帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型

陳　杰， 陳志祥， 邢靈博， 陳崇萍

(1. 中山大學(xué)管理學(xué)院, 廣州 510275； 2. 海南熱帶海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系, 三亞 572022)

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帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型

陳杰1, 2， 陳志祥1， 邢靈博2， 陳崇萍1

(1. 中山大學(xué)管理學(xué)院, 廣州 510275； 2. 海南熱帶海洋學(xué)院數(shù)學(xué)系, 三亞 572022)

在隨機(jī)需求環(huán)境下考慮帶有能力約束的多產(chǎn)品報童問題.為了對多產(chǎn)品的需求進(jìn)行預(yù)測，并度量其需求間的關(guān)系,本文首先建立了多元馬氏需求模型.其次，在該模型的理論基礎(chǔ)上,提出了帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型,進(jìn)而給出多產(chǎn)品的最優(yōu)訂購策略解.最后,利用期望需求狀態(tài)的概率值及其截尾概率分析了模型最優(yōu)解的性質(zhì).模型的結(jié)論表明,在能力約束的條件下,最優(yōu)訂購量關(guān)于左截尾概率單調(diào)遞減，關(guān)于右截尾概率單調(diào)遞增,而期望需求狀態(tài)的概率值對最優(yōu)訂購量具有雙重的特殊影響.

多元馬氏鏈; 多產(chǎn)品報童模型; 能力約束; 截尾概率; 最優(yōu)訂購策略

0　引　言

Whitin[1]是較早研究報童模型的學(xué)者之一,他提出的模型在庫存優(yōu)化管理領(lǐng)域里得到了空前的應(yīng)用和拓展,但隨著現(xiàn)代供應(yīng)鏈管理所提倡的具有革命性的QRD(quickly respond to demand)理念的提出[2],經(jīng)典報童模型的整個理論體系受到了極大的沖擊和挑戰(zhàn).QRD供應(yīng)理念要求供應(yīng)商對市場的需求做出迅速的響應(yīng),這種響應(yīng)方式建立在正確的訂購策略基礎(chǔ)之上,并以需求預(yù)測為前提條件,這對需求的預(yù)測提出了更高的要求.然而,在能力約束的條件下,以需求預(yù)測為基礎(chǔ)的經(jīng)典報童模型[3],得出來的最優(yōu)訂購策略存在不足之處,即在給定需求的分布函數(shù)的條件下,最優(yōu)訂購策略只跟能力、單位缺貨成本和過剩費(fèi)用等非隨機(jī)因素有關(guān),該模型忽略了需求狀態(tài)的概率值及其左、右截尾概率對模型最優(yōu)解的影響.同樣,在處理多產(chǎn)品的最優(yōu)化問題時,傳統(tǒng)的多產(chǎn)品報童模型也忽略了各產(chǎn)品需求間的關(guān)聯(lián)性.因此,在隨機(jī)需求環(huán)境下,其模型的理論設(shè)計(jì)有待于進(jìn)一步完善.

