贇復(fù)習(xí)整式乘法與因式分解之后，我們?cè)O(shè)計(jì)了一道關(guān)于“配方法”的閱讀理解問(wèn)題，但很多同學(xué)并沒(méi)有運(yùn)用“配方法”解答，不同的解法也十分精彩，現(xiàn)整理出來(lái)，供同學(xué)們分享?！鹃喿x理解】我們知道，利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而對(duì)a2+2a-3 這樣的二次三項(xiàng)式，則不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用“配方法”配出一個(gè)完全平方式，再用平方差公式分解。過(guò)程如下：請(qǐng)用“配方法”解決下列問(wèn)題：（1）分解因式：a2-6a+5；（2）已知

復(fù)習(xí)整式乘法與因式分解之后，我們?cè)O(shè)計(jì)了一道關(guān)于“配方法”的閱讀理解問(wèn)題，但很多同學(xué)并沒(méi)有運(yùn)用“配方法”解答，不同的解法也十分精彩，現(xiàn)整理出來(lái)，供同學(xué)們分享。【閱讀理解】我們知道，利用完全平方公式可以將二次三項(xiàng)式a2±2ab+b2分解成（a±b）2。而對(duì)a2+2a-3這樣的二次三項(xiàng)式，則不能直接利用完全平方公式分解，但可以先用“配方法”配出一個(gè)完全平方式，再用平方差公式分解。過(guò)程如下：a2+2a-3=a2+2a+1-1-3=（a+1）2-4=（a+1+2）（

的積的形式，叫做因式分解,也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.高中階段，因式分解在解決有關(guān)“函數(shù)零點(diǎn)”“函數(shù)極(最)值”“函數(shù)單調(diào)性”“多字母方程”“不等式”等方面問(wèn)題的過(guò)程中起著關(guān)鍵性的作用.數(shù)學(xué)運(yùn)算是高中階段的主要數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，運(yùn)算能力也是初中階段的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)之一，因式分解是一類(lèi)代數(shù)式的運(yùn)算，教師應(yīng)在實(shí)際教學(xué)中高度重視這部分內(nèi)容.1 問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與提出《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》規(guī)定：能用提公因式法、公式法(直接利用公式不超過(guò)二次)進(jìn)

除法得到另外一個(gè)因式x3-3x2+3x-1.通過(guò)驗(yàn)根和多項(xiàng)式除法,順利將g′(x)進(jìn)行化簡(jiǎn),從而突破難點(diǎn).證明由已知可得①②先考慮第①個(gè)不等式,轉(zhuǎn)化成(x-t)2(x2+2tx+3t2-2)≥0.Δ=8(1-t2).若00,則若1≤t2≤2,Δ≤0,此時(shí)考慮不等式②.設(shè)4x2-4(t3-t)x+3t4-2t2-8=0的兩個(gè)實(shí)根為x1,x2,令t2=λ,則λ∈[1,2].記f(λ)=λ3-5λ2+3λ+8,則f′(λ)簡(jiǎn)析對(duì)于方程x4-2x2-4(t3-t)

提出了一元多項(xiàng)式因式分解的一種方法.1 構(gòu)造b1,b2,…,bm的導(dǎo)出結(jié)式和導(dǎo)出多項(xiàng)式簇設(shè)f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an(n≥3)(1.1)為數(shù)域P中任意給定的一個(gè)一元本原整系數(shù)多項(xiàng)式或一元整式實(shí)系數(shù)(復(fù)系數(shù))多項(xiàng)式(f(x)的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)中沒(méi)有公因子、不含分母、有理數(shù)和根式內(nèi)的有理數(shù)為整數(shù)).設(shè)g0(x)=xm+b1xm-1+…+bm(2≤m(1.2)為f(x)的因式.建立f(x),g0(x)的西爾維斯特結(jié)式矩陣：[2](1.3)對(duì)結(jié)式矩陣(

號(hào)變換例1 分解因式：z2（x - y） - 4（x - y） - 3z（y - x）.解析：以（x - y）為標(biāo)準(zhǔn)，將（y - x）變換為 - （x - y）.原式 =? z2（x - y） - 4（x - y） + 3z（x - y） = （x - y）（z2 + 3z - 4）= （x - y）（z - 1）（z + 4）.二、指數(shù)變換例2 分解因式：2xn + 2 + 4xn - 6xn - 2.解析：以指數(shù)低的xn - 2為標(biāo)準(zhǔn)，將xn變換為xn

