浙江省德清縣第三中學(xué)　(313201)

尹　文　施剛良

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好題如好酒，越品味越濃
——以2014年浙江理科數(shù)學(xué)第21題為例

浙江省德清縣第三中學(xué)(313201)

尹文施剛良

2014年浙江理科數(shù)學(xué)第21題是一道非常不錯(cuò)的試題，給人耳目一新的感覺.好的試題就像一壇陳年佳釀，打開蓋子酒香馬上撲面而來，光靠聞一下就知道肯定是好酒.如果再加以細(xì)細(xì)地品嘗的話，那就“別有一番風(fēng)味”了.

一、試題及解答呈現(xiàn)

2014年浙江理科數(shù)學(xué)第21題：

圖1

(1)已知直線l的斜率為k，用a,b,k表示點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)若過原點(diǎn)O的直線l1與l垂直，證明：點(diǎn)P到直線l1的距離的最大值為a-b.

評注：標(biāo)準(zhǔn)答案通過設(shè)直線l的斜率k，然后聯(lián)立直線與橢圓方程，令Δ=0得到點(diǎn)P的坐標(biāo)；再利用點(diǎn)到直線的距離公式結(jié)合基本不等式求得點(diǎn)P到直線l1距離的最大值為a-b.這種思路比較自然、流暢，但計(jì)算量相對偏大，而且處理的都是字母之間的運(yùn)算，可以說“擊中”了學(xué)生的“軟肋”，學(xué)生往往半途而廢.分析上面的解題過程，試題設(shè)定了直線l的斜率k，通過層層設(shè)問，給學(xué)生作鋪墊，讓學(xué)生按照試題的要求去做，當(dāng)然可以降低學(xué)生的解題難度，體現(xiàn)命題者對考生的“人文關(guān)懷”，但不利于學(xué)生創(chuàng)造性思維的發(fā)揮.瑕不掩疵，這道試題還是非常好的，讓人覺得耳目一新，拍手稱好!

二、試題的另解

三、類比探究

圖2

下面將上述探究的結(jié)論敘述如下：

上面筆者通過深入挖掘和探究，得到了有心圓錐曲線的兩個(gè)性質(zhì)，于是很自然地就會(huì)提出問題：

圖3

四、結(jié)束語

2014年浙江省的理科圓錐曲線試題較往年有所不同，以往都是第1問求圓錐曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，第2問求相關(guān)的最值或取值范圍問題.而2014年的這道試題的結(jié)論具有一般性，讓人耳目一新，能有效地考察學(xué)生的運(yùn)算能力和數(shù)學(xué)思維能力，是一道很好的試題.同時(shí)，這道試題為我們一線教師進(jìn)一步探究提供了絕佳的機(jī)會(huì)，上面筆者的探究歷程就是很好的印證，當(dāng)然也說明這道試題所蘊(yùn)含的價(jià)值.好的試題猶如一壇美酒，隨著時(shí)間的推移會(huì)越發(fā)地散發(fā)出迷人的酒香，正所謂“酒香不怕巷子深，題好不怕沒人探”，我們一線教師期待命題者能多出這樣的好題.

[1]邢友寶.莫為浮云遮望眼——例談“簡中求道”思想指導(dǎo)下的問題解決[J].數(shù)學(xué)通訊，2014(4)(下半月).