近年來,報童模型作為優(yōu)化庫存訂購決策的重要理論工具,仍是理論研究的熱點(diǎn)之一.姚忠[4]在風(fēng)險約束下運(yùn)用報童庫存模型建立了供應(yīng)鏈決策模型,分析了退貨策略對單周期供應(yīng)鏈的協(xié)調(diào)性.黃松等[5,6]則考慮了戰(zhàn)略顧客行為因素并引入了理性預(yù)期均衡分析,建立了相應(yīng)的模型并得到戰(zhàn)略顧客雙方靜態(tài)博弈時的理性預(yù)計(jì)均衡解.李毅學(xué)等[7]考慮了統(tǒng)一授信模式的特征及成本收益結(jié)構(gòu),借鑒貿(mào)易融資中“主體+債項(xiàng)”的風(fēng)險評估思路,構(gòu)建融資約束下的報童模型,分析風(fēng)險中性的借款企業(yè)的再訂購決策,并通過借款企業(yè)和物流企業(yè)的Stackelberg動態(tài)博弈,分析下側(cè)風(fēng)險規(guī)避的物流企業(yè)的質(zhì)押率決策.谷水亮和鞠彥兵[8]結(jié)合資金因素建立了多產(chǎn)品的報童模型,并通過費(fèi)用函數(shù)最小化的實(shí)現(xiàn)來尋求滿足約束條件的最優(yōu)訂購量.朱賽花等[9]研究了在資源和預(yù)算約束條件下允許外購的多產(chǎn)品報童問題,在非零延遲時間外購情況下建立了以求總體花費(fèi)最小值為目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化模型.周艷菊等[10]考慮了需求不確定條件下的兩產(chǎn)品訂貨問題,在前景理論的框架下分析、推導(dǎo)了隨機(jī)市場需求下零售商對兩產(chǎn)品訂貨的價值函數(shù)、主觀概率與決策權(quán)重函數(shù),并建立了兩產(chǎn)品報童的訂貨模型.Chen[11]在資源約束的條件下,研究了報童問題的Stackelberg-Nash均衡策略,并從理論上證明了其存在性和唯一性.在風(fēng)險約束條件下,Choi和Ruszczyński[12]利用指數(shù)效函數(shù)對多產(chǎn)品報童模型的風(fēng)險規(guī)避性進(jìn)行了系統(tǒng)的分析.基于預(yù)算約束的條件,Shi和Zhang[13]聯(lián)合定價和折扣因子提出了多產(chǎn)品報童模型.Zhang和Du[14]在能力的約束條件和假設(shè)不同產(chǎn)品的需求相互獨(dú)立的情況下,引入產(chǎn)品外包的思想考慮了報童問題,并給出模型的最優(yōu)解及其性質(zhì).在服務(wù)和損失約束條件下,Jammernegg和Kischka[15,16]研究了風(fēng)險偏好及價格敏感下的報童模型.Murray等[17]在資源能力約束的條件下,建立了基于價格敏感的多產(chǎn)品報童模型,并利用整數(shù)規(guī)劃方法給出模型的最優(yōu)解.由于帶約束條件的多產(chǎn)品報童模型求解過程比較復(fù)雜,從而引起一些學(xué)者致力于對其求解方法的研究.Zhang和Hua[18]通過組合方法對帶有預(yù)算約束條件的多產(chǎn)品模型進(jìn)行求解,而Abdel和Otegbeye[19]則利用可分離規(guī)劃和對偶方法對相應(yīng)模型的求解方法進(jìn)行研究.雖然以上對多產(chǎn)品報童模型的研究成果進(jìn)一步完善了報童模型的理論,但是這些理論成果有個共同點(diǎn)就是基于各產(chǎn)品需求間的獨(dú)立性.然而,在隨機(jī)需求的環(huán)境下,由于顧客的需求具有多樣性、偏好性和轉(zhuǎn)移性等顯著特點(diǎn),導(dǎo)致多產(chǎn)品的需求之間發(fā)生相互轉(zhuǎn)移, 從而產(chǎn)生需求間的關(guān)聯(lián)性.顯然,在這種情形下各產(chǎn)品的需求間不具有獨(dú)立性.因此,需進(jìn)一步發(fā)展新的理論工具來解決此類庫存優(yōu)化問題.

Ching等[20]在傳統(tǒng)馬氏理論的基礎(chǔ)上提出了更一般化的馬氏鏈,即多元馬爾可夫模型,并建立了多產(chǎn)品的需求狀態(tài)預(yù)測模型.雖然利用多元馬爾可夫模型可以解決多產(chǎn)品需求狀態(tài)間的關(guān)系和需求狀態(tài)預(yù)測問題,但需求狀態(tài)畢竟不是需求量,兩者是不同的概念.現(xiàn)代庫存優(yōu)化控制理論基本上都是以需求量的預(yù)測為基礎(chǔ),而不是需求狀態(tài),因此該模型的理論成果與經(jīng)典報童模型不具有兼容性.事實(shí)上, 所謂需求狀態(tài)就是決策者根據(jù)產(chǎn)品需求量的大小對其進(jìn)行等級劃分,如實(shí)踐過程中常將其劃分為淡季、一般、中等、較好和旺季等五個需求狀態(tài)(具體的定義詳見文獻(xiàn)[21]的第6.3.2節(jié)).可見,需求狀態(tài)和需求量具有屬性之別,即前者為產(chǎn)品需求的定性描述,而后者則為定量描述.Ching等提出的預(yù)測模型只給出產(chǎn)品的需求在未來的某個周期所處的狀態(tài),如處于淡季或旺季狀態(tài),即只給出模糊的需求程度,卻未指出產(chǎn)品未來的具體需求量.經(jīng)典報童模型則建立在隨機(jī)需求變量x的密度函數(shù)f(x)的基礎(chǔ)之上,其中變量x表示產(chǎn)品的需求量,而非需求狀態(tài).因此,兩者不具有兼容性.為了克服這個技術(shù)難點(diǎn),本文首先將需求量進(jìn)行狀態(tài)劃分作為理論的切入點(diǎn),再利用需求量的密度函數(shù)作為狀態(tài)依賴的假設(shè)條件,轉(zhuǎn)化期望需求狀態(tài)為期望需求量,進(jìn)而在建立多元馬氏需求模型的理論基礎(chǔ)上,提出帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型,并基于該模型研究多產(chǎn)品的最優(yōu)訂購策略問題.同時,利用期望需求狀態(tài)的概率值及其截尾概率分析該模型最優(yōu)解的性質(zhì).