李欣雅因式分解即把一個(gè)多項(xiàng)式轉(zhuǎn)化為幾個(gè)最簡(jiǎn)整式的乘積的形式.它與整式乘法互逆，是代數(shù)中不可或缺的恒等變形方法，也是解答代數(shù)問(wèn)題的有力工具.因式分解的方法有很多，同學(xué)們除了要掌握提公因式法、公式法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的技巧.這樣不僅可使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，還有助于提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力.下面就介紹幾種因式分解的巧妙方法.一、拆項(xiàng)法因式分解是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.在進(jìn)行多項(xiàng)式乘法運(yùn)算時(shí)，整理、化簡(jiǎn)會(huì)將幾個(gè)

陸小燕因式分解的方法較多，教材中只介紹了提公因式法和公式法，而在實(shí)際解題過(guò)程中有時(shí)還要用到分組分解法、配方法、添項(xiàng)拆項(xiàng)法、十字相乘法，現(xiàn)舉例介紹這四種方法.一、分組分解法先把給定的多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)分組，再應(yīng)用提公因式法、公式法來(lái)解決問(wèn)題，這種方法就是分組分解法.例1 分解因式m2 - mn + mx - nx = .分析：本題不能直接提公因式，可先分組，通過(guò)兩次提公因式來(lái)達(dá)到目的. 將第一、二項(xiàng)分為一組，提公因式m后為m（m - n），第三、四項(xiàng)為一

）.A. 都是因式分解 ? B. 都是乘法運(yùn)算C. ①是因式分解，②是乘法運(yùn)算 D. ①是乘法運(yùn)算，②是因式分解2. （2020·浙江·金華）能運(yùn)用平方差公式分解因式的是（ ）.A. a2 + b2 B. 2a - b2 C. a2 - b2 D. - a2 - b23. （2020·四川·達(dá)州）圖2是圖1中長(zhǎng)方體的三視圖，若用[S]表示面積，[S主視圖=x2+3x]，[S左視圖=x2+x]，則[S俯視圖]等于 （ ）. A. [x2+4x+3

到的一個(gè)方法。在因式分解中，我們可以將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用字母替換，將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成較為簡(jiǎn)單熟悉的形式，達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”的目的。下面，我們談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">因式分解中的“換元法”。一、整體代換例1因式分解：a2（x-y）-b2（x-y）?！痉治觥款}目中出現(xiàn)了相同的因式xy。我們可以將x-y看作一個(gè)整體，提取公因式，運(yùn)用整體代換的方法。解：a2（x-y）-b2（x-y）=（x-y）（a2-b2）=（x-y）（a+b）（a-b）?！军c(diǎn)評(píng)】當(dāng)題中出現(xiàn)相同因式，我們可以將其

愛(ài)華 學(xué)完提公因式法分解因式后，老師進(jìn)行了一次測(cè)試，柯南的得分最高. 自習(xí)課上，大家都問(wèn)柯南如何才能拿高分. 柯南走上講臺(tái)謙虛地說(shuō)：“我只不過(guò)整理了幾個(gè)小秘籍而已……” 柯南：14x3y2 - 21xy2 + 49xy = xy（14x2y - 21y + 49），這題錯(cuò)哪里了？ 學(xué)生1：括號(hào)里還有公因式7，應(yīng)提取公因式 . 柯南：第一個(gè)小秘籍就是提取公因式要一次提全提凈. 學(xué)生2：柯南快幫我找找錯(cuò)誤吧！3x2 - 6xy + 3x = 3x·（

哲要與同學(xué)們分享因式分解的第三種方法. 小先生：大家都會(huì)計(jì)算（ax + b）（cx + d） = acx2 + （ad + bc）x + bd.如果把這個(gè)式子反過(guò)來(lái)，就得到二次三項(xiàng)式acx2 + （ad + bc）x + bd的因式分解形式，即acx2 + （ad + bc）x + bd? = （ax + b）（cx + d）. 運(yùn)用這個(gè)式子就可以把某些二次三項(xiàng)式分解因式. 學(xué)生1：我還不太明白，你能講講具體應(yīng)該怎么操作嗎？ 小先生：可利用畫(huà)十字交叉

于嘉帥除了提公因式法、公式法、十字相乘法、分組分解法，你是否知道主元變換法？本文以近兩年各省市中考試題為例，簡(jiǎn)要介紹.應(yīng)用主元變換法分解因式，需要注意：在多元（字母）次數(shù)相同的情況下，可任意挑選一個(gè)元為主元;在多元次數(shù)不同的情況下，可選次數(shù)較低的為主元，其余元可作為已知的常數(shù)，通過(guò)降冪排列，打破原來(lái)的結(jié)構(gòu)，重新組合，其中隱蔽的關(guān)系在新組合中就會(huì)充分暴露出來(lái)，這樣有利于分解因式.

