王文忠（河北省地礦局第十一地質(zhì)大隊(duì)，河北邢臺(tái) 054000）

抵償高程面上的坐標(biāo)換算

王文忠?
（河北省地礦局第十一地質(zhì)大隊(duì)，河北邢臺(tái) 054000）

在高海拔或高程變化較大的地區(qū)進(jìn)行工程測(cè)量時(shí)，為了限制投影變形，一般采用具有抵償高程面的工程坐標(biāo)系。本文通過(guò)分析工程橢球與國(guó)家參考橢球之間的內(nèi)在聯(lián)系與差異，推導(dǎo)了工程橢球大地坐標(biāo)的改正值公式，給出了工程橢球的建立方法及坐標(biāo)換算方法，從而保證順利地建立具有抵償高程面的工程坐標(biāo)系。

抵償高程面；抵償帶；工程橢球；直接法坐標(biāo)換算

1 引 言

在工程測(cè)量實(shí)踐中，為了保持地面實(shí)際邊長(zhǎng)與高斯投影邊長(zhǎng)的一致，方便成果應(yīng)用和放樣施工，相關(guān)規(guī)范均對(duì)長(zhǎng)度變形值做出了限制，一般要求邊長(zhǎng)相對(duì)變形值小于 2.5 cm/km。在高原地區(qū)或地形起伏較大的山區(qū)丘陵地帶，采用國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系統(tǒng)難以滿(mǎn)足規(guī)范要求，需要具體分析測(cè)區(qū)地形變化情況，建立具有高程抵償面的高斯投影平面直角坐標(biāo)系。

2 投影變形規(guī)律

地面邊長(zhǎng)的投影變形值主要由兩方面因素引起，即地面長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上的變形和參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形。

2.1 地面長(zhǎng)度歸算到參考橢球面上的變形

實(shí)測(cè)邊長(zhǎng)所在的平均高程面與參考橢球面存在高差，當(dāng)邊長(zhǎng)向參考橢球面歸算時(shí)，其邊長(zhǎng)變形值為△S1:

其相對(duì)變形為:

Hm為歸算邊長(zhǎng)的平均大地高，S為歸算邊的長(zhǎng)度，R為參考橢球法截弧曲率半徑（其概值約為 6 371 km）。由相對(duì)變形式（2）可知，隨著地面大地高的增加，邊長(zhǎng)歸算變形成比例增加，當(dāng)Hm超過(guò) 159 m時(shí)，造成的相對(duì)變形值已超過(guò)1/40000，不能滿(mǎn)足規(guī)范要求。

2.2 參考橢球面上的邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形

距離中央子午線愈遠(yuǎn)的區(qū)域，邊長(zhǎng)經(jīng)高斯投影后長(zhǎng)度變形越大，其變形值為△S2:

投影邊長(zhǎng)的相對(duì)變形為:

ym為歸算邊端點(diǎn)平均東坐標(biāo)值，Rm為參考橢球平均曲率半徑，S0為歸算邊長(zhǎng)。由式（4）可見(jiàn)，相對(duì)變形值與ym的平方成正比，隨著ym的增加而迅速變大，當(dāng)ym超過(guò) 45 km后，相對(duì)變形值大于1/40000。

2.3 地面邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面的組合影響

地面邊長(zhǎng)歸算到高斯投影面上的變形值是以上兩種變形因素的疊加結(jié)果，其值為△S:

相對(duì)變形為:

由式（5）可見(jiàn)，當(dāng)Hm為正值時(shí)，兩種變形具有相互抵償?shù)男再|(zhì)，可在一定程度上抵消長(zhǎng)度變形。

3 抵償高程面的計(jì)算

在高原地區(qū)或地形起伏山區(qū)丘陵地帶，采用國(guó)家統(tǒng)一3°帶、1.5°帶已不能滿(mǎn)足規(guī)范對(duì)長(zhǎng)度變形的限制要求，此時(shí)應(yīng)選擇抵償投影面進(jìn)行坐標(biāo)投影計(jì)算，可采用如下方案:

方案1:采用具有抵償高程面的國(guó)家統(tǒng)一分帶高斯正形投影，適用于測(cè)區(qū)起伏不大的高原地區(qū)。

方案2:采用具有抵償高程面的任意帶高斯正形投影，適用于山區(qū)丘陵或遠(yuǎn)離中央子午線的高原測(cè)區(qū)。

? 收稿日期:2015—06—19

作者簡(jiǎn)介:王文忠（1978—），男，工程師、注冊(cè)測(cè)繪師，主要從事工程測(cè)量、GPS數(shù)據(jù)處理等。

則得到一條滿(mǎn)足邊長(zhǎng)變形要求的抵償帶，抵償帶以中央子午線為對(duì)稱(chēng)軸；抵償帶的寬度隨著測(cè)區(qū)遠(yuǎn)離中央子午線而迅速變窄，如圖1所示；并且由圖1可見(jiàn)，當(dāng)測(cè)區(qū)高于抵償高程面約 150 m時(shí)，抵償帶的寬度達(dá)到最大，這正是兩種變形互相抵償?shù)慕Y(jié)果。