1　模型構(gòu)建

1.1模型描述、符號說明和假設(shè)

需求的多樣性、轉(zhuǎn)移性是現(xiàn)代消費(fèi)最顯著的特性之一,消費(fèi)者在產(chǎn)品的品牌、質(zhì)量、價格和實(shí)用性等諸多方面具有不同的需求偏好性.供應(yīng)商為了順應(yīng)這種趨勢以保持其在市場競爭中的優(yōu)勢,往往致力于沿著商品的多元化方向進(jìn)行研發(fā)和拓展.在這樣的市場環(huán)境下,當(dāng)消費(fèi)者面臨多種選擇時,在一定的時間段有可能因?yàn)檫x擇了A系列產(chǎn)品,而不會再選擇其它系列的產(chǎn)品,或者在某個時期內(nèi)選擇A產(chǎn)品,而在下個階段選擇消費(fèi)B產(chǎn)品,從而導(dǎo)致顧客需求在不同產(chǎn)品間發(fā)生轉(zhuǎn)移.可見,需求轉(zhuǎn)移是消費(fèi)市場客觀存在的一種普遍的經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象.在能力約束條件下,當(dāng)多種產(chǎn)品的顧客需求在不同產(chǎn)品之間產(chǎn)生相互轉(zhuǎn)移時,如何科學(xué)地度量它們之間的關(guān)系并預(yù)測其需求,直接影響到庫存系統(tǒng)決策者所制定的庫存訂購策略的科學(xué)性和合理性.因此,庫存決策者為了達(dá)到優(yōu)化庫存的目的,不但要考慮各產(chǎn)品的需求,在宏觀上還要確定各產(chǎn)品需求間的關(guān)系.為了方便問題的闡述,首先作出以下符號的說明

k=1,2,…,K表示庫存系統(tǒng)的周期,而n=1,…,N表示第n種產(chǎn)品;

I={i1,i2,…,il}表示各產(chǎn)品的需求狀態(tài)集;

dnk∈I為第n種產(chǎn)品在第k周期的需求狀態(tài),k=1,2,…,K;

{dnk}=帶有l(wèi)×l-轉(zhuǎn)移概率矩陣P(nn)=(pji)l×l的第n條馬氏鏈;

Dnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的需求量,其中Dnk≥0;

P(ji)=第i種產(chǎn)品的需求狀態(tài)到第j種產(chǎn)品的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣;

wnk=第k周期內(nèi)生產(chǎn)第n種產(chǎn)品的單位資源消耗量;

Qnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的訂購批量;

SLnk=第n種產(chǎn)品在第k周期的最優(yōu)服務(wù)水平;

1.2多元馬氏需求模型

需求預(yù)測是現(xiàn)代庫存優(yōu)化控制理論的基礎(chǔ),如何對產(chǎn)品的需求做出科學(xué)的預(yù)測關(guān)乎庫存優(yōu)化決策的科學(xué)性和合理性.本文主要以多元馬爾可夫理論方法對多產(chǎn)品的需求進(jìn)行統(tǒng)一預(yù)測,進(jìn)而確定它們之間的關(guān)系.為了建立多元馬氏需求模型,首先介紹以下引理.

證畢.