被積函數(shù)看成幾個(gè)因式的乘積，找出其中最復(fù)雜的因式。第二，與基本積分表對(duì)照，找出與復(fù)雜因式最相似的公式。第三，根據(jù)最相似的基本積分公式找出中間變量。運(yùn)用以上三步技巧可以快速有效地幫助學(xué)生找到中間變量u=φ(x)，可以靈活應(yīng)用第一換元法求解定積分。5 典型例題以下將通過(guò)典型例題具體闡釋第一換元法求不定積分的技巧。這個(gè)技巧對(duì)于求不定積分是行之有效的，能幫助學(xué)生從容運(yùn)用第一換元法求定積分。例：計(jì)算下列不定積分解：令u=cosx，則du=-sinxdx，于是=-ln

到的一個(gè)方法。在因式分解中，我們可以將多項(xiàng)式的某些項(xiàng)用字母替換，將一個(gè)復(fù)雜的多項(xiàng)式轉(zhuǎn)換成較為簡(jiǎn)單熟悉的形式，達(dá)到“化繁為簡(jiǎn)”的目的。下面，我們談?wù)?span id="j5i0abt0b" class="hl">因式分解中的“換元法”。一、整體代換例1 因式分解：a2（x-y）-b2（x-y）?！痉治觥款}目中出現(xiàn)了相同的因式x-y。我們可以將x-y看作一個(gè)整體，提取公因式，運(yùn)用整體代換的方法。解：a2（x-y）-b2（x-y）=（x-y）（a2-b2）=（x-y）（a+b ）（a-b）?！军c(diǎn)評(píng)】當(dāng)題中出現(xiàn)相同因式，我們可

項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)的因式分解問(wèn)題，建立有重因式的實(shí)系數(shù)多項(xiàng)式在實(shí)數(shù)域內(nèi)的因式分解新方法，以將已有的關(guān)于整系數(shù)域內(nèi)的多項(xiàng)式因式分解的相關(guān)結(jié)果推廣到實(shí)系數(shù)域.1 初等變換的基本內(nèi)容定義稱一個(gè)以R[x]中的多項(xiàng)式為元素的矩陣為x-矩陣，并稱x-矩陣的以下3種變換為初等變換：①矩陣的兩行互換位置；②矩陣的某一行乘以一個(gè)非零常數(shù)；③矩陣的某一行的φ(x)倍加到另一行,其中φ(x)是R[x]中的一個(gè)多項(xiàng)式[5].2 主要結(jié)果進(jìn)一步，d(x)是f(x)與f'(x)的最大公因

式中因數(shù)是整數(shù)，因式是整式;②被開(kāi)方式中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式.（2）化二次根式為最簡(jiǎn)二次根式的步驟是：①先化去被開(kāi)方式的分母;②把被開(kāi)方式中開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式都移到根號(hào)外面.（3）幾個(gè)二次根式化成最簡(jiǎn)二次根式后，如果被開(kāi)方式相同，則它們就是同類(lèi)二次根式，例6（2017年·淮安）下列式子中為最簡(jiǎn)二次根式的是（）.四 二次根式的運(yùn)算）進(jìn)行二次根式的混合運(yùn)算時(shí)，首先要注意運(yùn)算順序，先乘方，再乘除，最后加減;其次是每個(gè)根式都可看成“單項(xiàng)式”，多項(xiàng)式的運(yùn)算法

01)一、對(duì)分解因式的意義理解不正確例1 把(2a-b)2+8ab分解因式.錯(cuò)解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab.錯(cuò)解分析結(jié)果不是幾個(gè)整式積的形式，而是一個(gè)多項(xiàng)式，沒(méi)有達(dá)到分解因式的目的.正解原式=4a2+b2-4ab+8ab=4a2+b2+4ab=(2a+b)2.二、提公因式后漏項(xiàng)出錯(cuò)例2 把4x3y2-6x2y+2xy分解因式.錯(cuò)解原式=2xy(2x2y-3x).錯(cuò)解分析1作為系數(shù)可以省略，但如果它作為因式分解后單獨(dú)的一項(xiàng)，則不

法方法一：約去0因式定義1[1,2]若函數(shù)f(x)是由多個(gè)因式組成，函數(shù)u(x)滿足，且 f(x)=u(x)f1(x)，則稱 u(x)是 f(x)當(dāng) x→ω 時(shí)的一個(gè)0因式.若函數(shù)f1(x)同時(shí)滿，稱 u(x)是 f(x)當(dāng) x→ω時(shí)的全部0因式.以v(x)=u(x)q(x)為例，則f(x)=u(x)f1(x),g(x)=v(x)g1(x)=u(x)q(x)g1(x)，從而例1求極限解原式注：在運(yùn)用約去0因式方法時(shí)，需要通過(guò)因式分解將分母的0因式分解出來(lái)，