圖1　抵償帶示意圖

將線狀工程繪制在抵償帶示意圖上，可以觀察工程線路曲線是否包含于抵償帶內(nèi)，從而判斷其是否滿(mǎn)足變形要求。若不滿(mǎn)足變形要求，可以通過(guò)移動(dòng)中央子午線或抵償高程面的方法得到一個(gè)最佳具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系，在此工程坐標(biāo)系下，測(cè)區(qū)所有位置長(zhǎng)度變形滿(mǎn)足規(guī)范要求。如果測(cè)區(qū)較大或較為狹長(zhǎng)，采用單個(gè)具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系不能滿(mǎn)足要求，則應(yīng)將測(cè)區(qū)劃分，采用多個(gè)具有抵償高程面的任意帶高斯投影平面直角坐標(biāo)系。

4 抵償高程面上的坐標(biāo)換算

4.1 工程橢球的建立

采用具有抵償高程面的坐標(biāo)系，需要建立適合測(cè)區(qū)的工程橢球。工程橢球的建立采用橢球膨脹法，即保持參考橢球的定位、定向和扁率不變，改變參考橢球的半長(zhǎng)軸，使新的工程橢球參考面通過(guò)測(cè)區(qū)平均高程面。新橢球半長(zhǎng)軸變化量為△a，其計(jì)算參照如下公式:

△a為半長(zhǎng)軸變化值，Hm為地面平均高程（大地高），Bm為測(cè)區(qū)平均緯度。

4.2 同一地面點(diǎn)在工程橢球和國(guó)家參考橢球上大地坐標(biāo)的差異

地面點(diǎn)在工程橢球上的大地坐標(biāo)發(fā)生了改變，直觀解釋即兩個(gè)橢球并非處處平行。地面點(diǎn)大地坐標(biāo)改變量的計(jì)算公式，可由大地坐標(biāo)微分式（8）進(jìn)行推導(dǎo)得出。因?yàn)楣こ虆⒖紮E球的定位、定向和扁率不變，所以在微分式（8）中，令平移參數(shù)（△X、△Y、△Z）、旋轉(zhuǎn)參數(shù)（εx、εy、εz）、橢球扁率差△f、尺度參數(shù)m均為0，即可求得地面點(diǎn)在工程橢球上的大地坐標(biāo)改變量，見(jiàn)式（9）。

大地坐標(biāo)微分式（8）:

其中:△B，△L，△H——同一點(diǎn)位在兩個(gè)坐標(biāo)系下的緯度差、經(jīng)度差、大地高差，經(jīng)緯度差單位為弧度，大地高差單位為m；

ρ=180×3600/π——弧度秒；

△a——橢球長(zhǎng)半軸差，單位為m；

△f——扁率差，無(wú)量綱；

△X，△Y，△Z——平移參數(shù)，單位為m。

εx，εy，εz——旋轉(zhuǎn)參數(shù)，單位為弧度；

m——尺度參數(shù)，無(wú)量綱。

地面點(diǎn)在工程橢球的大地坐標(biāo)改正值計(jì)算公式，實(shí)際上是大地坐標(biāo)微分公式的一種特殊情況，如下:

由式（9）可知，同一地面點(diǎn)在兩個(gè)參考橢球系下的經(jīng)度值一致，緯度值與大地高均發(fā)生了變化。

4.3 實(shí)用的坐標(biāo)換算方法

國(guó)家平面坐標(biāo)系到工程坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換可采用直接法坐標(biāo)換算（不涉及假設(shè)測(cè)區(qū)坐標(biāo)原點(diǎn)），有兩種方法可采用。

坐標(biāo)換算方法1:國(guó)家平面坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)先轉(zhuǎn)換成國(guó)家參考橢球下的大地經(jīng)緯度，再依照式（9）進(jìn)行工程橢球下的大地坐標(biāo)改正，最后由工程橢球的大地坐標(biāo)計(jì)算其在工程橢球上的高斯投影坐標(biāo)，即遵循下面流程:坐標(biāo)換算方法2:國(guó)家平面坐標(biāo)系的投影坐標(biāo)先轉(zhuǎn)換成國(guó)家參考橢球下的大地經(jīng)緯度，大地經(jīng)緯度再轉(zhuǎn)換至國(guó)家坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)，因?yàn)閲?guó)家參考橢球和工程橢球定位、定向一致，所以同一地面點(diǎn)在工程橢球上的空間直角坐標(biāo)與國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系下的空間直角坐標(biāo)一致。此時(shí)，將測(cè)點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為工程橢球上的大地坐標(biāo)，再轉(zhuǎn)換為工程橢球上的高斯投影坐標(biāo)即可，遵循的流程為:

不管采用哪種計(jì)算方案，均需要首先根據(jù)△a及新的橢球半長(zhǎng)軸計(jì)算新的橢球常數(shù)，用于高斯坐標(biāo)正反算和大地坐標(biāo)到空間直角坐標(biāo)的計(jì)算，計(jì)算公式不一一列舉。具體計(jì)算時(shí)，可以通過(guò)編程或采用第三方軟件計(jì)算橢球常數(shù)、并進(jìn)行高斯投影正反算和空間直角坐標(biāo)的計(jì)算。

5 計(jì)算實(shí)例

某工程收集到國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系下的已知點(diǎn)8個(gè)，中央子午線114°，平均緯度37°，為了方便利用，須將其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到中央子午線為114°、投影面高程為500 m的工程橢球上。已知點(diǎn)在國(guó)家統(tǒng)一坐標(biāo)系下的高斯投影坐標(biāo)及大地坐標(biāo)如表1所示:

經(jīng)直接法坐標(biāo)換算，計(jì)算出的已知點(diǎn)在工程坐標(biāo)系下的大地坐標(biāo)及高斯投影坐標(biāo)如表2所示:

已知點(diǎn)在國(guó)家坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 表1

已知點(diǎn)在工程坐標(biāo)系中的坐標(biāo) 表2

坐標(biāo)換算后，控制點(diǎn)的工程坐標(biāo)已滿(mǎn)足長(zhǎng)度變形的限制要求，可以作為下一步加密、放樣的起算點(diǎn)。而且，通過(guò)對(duì)比表1和表2的大地坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)同一地面點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系中的大地緯度有差異，這與理論推導(dǎo)結(jié)果一致。因此，在坐標(biāo)換算時(shí)，我們不能假設(shè)同一點(diǎn)在兩個(gè)橢球中的大地經(jīng)緯度不變。

6 結(jié) 論

直接法坐標(biāo)換算理論嚴(yán)密、計(jì)算方便，適用于在國(guó)

家坐標(biāo)系和工程坐標(biāo)系之間進(jìn)行坐標(biāo)換算。通過(guò)實(shí)例計(jì)算，驗(yàn)證了式（9）中論及的同一地面點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)系下大地緯度的差異性。

［1］楊元興.抵償高程面的選擇與計(jì)算［J］.城市勘測(cè)，2008 （2）：72～74.

［2］鮑建寬.高斯平面坐標(biāo)換算到測(cè)區(qū)平均高程面上的方法［J］.測(cè)繪工程，1997，6（3）：46～55.

［3］楊元興.投影面不同引起的坐標(biāo)變化［J］.地礦測(cè)繪，2009，25（3）：41～42.

［4］呂忠剛，許世寧.關(guān)于抵償高程面與移動(dòng)中央子午線最佳選取問(wèn)題的研究［J］.東北測(cè)繪，2002，25（2）：3～5.

［5］徐輝，陳功，袁暉等.高海拔地區(qū)送電線路GPS測(cè)量的問(wèn)題及解決辦法［J］.地理空間信息，2009，7（3）：50～52.

［6］孔祥元，郭際明.控制測(cè)量學(xué)（第三版）下冊(cè)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2006：124～127.

［7］孔祥元，郭際明，劉宗泉.大地測(cè)量學(xué)基礎(chǔ)［M］.武漢：武漢大學(xué)出版社，2001：158～175.

［8］TB10054-97.全球定位系統(tǒng)（GPS）鐵路測(cè)量規(guī)程［S］.

Coordinate Conversion of the Compensating Surface

Wang Wenzhong
（The Eleventh Geological Brigade，Hebei Province Bureau of Geology and Mineral Resources，Xingtai 054000，China）

In high altitude or elevation changes in the larger area of engineering measurement，in order to limit the projection deformation，use is generally compensated height surface engineering coordinate system.Is deduced in this paper，through the analysis of the inherent relationship and difference between engineering ellipsoid and the national reference ellipsoid engineering ellipsoid geodetic coordinate correction value formula and gives the engineering ellipsoid establishment method and the method of coordinate conversion，so as to ensure the smooth established with compensation height surface engineering coordinate system.

compensating surface；compensation belt；engineering ellipsoid；direct method of coordinate conversion

1672-8262（2016）02-113-04中圖分類(lèi)號(hào)：P226+.3

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