張麗

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整式乘法和因式分解試題選粹

張麗

乘法公式和因式分解是“整式乘法”這一章中重要的內(nèi)容，是我們解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，對培養(yǎng)創(chuàng)新思維、觀察分析能力和解題能力等，都是大有幫助的.現(xiàn)介紹一些典型試題，供大家學(xué)習(xí)參考.

一、利用公式結(jié)構(gòu)特點(diǎn)解決常見問題

完全平方公式的特點(diǎn)是：左邊是兩個數(shù)的和（或差）的平方，右邊為這兩個數(shù)的平方的和與這兩個數(shù)的積的2倍的和（或差），可表述為：（甲+乙）2=甲2+2×甲×乙+乙2；（甲-乙）2=甲2-2×甲×乙+乙2.平方差公式的特點(diǎn)是：左邊是兩個二項(xiàng)式相乘，且這兩個二項(xiàng)式中一項(xiàng)完全相同，一項(xiàng)互為相反數(shù)，右邊的結(jié)果為相同項(xiàng)的平方減去相反數(shù)項(xiàng)的平方，可表述為：（甲+乙）（甲-乙）= 甲2-乙2.

例1計(jì)算：

（1）（-2x-3y）（-2x+3y）；

（2）（-2x-3y）（2x-3y）；

（3）（-2x-3y）2；

（4）（-2x+3y）2.

【分析】（1）（2）的兩個括號中中各有一個完全相同的項(xiàng)和一個相反數(shù)的項(xiàng)，符合平方差結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；（3）（4）雖符合完全平方公式的特點(diǎn)，但卻沒有公式簡潔清爽，可以利用“互為相反數(shù)的兩數(shù)平方相等”進(jìn)行恒等變形.

解：（1）原式=（-2x）2-（3y）2=4x2-9y2；

（2）原式=（-3y）2-（2x）2=9y2-4x2；

（3）原式=（2x+3y）2=（2x）2+2×2x×3y+ （3y）2=4x2+12xy+9y2；

（4）方法一：

方法二：

【點(diǎn)撥】此類問題要求我們除注意公式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)外，還要注意式子中符號的處理.

二、適當(dāng)變式、延展，整合知識、歸納方法

例2（蘇科版教材七下第78頁例題5第（1）題）

計(jì)算：（x-3）（x+3）（x2+9）.

【分析】這是一道計(jì)算題，兩次運(yùn)用平方差公式.

變式1 計(jì)算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）（x8+1）…（x64+1）.

【分析】本題把上題的“3”變成“1”主要是便于表達(dá)計(jì)算結(jié)果，再增加了幾個因式.經(jīng)觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，由（x-1）（x+1）得（x2-1），再由（x2-1）（x2+1）得（x2）2-（1）2，即（x4-1）…根據(jù)最后一個因式（x64+1）得結(jié)果為（x64）2-12.

變式2 計(jì)算：（x-1）（x+1）（x2+1）（x4+ 1）…（x2n+1）.

【分析】把最后一個因式中x的指數(shù)由具體的數(shù)字改為字母，由變式1得結(jié)果是（x2n）2-12=x4n-1，滲透一般化的思想.

三、逆用乘法公式分解因式

熟練掌握和正確運(yùn)用乘法公式，可以簡捷地進(jìn)行有關(guān)多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算，但有些計(jì)算如果直接運(yùn)用公式，往往事倍功半，若能逆用相關(guān)的乘法公式，即運(yùn)用公式分解因式，卻能收到事半功倍的效果.

例3已知a、b、c是△ABC的三邊長，試判斷（a2+b2-c2）2-4a2b2的符號.

【分析】先逆用積的乘方公式將4a2b2轉(zhuǎn)化成（2ab）2，再逆用平方差公式，最后由三角形中三邊之間的關(guān)系，得出各個因式的符號，從而判別出這4個因式的積的符號.

∵a、b、c是△ABC的三邊長，

∴a+b+c＞0，a+b-c＞0，a-b+c＞0，a-b-c<0.

∴（a2+b2-c2）2-4a2b2<0，即它的符號為負(fù)號.

四、整體思想在求代數(shù)式值中的運(yùn)用

例4（1）已知x2-3=x，求2x2-2x+9的值；

（2）如果x+y=2，xy=-5，求x2y+xy2，（x2-1）（y2-1），x4+y4的值.

【分析】對于（1），把式子作適當(dāng)變形后把x2-x看作一個整體，求出x2-x=3，再將其代入代數(shù)式很容易得到結(jié)果.

對于（2），要求代數(shù)式的值，最基本的思路是先求出x、y的值，但求解困難并使問題復(fù)雜化.如果我們對代數(shù)式先進(jìn)行化簡或變形，然后把x+y與xy看作一個整體，進(jìn)行整體代入，則問題就會變得非常簡單.

解：（1）由x2-3=x，得x2-x=3，

所以2x2-2x+9=2（x2-x）+9=2×3+9=15.

（2）因?yàn)閤+y=2，xy=-5，

所以x2y+xy2=xy（x+y）=-5×2=-10，

再先求x2+y2=（x+y）2-2xy=4+10=14，

所以（x2-1）（y2-1）=x2y2-（x2+y2）+1= （-5）2-14+1=12，

x4+y4=（x2+y2）2-2x2y2=142-2（-5）2=196-50=146.

【點(diǎn)撥】①在（1）中，由條件入手，用到了局部分解2x2-2x=2（x2-x）；

②在（2）中，關(guān)鍵是將所給式用整體x+ y、xy來表示.

這里用了常見的基本結(jié)論：x2+y2=（x+ y）2-2xy=（x-y）2+2xy或其變形等.

（作者單位：江蘇省太倉市第一中學(xué)）