1)=12,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系，建立關(guān)系式從而得到(m1,n1)=(7,13),(8,7),(9,5),(10,4),(12,3),(18,2)。當(dāng)(m1,n1)=(7,13),(8,7),(9,5),(12,3)時(shí)，φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個(gè)為大于1的奇數(shù)，則方程無(wú)解。當(dāng)(m1,n1)=(10,4)時(shí)，φ(m)=10,φ(n)=4，則m=11,22,n=5,8,10,12，從而方程有解(m,n)=(11,5),(11,8),(11,10

3)=37,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,可以得到(m1,n1)=(5,40),(41,4).此時(shí)φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個(gè)為大于1的奇數(shù),即方程(4)無(wú)解.當(dāng)d=2時(shí),有 2m1n1?3m1?4n1=25,從而有 (m1?2)(2n1?3)=31,根據(jù)因式與因式的所有可能關(guān)系,可以得到(m1,n1)=(3,17),(33,2).此時(shí)φ(m)與φ(n)兩者中至少有一個(gè)為大于1的奇數(shù),即方程(4)無(wú)解.綜上所述方程(4)無(wú)正整數(shù)解.定理3.2方程無(wú)正

變形叫做多項(xiàng)式的因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.因式分解是中學(xué)數(shù)學(xué)中最重要的恒等變形之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，在求根作圖、解一元二次方程方面也有很廣泛的應(yīng)用，是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具.因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng).學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)解題技能、發(fā)展思維能力都有著十分獨(dú)特的作用.學(xué)習(xí)它，既可以復(fù)習(xí)整式的四則運(yùn)算，又能為學(xué)習(xí)分式打基礎(chǔ)；學(xué)好它，既培養(yǎng)了觀察、思維、運(yùn)算能力，又提高了綜合分析和解決問(wèn)題

c.三、用于分解因式例3閱讀下面材料：若設(shè)關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩個(gè)根分別為x1，x2，那么由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=-ba，x1x2=ca.∵ba=-（x1+x2），ca=x1x2，∴ax2+bx+c=ax2+bax+ca=a[x2-（x1+x2）x+x1x2]=a（x-x1）（x-x2）.于是，二次三項(xiàng)式就可以分解因式ax2+bx+c=a（x-x1）（x-x2）.（1）請(qǐng)用上面的方法將多項(xiàng)式4x2+8x-1分解因式.（

分解因式的數(shù)學(xué)思想分為類(lèi)比思想和歸化思想，類(lèi)比思想是指運(yùn)用整式的乘法進(jìn)行分解因式的探索活動(dòng)，體現(xiàn)整式乘法與分解因式之間的互逆關(guān)系。而歸化思想是指將求解方程化為f（x）=0，對(duì)f（x）進(jìn)行因式分解，然后令各個(gè)因式為0，從而求得原方程的解的思想。運(yùn)用類(lèi)比思想和額歸化思想，較常見(jiàn)的因式分解方法有以下幾種。endprint

開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式；②不含分母；③分母中不含根號(hào).（a≥0）中有能開(kāi)方的因數(shù)；（c≥0）中有分母；（a≥0）中有因式（x>1）的分母中含有“”.故選A.∴3a=a+2，解得a=1.∴3a=9a+18，解得a=-3.【辨析】顯然當(dāng)a=-3時(shí)，3a=-9【正解】由題知3-x≥0，∴x≤3，∴x-5≤0.【錯(cuò)解】原式=（x-5）-（3-x）=x-5-3+x=2x-8.三、忽略題中的隱含條件【正解】C.【錯(cuò)解】B.【正解】C.【錯(cuò)解】D.【辨析】在進(jìn)行二次根式“

，應(yīng)先確定根號(hào)外因式的符號(hào)，若根號(hào)外的因式是非負(fù)數(shù)，則把因式平方后移到根號(hào)內(nèi)；若根號(hào)外的因式是負(fù)數(shù)，則把負(fù)號(hào)留在根號(hào)外，再把根號(hào)外的因式平方后移到根號(hào)內(nèi)進(jìn)行化簡(jiǎn).【點(diǎn)評(píng)】根號(hào)外的因式的范圍應(yīng)根據(jù)被開(kāi)方數(shù)中字母所隱含的取值范圍確定.“內(nèi)移”的過(guò)程實(shí)質(zhì)是逆用公式，由開(kāi)方運(yùn)算變?yōu)槠椒竭\(yùn)算.數(shù)學(xué)是思維的體操，概念又是思維的細(xì)胞，只重結(jié)果而不重?cái)?shù)學(xué)概念形成的來(lái)龍去脈，很容易舍本逐末，形成認(rèn)識(shí)的誤區(qū).因此，我們?cè)谄綍r(shí)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，要經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，這樣才能正確

