普成秀

(廣南縣第一中學 云南 廣南 663300)

談構(gòu)造可導函數(shù)證明不等式的幾點小竅門

普成秀

(廣南縣第一中學 云南 廣南 663300)

導數(shù)作為研究數(shù)學的重要工具，可以解決很多的問題，本文將闡述利用導數(shù)法證明不等式的方法。

構(gòu)造;可導函數(shù);不等式

高中數(shù)學證明不等式的常用方法有比較法、分析法、綜合法、放縮法、反證法、數(shù)學歸納法等。但是當不等式比較復雜時，用初等的方法證明會比較困難,有時還證不出來。如果用函數(shù)的觀點去認識不等式,利用導數(shù)為工具,那么不等式的證明就會化難為易。本文通過舉例闡述，從所證不等式的結(jié)構(gòu)和特點出發(fā)，結(jié)合自己已有知識，構(gòu)造一個新的函數(shù)，再借助導數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性實現(xiàn)問題的轉(zhuǎn)化，從而使不等式得到證明。

用導數(shù)方法證明不等式，其步驟一般是：構(gòu)造可導函數(shù)——利用導數(shù)研究單調(diào)性或最值——得出不等關(guān)系——整理得出結(jié)論。

一、直接作差構(gòu)造函數(shù)

一般地，證明f(x)>g(x),x∈(a,b),可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=f(x)-g(x),利用求導的方法研究函數(shù)的單調(diào)性，判斷F(x)的區(qū)間端點函數(shù)值與0的關(guān)系，來證明不等式。

證明：設(shè)f(x)=sinx-x,則f'(x)=cosx-1。

∵x∈(0,π),∴f'(x)<0?！鄁(x)=sinx-x在x∈(0,π)內(nèi)單調(diào)遞減，而f(0)=0。

∴f(x)=sinx-x

二、將區(qū)間的一個端點設(shè)為自變量而構(gòu)造函數(shù)

考慮到不等式涉及的變量是區(qū)間的兩個端點，因此，設(shè)輔助函數(shù)時就把其中一個端點設(shè)為自變量。

三、直接利用條件函數(shù)證明不等式

觀察條件函數(shù)與不等式的關(guān)系，直接利用條件函數(shù)來構(gòu)造可導函數(shù)。

例3.已知函數(shù)f(x)=-x2+ln(1+2x)

∵b>a>0

四、通過換元來構(gòu)造函數(shù)

令h(x)=x3-x2+ln(x+1)

從以上幾例可以看出，導數(shù)不僅是證明不等式的重要思想方法，也是判斷函數(shù)的單調(diào)性、求函數(shù)極植、最值等的重要思想方法，這類試題在考查綜合能力的同時，充分體現(xiàn)了導數(shù)的工具性和導數(shù)應用的靈活性，與新課程標準接軌，彰顯時代氣息。

[1]普通高中課程標準實驗教科書《數(shù)學》(選修2—2)人民教育出版社

[2]《高考真題》北京天利考試信息網(wǎng)