），a_i=a_i（ρ，β）是與分岔參數(shù)ρ和β有關(guān)的實(shí)數(shù)，i=1，…，4。針對(duì)建立的振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的Poincaré映射（11），有如下的引理。其中條件（Ⅰ）保證有一對(duì)復(fù)共軛特征值位于單位圓上；條件（Ⅱ）保證其它的特征值位于單位圓內(nèi)；條件（Ⅲ）保證映射不動(dòng)點(diǎn)是合理存在的；條件（Ⅳ）保證在參數(shù)擾動(dòng)下，位于單位圓上的特征值穿越單位圓的速度不為零；條件（Ⅴ）保證Neimark-Sacker分岔是非共振的。

3.2 振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)Neimark-Sacker分岔的存在性

選取落砂機(jī)系統(tǒng)的參數(shù)ζ=0.2，R=0.85，z=2.8，以ρ和β為分岔參數(shù)（即μ=（ρ，β））。在（ρ，β）張成的一個(gè)二維的參數(shù)空間內(nèi)，根據(jù)引理1中的顯式條件，利用Maple軟件得到如圖2所示的兩參數(shù)分岔圖。

圖2中白色區(qū)域Ⅰ和Ⅱ內(nèi)的點(diǎn)都滿足引理1的條件（Ⅱ）-（Ⅲ）中的不等式，但在灰色區(qū)域Ⅲ和Ⅳ中至少有一個(gè)條件（Ⅱ）和（Ⅲ）中的不等式不成立。由曲線EA，AB，BC，CD和DE圍成的白色區(qū)域工除了滿足條件（Ⅱ）-（Ⅲ）還滿足△>0，因此白色區(qū)域工為系統(tǒng)周期運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定參數(shù)區(qū)域。曲線DE是由臨界條件（Ⅰ）中的△=0得到，曲線DE上由條件（Ⅴ）得到的點(diǎn)R₃和R₄分別為系統(tǒng)出現(xiàn)3階和4階強(qiáng)共振點(diǎn)。點(diǎn)劃線l和m由橫截條件（Ⅳ）不等式左邊的表達(dá)式取等號(hào)得到的，這樣兩曲線l和m和曲線DE的交點(diǎn)T₁和T₂不滿足Neimark-Sacker分岔的橫截條件（Ⅳ）。由此在選取系統(tǒng)參數(shù)臨界點(diǎn)時(shí)應(yīng)該避開這些強(qiáng)共振點(diǎn)和非橫截點(diǎn)。在由曲線DE，EF，F(xiàn)G和GD圍成的白色區(qū)域Ⅱ內(nèi)，在曲線DE的附近是出現(xiàn)系統(tǒng)擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的潛在區(qū)域。為了分析分岔解的穩(wěn)定性，在分岔圖的白色區(qū)域內(nèi)的Neimark-Sacker分岔臨界曲線DE上任取一點(diǎn)μ₀=（ρ₀，β₀）=（0.6，0.95441）作為臨界分岔值。

3.3 振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性

振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)出現(xiàn)的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性，也即Neimark-Sacker分岔解（不變?nèi)Γ┑姆€(wěn)定性取決于映射（11）的非線性項(xiàng)。采用中心流形范式方法或者頻域方法都可以分析Neimark-Sacker分岔的穩(wěn)定性。本文使用投影法來分析分岔的穩(wěn)定性。

取坐標(biāo)變換（13）式中的X^*為映射（11）的不動(dòng)點(diǎn)，μ₀為臨界分岔參數(shù)值。

映射（11）經(jīng)過坐標(biāo)變換（13）變換成

則通過變量變換后的新映射（14）的不動(dòng)點(diǎn)和分岔點(diǎn)都轉(zhuǎn)化為了零點(diǎn)。這樣映射（11）發(fā)生Neimark-Sacker分岔后產(chǎn)生的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性可由引理2來確定。

引理2 如果在臨界分岔值μ=μ₀處，映射（14）的雅克比矩陣在分岔點(diǎn)v=0處有一對(duì)復(fù)共軛特征值λ₁（v）和λ₂（v）滿足|λ₁（0）|=|λ₂（0）|=1和橫截條件λⁿ₁（0）≠1，N=3，4，并且d|λ₁（N）|/dv|_v=0≠0，而其它的特征值|λ_j（0）|<1，j=3，4，那么在v=0，當(dāng)α（0）<0（或α（0）>0）時(shí)，從X^*（po）分岔出穩(wěn)定的（不穩(wěn)定的）Hopf不變?nèi)?。其中，α?）參見下列表達(dá)式：