(1)

it

(2)

同時,稱a為需求狀態(tài)分類系數(shù),而稱[(t-1)a,ta)為隸屬于狀態(tài)it的需求區(qū)間.

以上的式子通過映射f(·)給出了需求量轉(zhuǎn)化為需求狀態(tài)的一般方法,接下來主要研究如何將需求狀態(tài)轉(zhuǎn)化為需求量.由式(2)和模型的假設(shè)1可知Dnk為狀態(tài)依賴的,故可設(shè)φit,k(Dnk)為當(dāng)dnk=it時的密度函數(shù),即φit,k(Dnk)為當(dāng)Dnk屬于區(qū)間[(t-1)a,ta)時的概率密度.于是,可得出以下命題.

(3)

證畢.

命題2的結(jié)論不但確定了變量dnk和Dnk之間的關(guān)系,還給出了將dnk轉(zhuǎn)化為Dnk的具體方法.該結(jié)論在研究馬氏理論在庫存問題的應(yīng)用中是至關(guān)重要的.因?yàn)槎嘣R氏鏈?zhǔn)歉鶕?jù)需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率對系統(tǒng)未來所處的需求狀態(tài)作出科學(xué)預(yù)測,所以得到的預(yù)測結(jié)果是需求狀態(tài)而非需求量.有了命題2的理論基礎(chǔ),接下來即可建立多產(chǎn)品的多元馬氏需求模型.

E(Dk+1)=Xk+1ηk+1=AXkηk+1

(4)

這里A和Xk如引理1所定義,而Dk+1=(D1(k+1),D2(k+1),…,DN(k+1))T,稱式(4)為多元馬氏需求模型.

由該模型,易知第n種產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求量為

(5)

E(Dn(k+1))的表達(dá)式,進(jìn)一步表明了單個產(chǎn)品在下個周期的需求量不但與現(xiàn)階段相關(guān),還與其它產(chǎn)品的需求量有著密切的關(guān)聯(lián),它們之間的關(guān)系權(quán)數(shù)同樣為λnm.

1.3帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型

在假設(shè)φ(x)為隨機(jī)需求x的概率密度條件下,經(jīng)典的報童模型為[3]

(6)

其中C(s)和C(o)分別為產(chǎn)品的單位缺貨成本和單位過剩成本,Q為產(chǎn)品的訂購量.本小節(jié)主要在經(jīng)典的報童模型的理論基礎(chǔ)上,結(jié)合上文提出的多元馬氏需求模型,在能力約束條件下研究建立新的多產(chǎn)品報童模型.

(7)

若記EΠ=V(Q1(k+1),Q2(k+1),…,QN(k+1))為銷售商的總期望成本,在模型的各個假設(shè)條件下結(jié)合式(7),則有

EΠ=V(Q1(k+1),Q2(k+1),…,QN(k+1))

(8)

記wnk為在第k周期內(nèi)生產(chǎn)第n種產(chǎn)品所消耗的單位資源量,C為總產(chǎn)品在生產(chǎn)過程中能獲取資源的能力上限.于是,在相應(yīng)的能力約束的條件下,結(jié)合式(8)即可提出以下的(MP)問題,即帶有能力約束的多元馬氏需求報童模型

(9)

由式(9)可知,多產(chǎn)品報童模型EΠ是關(guān)于訂購量Q1(k+1),Q2(k+1),…,QN(k+1)的函數(shù).因此,只需利用多元馬氏理論求出各產(chǎn)品的期望需求E(Dn(k+1))的值,再確定Qn(k+1)的最優(yōu)值,即可達(dá)到優(yōu)化訂購策略的目的.

2　模型的最優(yōu)解及其性質(zhì)

2.1模型的最優(yōu)訂貨策略

(10)

這里λ*為模型(9)的Kuhn-Tucker條件的拉格朗日乘子.

證畢.

(11)

2.2最優(yōu)解的性質(zhì)

證畢.

證明由

證畢.

3　數(shù)值算例分析

限于篇幅,本算例只考慮3種產(chǎn)品的情形.設(shè)某零售商銷售A、B、C三種產(chǎn)品,根據(jù)消費(fèi)者對產(chǎn)品的需求程度將其劃分為4個狀態(tài),依次用數(shù)值1,2,3,4表示,即狀態(tài)集I={1,2,3,4},其中各需求狀態(tài)的定義如下

則由式(4)中對ηk+1的定義可得ηn(k+1)=(75,225,375,525)T,n=1,2,3.