澤峰新教學(xué)大綱對(duì)因式分解拆項(xiàng)已不作要求，鑒于數(shù)學(xué)是一門(mén)邏輯思維要求較高的學(xué)科，現(xiàn)在不妨就首項(xiàng)系數(shù)為1的整系數(shù)一元多項(xiàng)式拆項(xiàng)法淺作探究。如題目：分解因式x3+6x2+11x+6。這是一道用因式分解法（拆項(xiàng)）來(lái)做的因式分解題。一般拆的方式各有千秋，可結(jié)果都相同。于是我猜想：這些拆項(xiàng)是不是有規(guī)律可循？看到分解的結(jié)果，我聯(lián)想到求根分解法。一元多項(xiàng)式f（x）= x3+6x2+11x+6的次數(shù)為3，若能分解因式，則必含一次因式（x-a）。如何確定a？根據(jù)因式定理，如果

算：乘法公式）、因式分解.整式乘法是整式的一種運(yùn)算，因式分解是對(duì)整式進(jìn)行處理的一種手段，這些運(yùn)算及手段是以后學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算的基礎(chǔ).一、 整式的乘法整式的乘法是在前面學(xué)習(xí)了整式加減運(yùn)算后的另一種整式運(yùn)算. 前一章所學(xué)習(xí)的冪的運(yùn)算性質(zhì)：同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ).整式乘法具體內(nèi)容包括單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 原則：結(jié)果還是單項(xiàng)式；方法：把單項(xiàng)式中能乘的進(jìn)行乘法運(yùn)算（把系數(shù)相乘，相同字母分別

的積的形式，叫做因式分解，其基本方法有兩種：提公因式法和公式法. 在因式分解時(shí)，首先要考慮提取公因式，再考慮運(yùn)用公式法.提公因式法分解因式的關(guān)鍵是正確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式，其方法是選取各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)作為公因式的系數(shù)，各項(xiàng)中相同字母的最低次冪作為公因式的因式. 注意分解后的多項(xiàng)式因式中不能再含有公因式. 另外，當(dāng)多項(xiàng)式的第一項(xiàng)含有“-”時(shí)，一般要提出“-”，使括號(hào)里的第一項(xiàng)為“+”，在提出“-”時(shí)，括號(hào)里的各項(xiàng)都要改變符號(hào).注意：多項(xiàng)式中的第三項(xiàng)正好

1)的2次不可約因式，于是G有構(gòu)造Gk=〈a，b，c，x|ap=bp=cp=xqn=1=[a，b]=[a，c]=[b，c]=[c，x]，ax=b，bx=a-1bβk〉.(8)其中1≤k≤l，而qm‖(p+1)，m≥1，βk∈p，使得λ2-βkλ+1是p元域p上多項(xiàng)式(λqk-1)/(λqk-1-1)的一個(gè)2次不可約因式.易見(jiàn)構(gòu)造(8)共代表l個(gè)互不同構(gòu)的p3qn階群.(3) 如果CP(Q)=1，且G是超可解群，則不妨設(shè)G有正規(guī)群列G?〈a，b，c〉?〈b，

x）.分析：兩個(gè)因式中的－2完全相同，而3x與－3x互為相反數(shù)，因而可運(yùn)用平方差公式計(jì)算，－2是公式中的a，3x是公式中的b.解：原式＝（－2）2－（3x）2＝4－9x2.二、適當(dāng)變形，靈活運(yùn)用例2計(jì)算（2x＋y－z＋5）（2xy＋z＋5）.分析：兩個(gè)因式中含2x和5的項(xiàng)完全相同，而含y和z的項(xiàng)的符號(hào)分別相反，故可適當(dāng)分組，利用平方差公式計(jì)算.解：原式＝[（2x＋5）＋（yz）]·[（2x＋5）－（y－z）]＝（2x＋5）2－（y－z）2＝（4x2＋20x

整式的乘法運(yùn)算、因式分解.內(nèi)容建立在學(xué)習(xí)了有理數(shù)運(yùn)算、列簡(jiǎn)單的代數(shù)式、一次方程及不等式、整式的加減運(yùn)算等知識(shí)的基礎(chǔ)上.整式的乘法運(yùn)算和因式分解是基本而重要的代數(shù)初步知識(shí)，這些知識(shí)是以后學(xué)習(xí)分式和根式運(yùn)算、函數(shù)等知識(shí)的基礎(chǔ).一 、整式的乘法整式的乘法是整式四則運(yùn)算的重要組成部分.其中之前所學(xué)習(xí)的冪的運(yùn)算性質(zhì)，即同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方和積的乘方是整式乘法的基礎(chǔ).整式乘法具體內(nèi)容包括單項(xiàng)式乘以單項(xiàng)式，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式.單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘 把

