屈晶晶，張立民，邱飛力，周　輝

（西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031）

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頻響函數(shù)殘差法在有限元模型修正中的應用

屈晶晶，張立民，邱飛力，周輝

（西南交通大學 牽引動力國家重點實驗室，成都 610031）

準確的有限元模型能夠真實有效地反映實際結構的動態(tài)信息，為縮小結構建模中的誤差極有必要對結構有限元模型進行修正。目前，基于模態(tài)頻率、振型和頻響函數(shù)的模型修正方法應用最廣。其中基于頻響函數(shù)的修正方法避免了模態(tài)參數(shù)識別過程的誤差，且不受測試自由度數(shù)限制，與模態(tài)頻率和振型的模型修正方法相比更具有優(yōu)勢。基于頻響函數(shù)的修正方法按目標可分為頻響函數(shù)相關性法和頻響函數(shù)殘差法。頻響相關性法立足于形狀和幅值相關性與參數(shù)靈敏度的關系，與頻響函數(shù)殘差法相比，喪失了頻響函數(shù)與設計參數(shù)的直接關聯(lián)，導致在部分結構模型修正中出現(xiàn)振蕩不收斂現(xiàn)象。為此，基于實際測試結構對比研究兩種方法在有限元模型修正中的應用，并分析頻率點數(shù)和頻帶范圍對基于頻響函數(shù)殘差法的模型修正的影響。結果表明頻響函數(shù)殘差法能夠穩(wěn)定收斂且具有高效性；同時，合理的頻率點數(shù)和較寬頻帶范圍有利于提高頻響函數(shù)殘差法的修正效率。

振動與波；模型修正；頻響靈敏度；頻率點數(shù)；頻帶范圍

準確的有限元模型能夠真實有效地反映實際結構的動態(tài)特性，從而對結構的設計和優(yōu)化提供可靠指導。對實際結構而言，難以建立與其動態(tài)性能完全一致的有限元模型。即在有限元建模過程中，不可避免地存在誤差，進而影響模型的計算精度。為縮小有限元模型的誤差，有必要對有限元模型進行修正［1］。

為避免模型修正的盲目性，采用靈敏度分析確定特征量對修正參數(shù)的敏感程度［2］，進而確立模型參數(shù)的修改方向以符合實際結構特性。結合設計參數(shù)的靈敏度，以結構的動態(tài)特征為目標的模型修正方法成為了當前研究的熱點。其中，基于結構模態(tài)頻率、振型和頻響函數(shù)的修正方法應用最為廣泛［1-5］?；谀B(tài)頻率和振型的修正方法，需要足夠的測試自由度同時依賴于模態(tài)識別的精度，這將增加測試工作量且在修正過程中引入了模態(tài)分析誤差，增加了修正的難度［5］?；陬l響函數(shù)的模型修正方法，所必需的測試自由度較少，降低了測試工作量且不需要模態(tài)參數(shù)識別，降低了測試數(shù)據(jù)的誤差［6］。

頻響函數(shù)修正方法按修正目標的不同可分為頻響函數(shù)相關性法［7-8］和頻響函數(shù)殘差法。頻響相關性法失去了設計參數(shù)與結構特征量的直接關系，在結構修正中可能不收斂。頻響相關性法的缺陷，可采用頻響函數(shù)殘差法進行彌補。同時，基于頻響函數(shù)相關系數(shù)的期望和標準差建立的模型精度判定準則，可評價實測與仿真數(shù)據(jù)的一致性程度［9］。

1　基于頻響函數(shù)模型修正方法

1.1頻響函數(shù)相關性法

離散系統(tǒng)的頻響函數(shù)計算表達式為［10］

其中［K］、［M］和［C］分別為結構的剛度矩陣、質量矩陣和阻尼矩陣。

頻響函數(shù)相關系數(shù)反映頻響函數(shù)測試值與仿真值的一致性程度，其具體分為形狀相關性和幅值相關性。頻響函數(shù)形狀相關性計算表達式為

為克服形狀相關性函數(shù)的不足，引入幅值相關系數(shù)，其計算表達式如式（3）所示。

基于頻響函數(shù)相關性系數(shù)的模型修正方法，其目標函數(shù)可以用式（4）表示。

即

其中｛ε｝為相關系數(shù)殘差，［S1］為頻響函數(shù)相關系數(shù)的靈敏度矩陣，｛Δ p｝ 為有限元修正參數(shù)的的迭代值。

利用擴展加權的最小二乘法，目標函數(shù)轉換為

其中

采用Link法對其求解［11］，單次迭代設計參數(shù)改變量如式（11）所示。

1.2頻響函數(shù)殘差法

頻響函數(shù)靈敏度可表示為頻響函數(shù)對設計參數(shù)的偏導數(shù)，如式（7）所示。

結合泰勒級數(shù)展開公式并忽略高階項，則有

將式（7）代入式（8）中，并利用差分原理化簡可得

［S2］為結構頻響函數(shù)對設計參數(shù)的靈敏度矩陣。結合頻響函數(shù)靈敏度計算式（9），有限元模型修正方程可表示為

｛pu｝為結構參數(shù)真實值?；喛傻?/p>

｛ΔH（ω）｝為頻響函數(shù)殘差；｛Δp｝為參數(shù)的改變量。

將式（11）改寫成為優(yōu)化求解的目標函數(shù)

