何艷林，邢笑雪，陳姿言，吳逢鐵（1.華僑大學信息科學與工程學院，福建廈門61021；2.福建省光傳輸與變換重點實驗室，福建廈門61021；.長春大學電子信息工程學院，吉林長春10022）

Bessel光束與平面波相干產(chǎn)生局域空心光束

何艷林1，2，邢笑雪3，陳姿言1，2，吳逢鐵1，2
（1.華僑大學信息科學與工程學院，福建廈門361021；2.福建省光傳輸與變換重點實驗室，福建廈門361021；3.長春大學電子信息工程學院，吉林長春130022）

提出一種利用Bessel光束與平面波疊加得到周期性局域空心光束（bottle beam）的新方法.利用菲涅爾積分衍射理論推導得到Bessel光束與平面波疊加的光場表達式，通過Mathcad軟件數(shù)值模擬兩光場相干疊加的軸向和截面光強分布圖，分析入射光束半徑對局域空心光束的強度和周期的影響.結果表明：平面波與Bessel光束相干疊加能形成周期性的局域空心光束，隨著光束半徑的減小，軸上光強的峰值降低，同一段距離內(nèi)得到的局域空心光束數(shù)量減少.

局域空心光束；貝塞爾光束；平面波；干涉

貝塞爾（Bessel）光束［1］是亥姆赫茲方程在圓柱坐標系自由空間波動方程的特殊解，它具有無衍射光束的獨特性質［2－3］.因此，在應用方面取得很大的成果，特別是在光學微操作、生命科學及納米科技方面有著重要的應用［4－5］.局域空心光束（bottle beam）［6－7］是光束在傳播方向上具有強度為極小的區(qū)域.此區(qū)域外三維空間都圍繞著高強度的光，具有三維封閉的暗中空區(qū)域，這種光束可實現(xiàn)對微粒的三維囚禁和操控.自20世紀90年代以來，人們已經(jīng)提出多種產(chǎn)生局域空心光束的方法［8－14］.其中，軸棱錐［15－16］產(chǎn)生Bessel光束的方法裝置簡單，轉換效率高且抗損傷閾值高，利用這種方法得到的局域空心光束具有泰伯（Talbot）效應.本文提出一種利用Bessel光束與平面波疊加得到周期性局域空心光束的新方法.

1 理論分析

在無源的自由空間內(nèi)，光波的電場滿足標量亥姆霍茲波動方程，即

在柱坐標系下，式（1）的解［18］為

然而，在實際中無法得到理想的能量無窮大的無衍射Bessel光束，只能得到近似的無衍射Bessel光束，即存在最大的無衍射距離Zmax，超出這個距離，無衍射特性不再存在.假設光場滿足旋轉對稱，則軸棱錐透鏡變換后的光場［19］為

0

高斯光束通過望遠鏡系統(tǒng)時的變換，如圖1所示.規(guī)定發(fā)散光波的曲率半徑為正，會聚光波的曲率半徑為負.從波動光學的角度看，薄透鏡其實就是改變光波波陣面的曲率半徑.因此，根據(jù)透鏡的高斯公式，可得

高斯光束通過望遠鏡系統(tǒng)后的光腰變換，如圖2所示.準直擴束系統(tǒng)可以改善光束的方向性，壓縮光束的發(fā)散角，在準直擴束系統(tǒng)前，配合使用濾光片，可使光束分布變?yōu)閷ΨQ分布，從而使光能量分布均勻化.在望遠鏡準直擴束系統(tǒng)中，小焦距f1的條件R1f1，有R′1≈－f1，則

根據(jù)式（4），同理可得

圖1 高斯光束通過薄透鏡時的變換Fig.1 Gaussian beam′s conversion when through a thin lens

將R2帶入1／R′2＝1／R2－1／f2，可知R′2≈∞.將束腰半徑ω2與式（5）對比，可知其相等，所以高斯光束經(jīng)過望遠鏡系統(tǒng)準直擴束后，可得到近似平面波［20］.

由He－Ne激光器發(fā)出的波長為λ，沿z軸傳輸?shù)母咚剐凸獠?/p>

將其帶入柱坐標系下的菲涅耳積分公式，即

在推導的過程中滿足

即

將式（6），（8）帶入式（7），經(jīng)高斯調(diào)制之后的平面波表達式為

設想實驗裝置圖，如圖3所示.圖3中：f1，f2為望遠鏡擴束系統(tǒng)；BS1，BS2為分束器.取干涉后光束的傳輸方向為z軸，軸棱錐頂點為原點.He－Ne激光器發(fā)射的光束經(jīng)擴束系統(tǒng)轉化為平行光，光闌P將光束半徑限制為3mm，平行光垂直入射到BS1，被分為沿2個方向傳播的光束.一束平行光垂直穿過軸棱錐（平行光變?yōu)锽essel光），再入射BS2上；另一束平行光直接入射到BS2.兩束光在BS2相遇并發(fā)生干涉，形成平行光和Bessel光的相干.在模擬時，可取不同的z值觀察截面光強圖，l＜z＜zmax－l.