三個(gè)分母中的六個(gè)因式兩兩分別是互為相反數(shù)，應(yīng)將其中三個(gè)的符號(hào)改變.解：原式=■+■+■=■-■+■=■=0.三、化積約分變形例3 計(jì)算■+■.分析：兩個(gè)分式都不是最簡(jiǎn)分式，可先把兩個(gè)分式的分子和分母都分解因式，這樣能約分.解：原式=■+■=■+■=■？郾四、逐次通分變形例4 計(jì)算■+■+■+■.分析：題中有四個(gè)分式，一次通分，非常麻煩. 前兩個(gè)分式分母中x的次數(shù)相同，而且正好可以運(yùn)用平方差公式，將這兩個(gè)分式先行通分再相加，可避免復(fù)雜的運(yùn)算.解：原式=■+■

式的積的形式叫做因式分解.因式分解的基本思路：首先考慮是否有公因式可以提取，其次考慮能否運(yùn)用公式進(jìn)行分解，最后要檢查每一個(gè)因式是否已經(jīng)完全分解.下面對(duì)因式分解的結(jié)果與同學(xué)們談幾個(gè)基本要求：一、必須是恒等變形的結(jié)果分析：有些同學(xué)誤用等式的性質(zhì)，把多項(xiàng)式各項(xiàng)都乘以4，得到a3b2+4ab3c，再分解成ab2（a2+4bc）.顯然，該解法沒(méi)有遵循恒等變形這一原則，所得結(jié)果是錯(cuò)誤的.正確解法：二、必須是若干因式的乘積例2 分解因式：6mx－6mx2－24m3.分析

次數(shù)＞k的不可約因式。證明 對(duì)?(f(x))歸納。?(f(x))=1時(shí),顯然 f(x)本身就是一個(gè)不可約因式。假設(shè)對(duì)次數(shù)＜n的多項(xiàng)式成立。下證?(f(x))=n時(shí)成立。若 f(x)不可約,則結(jié)論已經(jīng)成立。1°p|/bm,2°p|bi-1,…,b0,3°p2|/b0(否則,由 a0=b0c0得 p2|a0,矛盾。)因此由歸納假設(shè)知 f1(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞i-1≥k的不可約因式,所以 f(x)在有理數(shù)域上有次數(shù)＞k的不可約因式。推論1 Eisenste

+a的二次不可約因式吳華明*(湛江師范學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院，廣東湛江 524048)三項(xiàng)式； 二次不可約因式； Lucas數(shù)； 本原素因數(shù)設(shè)n是大于1的正整數(shù)，f(x)=xn-bx+a，其中a,b是非零整數(shù).三項(xiàng)式f(x)在有理數(shù)域的可約性和因式分解在代數(shù)學(xué)及其應(yīng)用領(lǐng)域有著重要的意義[1].根據(jù)Gauss引理可知：如果f(x)在有理數(shù)域上可約，則f(x)可表成2個(gè)次數(shù)都小于n且首項(xiàng)系數(shù)等于1的整系數(shù)多項(xiàng)式的乘積(參見(jiàn)文獻(xiàn)[2]的定理1.13.2).本文主

的變形中，是分解因式的是（）A． m2－2m－3＝mm－2－ B． a2＋2a＋2＝（a＋1）2＋1C． x2－1＝（x＋1）（x－1） D． （x＋y）（x－y）＝x2－y22． （－2）10＋（－2）11的結(jié)果是（）A． －210 B． －211 C． 210 D． －23． 20032－2003不能被下列哪個(gè)數(shù)整除？這個(gè)數(shù)是（）A． 2003 B． 2002 C． 2001 D． 10014． 下面從左邊到右邊的變形中，不是分解因式

x2－3y4分解因式的結(jié)果是（）A． 3（x－y2）（x＋y2） B． 2x＋4x2－xy＋C． 2x＋4x2－xy＋ D． 2x＋4x2－xy－3． 若n為任意整數(shù)，且（n＋11）2－n2的值總可以被k整除，則k等于（）A． 11 B． 22 C． 11或22 D． 11的倍數(shù)4． 若a2＋ma＋＝a－2，則m的值等于（）A． －5 B． 3 C． －1 D． 7或－15． 把多項(xiàng)式x2y2＋xy＋分解因式，得到的結(jié)果是（）A．