式（12）通常情況下為超定方程組，采用廣義逆方法進行求解，如式（13）所示。

1.3精度判定準則

頻響函數(shù)相關系數(shù)的期望和標準差分別表示為式（14）-式（17）所示。

結合式（14）—式（17），建立精度判定準則如式（18）所示。

若式（18）成立，表明模型滿足精度修正完成；否則，仿真模型不滿足精度，需要繼續(xù)迭代修正。

2　算例驗證

2.1頻響測試

某支架結構由槽鋼、方鋼和角鋼3種型材組成。采用沖擊激勵法，估計結構在0～120 Hz范圍內頻響函數(shù)。現(xiàn)場試驗照片如圖1所示。

圖1　支架頻響測試

2.2有限元諧響應分析

有限元模型主要參數(shù)如表1所示。

實際支架為彈簧彈性支撐，在有限元模型中采用彈簧單元（COMBIN 14）進行模擬，支撐剛度由實際支架結構剛體模態(tài)和質量計算，如式（19）—式（20）所示。

其中ω為實際支架結構剛體模態(tài)頻率，k為支撐剛度，m為支架質量。

有限元模型如圖2所示。

圖2　支架有限元模型

表1　支架模型初始參數(shù)表

對有限元模型進行諧響應分析，得到測點的頻響函數(shù)圖，與測試結果對比如圖3所示。

圖3　初始模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)對比

根據(jù)式（19）—式（22），初始模型頻響函數(shù)相關系數(shù)的期望和標準差為：Sσ1=1.49×10-16，Sσ2=0.09，?1=2.16×10-17，?2=0.02，Sσ2和 ?2不滿足式（18），說明仿真模型不滿足精度，需要修正。

2.3修正算法對比

采用頻響函數(shù)相關性法（以下簡稱“方法1”）和頻響函數(shù)殘差法（以下簡稱“方法2”）對支架有限元模型進行修正（說明：為借助文獻［12］的最終修正參數(shù)作為本文支架模型修正的參考值，在后續(xù)的仿真計算中如未特別說明，頻帶范圍均取0～100 Hz）。

在40次迭代后，兩種方法修正后的模型頻響函數(shù)相關系數(shù)期望?最大值為0.001 8，均滿足精度判定準則，鑒于篇幅原因此處未給出。頻響函數(shù)相關系數(shù)標準差Sσ隨迭代次數(shù)變化見圖4。

由圖4可知，迭代40次后，方法1標準差Sσ1隨迭代次數(shù)增加處于閥值界定線之下，而Sσ2呈振蕩狀態(tài)；方法2標準差Sσ1和Sσ2隨迭代次數(shù)增加均處于閥值界定線之下，滿足判定準則。

*方法1Sσ1　oo方法1Sσ2　··方法2Sσ1　++方法2Sσ2——標準差0.03閥值界定線圖4迭代變化圖

這表明方法1對本支架結構的模型修正效率明顯低于方法2，其原因在于方法1失去了設計參數(shù)與頻響函數(shù)的直接關聯(lián)信息。

測點頻響函數(shù)仿真與測試值對比如圖5所示。

圖5　修正模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)對比

由圖5可知，基于方法2修正后的模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)高度吻合，表明了經方法2修正后的模型能夠反映結構的動態(tài)特性。

方法2修正后的模型參數(shù)與支架結構參數(shù)參考值［12］對比如表2所示。

由表2可知，修正后的模型參數(shù)最大誤差為0.36%，與模態(tài)頻率修正方法獲取的參數(shù)值高度吻合，驗證了頻響函數(shù)殘差法的有效性與實用性。

3　頻響函數(shù)殘差法影響因素

3.1頻響函數(shù)點數(shù)

頻響函數(shù)點數(shù)會影響模型修正質量，此處研究頻率點數(shù)分別在200點、400點、600點、800點和1 000點工況下，支架模型修正效果的變化規(guī)律。

標準差Sσ2隨迭代次數(shù)變化如圖6所示（Sσ1數(shù)量級均為10-16，滿足判定準則，故不再畫出）。

由圖6可知，截止40次迭代，當且僅當頻率點數(shù)為400點時，標準差Sσ處于閥值界定線之下，即模型修正收斂。

表2　支架模型修正參數(shù)對比表

**200點　oo 400點　△△600點　++800點　??1 000點——標準差0.03閥值界定線圖6迭代變化圖

400點頻響函數(shù)殘差法修正后的模型頻響函數(shù)相關系數(shù)期望?1=1.05×10-17，?2=0.001 8，根據(jù)式（18）可知滿足判定準則。