圖3 設想實驗裝置Fig.3 Assumption experimental device

2 數(shù)值模擬與討論

同頻率且振動方向一致的貝塞爾光與平面波干涉疊加，產(chǎn)生多個局域空心光束.疊加區(qū)域對應的光強為

在λ＝632.8nm，γ＝1°，n＝1.47，R＝3mm，ω≈3mm的條件下，取z為213，219，224，分別帶入式（3）和式（9），可得I分別為712.9，1.026×103，882cd.由此可知，相對于Iz＝219，其他兩處皆為光強較弱的暗域.

根據(jù)節(jié)1的理論分析，取λ＝632.8nm，γ＝1°，n＝1.47，R＝3mm，ω≈3mm，與式（3），（9），（10）一起導入Mathcad，調(diào)節(jié)參數(shù)可得相干之后的光強軸向分布，如圖4所示.圖4中：ρ為光束半徑.由圖4可知：在中心軸處可以明顯看出亮暗相交的現(xiàn)象，而在暗域四周都圍繞著亮的區(qū)域，即局域空心光束.

為了更清晰地確定暗域的軸向位置，可畫出這一段的光強（I）軸向分布的曲線圖，如圖5所示.跟蹤到207～230mm的光斑在亮暗之間經(jīng)過了2次轉換，形成2個暗中空區(qū)域.選取不同軸向距離，得到截面光強圖，如圖6所示.

圖4 光強軸向分布Fig.4 Axial intensity distribution

圖5 光強軸向分布曲線Fig.5 Curve of axial intensity distribution

由圖6（b），（d）可知：213，224mm處是2個暗中空區(qū)域，這與圖5的理論模擬結果一致，且暗域周圍第一個亮環(huán)比其他光環(huán)粗.224mm處的截面光強分布曲線圖，如圖6（f）所示.由圖6（f）可知：對稱中心處曲線下凹產(chǎn)生了局域空心光束，但能量不為0.

圖6 截面光強分布圖Fig.6 Cross－section intensity distribution

為了討論入射光束的尺寸對局域空心光束的強度和周期的影響，將擴束后的激光光束用光闌限制為不同的半徑，參照圖5的步驟模擬，對比軸向光強分布，如圖7所示.

由圖7可知：隨著光束半徑的減小，軸上光強的峰值降低，半峰全寬度增大，在同一段距離內(nèi)得到的局域空心光束數(shù)量減少，則在不同層次上捕獲的粒子數(shù)量也減少.

分別取R為2.8，3.0，3.2mm，z為150～160mm，模擬局域空心光束的軸向光強分布，如圖8所示.

由圖8可知：隨著半徑增加，局域空心光束暗域數(shù)量增加；當R＝2.8mm時，有2個局域空心光束；當R＝3.0 mm時，有2個完整局域空心光束和1個不完整局域空心光束；當R＝3.2mm時，有2個完整的局域空心光束和1個相對完整的局域空心光束，這與圖7的結果吻合.

圖7 光強軸向分布曲線對比圖Fig.7 Contrast curve of axial intensity distribution

圖8 不同光束半徑下的光強軸向分布Fig.8 Axial intensity distribution with different beam radius

3 結束語

根據(jù)波動方程和衍射理論推導經(jīng)軸棱錐產(chǎn)生Bessel光束和平面波相干的表達式，將表達式導入光學軟件，結合干涉理論，完整模擬出局域空心光束的三維光強分布，以及沿光軸不同距離z處橫截面的光強分布.證明用同頻率、相同振動方向的Bessel光束與平面波干涉可以產(chǎn)生局域空心光束.模擬不同光束半徑條件下的軸向光強分布曲線，得出光束半徑減小，軸上光強的峰值降低，半峰全寬增大，在同一段距離內(nèi)得到的局域空心光束數(shù)量減少的結論.

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（責任編輯：錢筠 英文審校：吳逢鐵）

Interference of a Plane Wave with a Bessel Beam
to Generate Bottle Beam

HE Yanlin1，2，XING Xiaoxue3，CHEN Ziyan1，2，WU Fengtie1，2
（1.College of Information Science and Engineering，Huaqiao University，Xiamen 361021，China；2.Fujian Key Laboratory of Optical Beam Transmission and Transformation，Xiamen 361021，China；3.School of Electronic and Information Engineering，Changchun University，Changchun 130022，China）

In this paper，we propose a new method to generate periodic bottle beam by superposition of a Bessel beam with a plane wave for the first time.The optical fields′expression of superposition of the Bessel beam and the plane wave was deduced，the radial and transverse intensity distribution of the field was numerical simulated by Mathcad.The influence of the incident beam radius on the intensity and period of bottle beam was analyzed.The results show that bottle beam can be generated by coherence of Bessel beam and plane wave，we also found that with the decreases of beam radius，the intensity of the peaks decreased and the number of bottle beam decreases at the same distance.

bottle beam；Bessel beam；plan wave；interference

O 436.1

A

1000－5013（2016）04－0492－05

10.11830／ISSN.1000－5013.201604020

2015－11－28

吳逢鐵（1958－），男，教授，博士，主要從事光束傳輸與變換、短脈沖技術及非線性光學的研究.E－mail：fengtie＠hqu.edu.cn.

國家自然科學基金資助項目（61178015）；福建省科技創(chuàng)新平臺計劃項目（2012H2002）；福建省泉州市科技計劃重點項目（2014Z127）