目10余項(xiàng)．分解因式有什么用？分解因式是什么意思？其基本方法有哪些？學(xué)好分解因式需要達(dá)到什么目標(biāo)？這些問(wèn)題都是我們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)無(wú)法回避的.一、為什么要學(xué)習(xí)分解因式？就整個(gè)教材而言，《分解因式》這一章起到承上啟下的作用：一方面，它是整式乘法的逆向變形，學(xué)習(xí)它，可以深化我們對(duì)整式運(yùn)算的理解.另一方面，分解因式的變形，不僅體現(xiàn)了一種“化歸”的思想，而且是分式化簡(jiǎn)、解方程等的必要前提和必備基礎(chǔ).在判斷即將學(xué)到的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0是否有根時(shí)，就等

曉燕　顧海峰分解因式的題型多、變化多，因此，初學(xué)分解因式的同學(xué)常會(huì)犯一些錯(cuò)誤.紅燈一：概念不清例1分解因式：x2－（x－2）2．誤解：原式＝（x＋x－2）（x－x＋2）＝2（2x－2）＝4x－4．剖析：分解因式要求將多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式的乘積形式，應(yīng)與整式的乘法區(qū)分開(kāi)來(lái)．正解：原式＝（x＋x－2）（x－x＋2） ＝2（2x－2）＝4（x－1）．紅燈二：符號(hào)出錯(cuò)例2分解因式：－2x2＋6x＋8．誤解：原式＝－2（x2＋3x－4）＝－2（x＋4）（x－1）．剖

高俊元分解因式是每年中考必考的內(nèi)容之一．近年來(lái)，中考中出現(xiàn)了一些有關(guān)分解因式的新題型．這類(lèi)題不僅可以考查學(xué)生的發(fā)散思維能力，而且可以開(kāi)闊學(xué)生的視野．現(xiàn)舉例說(shuō)明．一、辨析型例1 （2007年·福建）下列分解因式正確的是（）.A． 4－x2＋3x＝（2－x）（2＋x）＋3x B． －x2＋3x＋4＝－（x＋4）（x－1）C． 1－4x＋x2＝（1－2x）2 D． x2y－xy＋x3y＝x（xy－y＋x2y）解析：A中結(jié)果不是積的形式，C不能運(yùn)用完全

李其明分解因式時(shí)，可根據(jù)多項(xiàng)式的形式和特點(diǎn)，采用不同的方法，有時(shí)幾種方法需要聯(lián)合使用或循環(huán)使用．為了能靈活使用分解因式的方法，請(qǐng)同學(xué)們記住如下“口訣”：首先提取公因式，然后考慮用公式；十字相乘試一試，分組分解要合適；四種方法反復(fù)試，結(jié)果必是連乘式．一、 首先提取公因式提取公因式是乘法分配律的逆變形．例1分解因式：（1）x2y（x－y）－xy2（y－x）；（2）3a2nb2m－6anb2m＋1．解：（1）原式＝x2y（x－y）＋xy2（x－y）＝xy（x－y

朱元生分解因式是一種重要的恒等變形，也是處理數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要手段和工具．分解因式是中考和數(shù)學(xué)競(jìng)賽中比較常見(jiàn)的題型.對(duì)于特殊的分解因式，除了考慮提公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等基本方法外，還應(yīng)根據(jù)多項(xiàng)式的具體結(jié)構(gòu)特征，靈活選用一些特殊的方法和技巧.這樣不僅可使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)，而且有助于培養(yǎng)同學(xué)們的探索求新的學(xué)習(xí)習(xí)慣，提高同學(xué)們的數(shù)學(xué)思維能力.現(xiàn)將分解因式中幾種比較常用的方法與技巧列舉如下，供同學(xué)們參考.一、巧拆項(xiàng)在某些多項(xiàng)式的分解因式過(guò)程中

）1. 下列分解因式中錯(cuò)誤的是（）A. 1-9x2=（1+3x）（1-3x） B. a2-a+=a－2C. -mx+my=-m（x+y） D. a2b+5ab-b=b（a2+5a-1）2. 下列多項(xiàng)式中，不能用公式分解因式的是（）A. x2-x+ B. ++ C. -x2-y2 D. m4-253. 將多項(xiàng)式（1+x）（1-x）-（x-1）提公因式x-1后，余下的部分是（）A. （x+1） B. -（x+1） C. x D. -（

呂朋東分解因式是分式約分和通分的基礎(chǔ)．復(fù)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，同學(xué)們應(yīng)注意從以下幾點(diǎn)把握．一、分解因式的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．分解因式時(shí)要注意以下三點(diǎn)．1． 分解因式的對(duì)象是多項(xiàng)式，即等式左邊必須是多項(xiàng)式．2． 分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式．例如，2x＋2y＝2x1＋就不是分解因式．3． 分解因式與整式乘法是互逆過(guò)程．例1 下面從左到右的變形中是分解因式的是（）．A． a（a2－b＋2）＝a3－ab