測點頻響函數(shù)仿真與測試值對比如圖7所示。

圖7　修正模型頻響函數(shù)與試驗頻響函數(shù)對比

由圖7可知，采用頻響函數(shù)殘差法，當其點數(shù)為400時，修正后模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)吻合。

綜上，合適的頻率點數(shù)可以提高頻響函數(shù)殘差法對有限元模型修正的效率。

3.2頻帶范圍

由于實際測試的頻響頻帶寬度有限［13］，而過窄頻帶的頻響函數(shù)則不能準確描述結構的動態(tài)特性，此處研究頻帶范圍在0～10 Hz、0～50 Hz、0～75 Hz、0～100 Hz和0～120 Hz工況下（頻響函數(shù)均取400點）支架模型修正效果的變化規(guī)律。

標準差Sσ2隨迭代次數(shù)變化如圖8所示（Sσ1數(shù)量級均為10-16，滿足判定準則，故不再畫出）。

圖8　迭代變化圖

由圖8可知，截止40次迭代，當頻帶范圍為0～100 Hz和0～120 Hz時，Sσ處于閥值界定線之下，模型修正收斂。且0～100 Hz達到收斂精度需要40次迭代，0～120 Hz需要31次。

0～100 Hz和0～120 Hz頻響函數(shù)殘差法修正后的模型頻響函數(shù)相關系數(shù)期望為：

0～100 Hz：?1=1.05×10-17，?2=0.001 8，

0～120 Hz：?1=3.03×10-17，?2=0.000 2，

根據(jù)式（18）可知均滿足判定準則。

測點頻響函數(shù)與試驗頻響函數(shù)對比如圖9所示。

圖9　修正模型頻響函數(shù)與試驗頻響函數(shù)對比

由圖7可知，采用頻響函數(shù)殘差法，當其頻帶范圍為0～100 Hz和0～120 Hz時，修正后模型頻響函數(shù)與測試頻響函數(shù)吻合。

綜上，參與修正的頻帶范圍越寬，頻響函數(shù)殘差法模型修正的效率越高。

4　結語

（1）基于頻響函數(shù)相關系數(shù)的期望和標準差建立模型精度判定準則，對比了頻響函數(shù)相關性法和頻響函數(shù)殘差法對支架有限元模型的修正效果。

（2）利用頻響函數(shù)相關性法修正模型出現(xiàn)振蕩不收斂；利用頻響函數(shù)殘差法修正支架模型最大誤差僅為0.36%，表明頻響函數(shù)殘差法的有效性與實用性。

（3）通過對比200點、400點、600點、800點和1 000點頻響函數(shù)殘差法對模型進行修正，400點頻響函數(shù)最易達到修正目標。因此，選取合適的頻率點數(shù)可以提高頻響函數(shù)殘差法對有限元模型修正的效率。

（4）通過對比0～100 Hz和0～120 Hz頻響函數(shù)殘差法對模型進行修正，0～120 Hz頻響函數(shù)較0～100 Hz更快達到預設的精度判定準則。因此，較寬的頻帶范圍有利于頻響函數(shù)殘差法模型修正效率的提高。

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Application of FRF Residual-error Method in Finite Element Model Updating

QU Jing-jing，ZHANG Li-min，QIU Fei-li，ZHOUHui

（State Key Laboratory of Traction Power，Southwest Jiaotong University，Chengdu 610031，China）

Dynamic information of actual structures can be reflected by accurate finite element models effectively.In order to reduce the error in structural modeling，it is necessary to update the finite element model.Currently，the updating methods based on modal frequencies，mode shapes and FRF have been used widely.Among them，the method based on FRF has more advantages than the others since it can avoid the error from modal parameters identification and its testing DOF is unlimited.According to the objective function，the method based on FRF can be classified into FRF correlation method and FRF residual-error method.The FRF correlation method is based on the correlation of mode shape and amplitude with parameters sensitivity.However，in comparison with the FRF residual-error method，this method loses the direct correlation between the FRF and design parameters so that the oscillation and divergence phenomena occur in the model updating for some structures.Therefore，with an actual structure as the object，the two methods in the finite element model updating are compared each other；and the effect of the frequency points and frequency range on the model updating based on FRF residual-error method is analyzed.The results show that the residual-error method can lead to a stable convergence and it has high efficiency.Meanwhile，reasonable frequency points and wider frequency range are beneficial to improving the updating efficiency.

vibration and wave；model updating；FRF-sensitivity；frequency points；frequency range

O327

ADOI編碼：10.3969/j.issn.1006-1335.2016.04.011

1006-1355（2016）04-0053-05

2015-12-23

屈晶晶（1992-），女，重慶潼南人，碩士研究生，主要研究方向為有限元模型修正、高速動車組減振降噪設計。E-mail:675876357@qq.com