根據(jù)（15）和（16），在μ=μ₀計(jì)算得到

α（0）=-0.089<0。

因此，根據(jù)引理2可判斷系統(tǒng)會(huì)產(chǎn)生一個(gè)穩(wěn)定的Neimark-Sacker分岔解，即系統(tǒng)穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。

3.4 數(shù)值實(shí)驗(yàn)

為了驗(yàn)證上述理論分析和研究振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)在分岔點(diǎn)附近的動(dòng)力學(xué)行為，其它三個(gè)參數(shù)不變，臨界參數(shù)100不變，變化分岔參數(shù)β，在落砂機(jī)的分岔臨界點(diǎn)附近設(shè)置了6組參數(shù)擾動(dòng)值，并做了相應(yīng)的數(shù)值仿真，文中的數(shù)值仿真都采用4000次碰撞。在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅰ內(nèi)的分岔臨界曲線DE附近取一組分岔參數(shù)μ=μ₀+△μ=（ρ₀，β₀-0.02），其中△μ是臨界參數(shù)擾動(dòng)量，設(shè)置映射初始值X=X^*+△X，其中△X=（0，0，0，0.001）^T為不動(dòng)點(diǎn)擾動(dòng)量，在該參數(shù)點(diǎn)處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的周期運(yùn)動(dòng)，即Poincaré映射上一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，如圖3（a）所示。在Poincaré映射分岔圖的白色區(qū)域Ⅱ內(nèi)并且充分接近曲線DE的參數(shù)區(qū)域內(nèi)取分岔參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+00004），在該參數(shù)點(diǎn)處系統(tǒng)處于穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)，即Poincaré映射上一個(gè)不變?nèi)?，如圖3（b）所示。繼續(xù)變化分岔參數(shù)值，當(dāng)取分岔參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+0.0456）時(shí)，擬周期運(yùn)動(dòng)失穩(wěn)，產(chǎn)生鎖相運(yùn)動(dòng)，如圖3（c）所示。當(dāng)取參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+0.046）時(shí)系統(tǒng)退出鎖相運(yùn)動(dòng)，又產(chǎn)生擬周期吸引不變?nèi)?，如圖3（d）所示。當(dāng)取控制參數(shù)μ=（ρ₀，β₀+001）時(shí)系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期吸引不變?nèi)Γ蛔內(nèi)Ψ蹈?，如圖3（e）所示。當(dāng)繼續(xù)擾動(dòng)參數(shù)值至μ=（ρ₀，β₀+0.22）時(shí)系統(tǒng)經(jīng)鎖相轉(zhuǎn)遷為混沌運(yùn)動(dòng)，如圖3（f）所示。通過以上仿真分析，振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)展示出了豐富的動(dòng)力學(xué)行為，在Hopf分岔臨界點(diǎn)附近作參數(shù)擾動(dòng)，當(dāng)參數(shù)擾動(dòng)量足夠小的時(shí)候由Hopf分岔所產(chǎn)生的不變?nèi)υ谛螤钌项愃朴谝粋€(gè)橢圓。隨著參數(shù)擾動(dòng)量的增大，不變?nèi)Σ粩嘣龃?，其形狀也變得越來越不?guī)則。仿真顯示只有當(dāng)系統(tǒng)的擾動(dòng)參數(shù)很大時(shí)才發(fā)生混沌，說明系統(tǒng)的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)具有強(qiáng)的魯棒性和較大的穩(wěn)定域。因此，在設(shè)計(jì)系統(tǒng)參數(shù)時(shí)，在白色區(qū)域Ⅱ鄰域內(nèi)靠近分岔臨界曲線DE處取系統(tǒng)參數(shù)可以產(chǎn)生穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)。

4 結(jié)論

1）基于主動(dòng)利用Neimark-Sacker分岔解特性的思想，通過選定合適的系統(tǒng)參數(shù)，設(shè)計(jì)出了穩(wěn)定的擬周期碰撞的振動(dòng)落砂機(jī)系統(tǒng)。

2）利用顯式的Neimark-Sacker分岔臨界準(zhǔn)則獲得了落砂機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)的兩參數(shù)區(qū)域圖，此參數(shù)區(qū)域具有較大的分岔可行域范圍，可保障所產(chǎn)生的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)具有較大的穩(wěn)定域和較強(qiáng)的魯棒性。

3）數(shù)值分析實(shí)現(xiàn)了落砂機(jī)系統(tǒng)產(chǎn)生的穩(wěn)定的擬周期碰撞運(yùn)動(dòng)并調(diào)查了附近鎖相和混沌等動(dòng)力學(xué)行為。