3.1期望需求量和左右截尾概率

若A、B、C三種產(chǎn)品在以往12個周期的需求狀態(tài)歷史數(shù)據(jù)分別為:H1={4,3,1,3,4,4,3,3,1,2,3,4}，H2={1,2,3,4,1,4,4,3,3,1,3,1}和H3={2,1,3,3,2,4,2,3,4,1,4,3},且其需求狀態(tài)間相互轉(zhuǎn)移的關(guān)系如圖1所示

圖1不同產(chǎn)品間需求狀態(tài)轉(zhuǎn)移圖示

根據(jù)圖1中不同產(chǎn)品間需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移規(guī)律,可得各產(chǎn)品需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻數(shù)和概率矩陣

其中F(ji)表示從第i種產(chǎn)品的需求狀態(tài)到第j種產(chǎn)品的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移頻數(shù)矩陣,P(ji)表示從第i種產(chǎn)品的需求狀態(tài)到第j種產(chǎn)品的需求狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率矩陣(其具體的定義和求解方法詳見文獻(xiàn)[21]的第7章).

基于A、B、C三種產(chǎn)品需求狀態(tài)的歷史周期數(shù)據(jù),易估計(jì)出它們的需求狀態(tài)的平穩(wěn)分布

表1　A, B, C產(chǎn)品于第k+1周期需求狀態(tài)I和期望需求量ηn(k+1)的概率分布

再由式(4),可得A、B和C產(chǎn)品于第k+1周期的期望需求量,即

因此,根據(jù)本算例給出的需求狀態(tài)的定義,知E(Dn(k+1))∈[300,450),n=1,2,3,故A、B、C三種產(chǎn)品在下個周期所處的期望需求狀態(tài)都為E(dn(k+1))=3,進(jìn)而可得各產(chǎn)品在下個周期處于期望需求狀態(tài)3的概率值分別為:P1(I=3)=0.633,P2(I=3)=0.300和P3(I=3)=0.133;其左截尾概率分別為:P1(I<3)=0.033,P2(I<3)=0.334和P3(I<3)=0.501;右截尾概率分別為:P1(I≥3)=0.966,P2(I≥3)=0.667和P3(I≥3)=0.500.

3.2模型的最優(yōu)數(shù)值解及其分析

表2　能力(capacity)約束下Pn(I=3)的臨界值及其相應(yīng)的模型最優(yōu)解(n=1,2,3)

圖2　能力約束C對最優(yōu)訂購量的影響

圖3　能力約束C對概率臨界值的影響

4　結(jié)束語

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Capacitated newsboy model with multivariate Markovian demand

CHENJie1, 2,CHENZhi-xiang1,XINGLing-bo2,CHENChong-ping1

1. School of Business, Sun Yat-sen University, Guangzhou 510275, China;2. Department of Mathematics, Hainan Tropical Ocean University, Sanya 572022, China

In this paper, a multi-product capacitated newsvendor model with stochastic demand is studied. Firstly, a multivariate Markovian demand model to forecast the demands of multiple products is constructed, and the relationships among the demands are measured by the model. Secondly, a capacitated newsboy model with multivariate Markovian demand is proposed, and then the solution of optimal ordering policy for multiple products is derived. At last, the properties of the optimal policy through the probability value and truncated probability of the expected demand state are discussed. With capacity constrains, the theoretical analysis shows that the optimal ordering quantity is a monotonic decreasing function with respect to the left truncated probability, and a monotonic increasing function with respect to the right truncated probability, but the probability value of the expected demand state has special dual effects on the optimal ordering quantity.

multivariate Markov chains; multi-product newsboy problem; capacity constraint; truncated probability; optimal ordering policy

2014-01-08;

2015-02-19.

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(71372154); 海南省自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(20151008); 教育部人文社會科學(xué)研究青年基金資助項(xiàng)目(15YJC630013).

陳杰(1979—), 男, 海南臨高人, 博士, 副教授. Email: sysuchenjie@126.com

O211.62; F253.4

A

1007-9807(2016)07-0037-13