李世緒分解因式是分式約分和通分的基礎(chǔ)．復(fù)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)，同學(xué)們應(yīng)注意從以下幾點(diǎn)把握．一、分解因式的概念把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．分解因式時(shí)要注意以下三點(diǎn)．1． 分解因式的對(duì)象是多項(xiàng)式，即等式左邊必須是多項(xiàng)式．2． 分解因式的結(jié)果，必須是幾個(gè)整式的積的形式．例如，2x＋2y＝2x1＋就不是分解因式．3． 分解因式與整式乘法是互逆過(guò)程．例1 下面從左到右的變形中是分解因式的是（）．A． a（a2－b＋2）＝a3－ab

多項(xiàng)式中，沒(méi)有公因式的一組是（）A． ax－bx和ay－by B． 2a－3b和4a2－6abC． （a－b）2和（b－a）3 D． xy＋xz和xy－z3． 若9x2＋kxy＋16y2是一個(gè)完全平方式，則實(shí)數(shù)k的值為（）A． 12 B． 24 C． －24 D． ±244． 下列由左至右的變形，屬于分解因式的是（）A． x2－y2＝（x＋y）（x－y） B． （x＋2）（x＋3）＝x2＋5x＋6C． x2＋3x＋5＝x（x＋3）＋5

點(diǎn)：正確理解分解因式的概念以及它與整式乘法的區(qū)別、聯(lián)系，能夠熟練地運(yùn)用提公因式法和公式法把多項(xiàng)式分解因式.2. 難點(diǎn)：能用類(lèi)比的思想方法去分析、理解整式乘法與分解因式的關(guān)系，能靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒▽⒁粋€(gè)多項(xiàng)式分解因式.二、知識(shí)精析1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的積的形式，這種變形叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式．分解因式的最終結(jié)果必須是幾個(gè)整式的積的形式.2. 提公因式法的關(guān)鍵是找出各項(xiàng)的公因式．公因式中的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù)，同一字母或因式的指數(shù)則要取各項(xiàng)中

示.第2課時(shí)分解因式主要知識(shí)點(diǎn)一、分解因式的意義1. 定義：把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式全乘積的形式.2. 注意問(wèn)題：① 分解因式的對(duì)象是多項(xiàng)式；② 分解因式的結(jié)果是幾個(gè)整式乘積的形式；③ 分解因式與整式乘法是互逆變形.3. 分解因式的方法：提公因式法，運(yùn)用公式法.二、分解因式的思路與注意事項(xiàng)1. 先看各項(xiàng)有沒(méi)有公因式，若有公因式，則先提取公因式.2. 再看能否使用公式.3. 分解一定要徹底，即結(jié)果中每個(gè)因式都不能再分解.經(jīng)典例題例 1 下列分解因式正確的是（

生.下面以“分解因式的綜合練習(xí)”為例探討練習(xí)課的教學(xué)方法．教學(xué)目的：通過(guò)轉(zhuǎn)化思想分解因式的練習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用分解因式四種基本方法的解題能力.教學(xué)重點(diǎn)：一是通過(guò)介紹“轉(zhuǎn)化”這種一般的數(shù)學(xué)方法在分解因式上的應(yīng)用；二是通過(guò)一般數(shù)學(xué)方法（轉(zhuǎn)化）與特殊數(shù)學(xué)方法（分解因式的四種基本方法）的結(jié)合，提高學(xué)生綜合使用各種分解因式方法的熟練程度.當(dāng)面臨新的問(wèn)題，使用四種基礎(chǔ)方法不能解決時(shí)，可用探索的思路與策略加以處理，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力.教學(xué)內(nèi)容的安排：

式，叫做多項(xiàng)式的因式分解.因式分解是整數(shù)質(zhì)因數(shù)分解的發(fā)展，實(shí)質(zhì)是多項(xiàng)式乘法的逆運(yùn)算.它是多項(xiàng)式的一種恒等變形，主要包含以下三方面內(nèi)容：１.因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式，無(wú)論是被分解式還是分解后的每一個(gè)因式都是多項(xiàng)式或單項(xiàng)式.２.因式分解的過(guò)程是多項(xiàng)式的恒等變形，每一步保持前后兩式恒等，可以逆用多項(xiàng)式乘法或代入具體數(shù)值來(lái)檢驗(yàn).３.因式分解的結(jié)果是整式連乘積的形式，并且每個(gè)因式都要分解到不能再分解為止.因式分解的方法很多，技巧性較強(qiáng)，常用的有提公因式法、公式法、分組