鞏　娟

(遼寧職業(yè)學(xué)院，遼寧 鐵嶺 112099)

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一類中立型時(shí)滯系統(tǒng)的嚴(yán)格耗散控制

鞏娟

(遼寧職業(yè)學(xué)院，遼寧 鐵嶺 112099)

研究了時(shí)滯中立型系統(tǒng)的嚴(yán)格耗散控制器的設(shè)計(jì)問題。首先基于模型轉(zhuǎn)換，將中立型系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為奇異系統(tǒng)，然后利用線性矩陣不等式方法和Lyapunov方法相結(jié)合，得到狀態(tài)反饋嚴(yán)格耗散控制器的存在條件，并給出控制器的設(shè)計(jì)方法。在證明過程中不進(jìn)行放大，從而降低了結(jié)論的保守性。最后給出算例，說明方法的有效性。

中立型系統(tǒng)；奇異系統(tǒng)；嚴(yán)格耗散控制；線性矩陣不等式；供給率

目前，耗散控制理論已成為控制領(lǐng)域研究的一個(gè)熱點(diǎn)，近20年來已經(jīng)取得了大量的成果[1-4]。文獻(xiàn)[5]研究了一類時(shí)滯不確定系統(tǒng)的耗散性問題，并利用線性矩陣不等式方法給出了系統(tǒng)耗散性的充分判據(jù)；文獻(xiàn)[6]研究了一類線性時(shí)滯系統(tǒng)的耗散控制問題；文獻(xiàn)[7]討論了隨機(jī)時(shí)滯系統(tǒng)的耗散濾波問題。然而關(guān)于中立型時(shí)滯系統(tǒng)的耗散控制問題鮮有報(bào)道。

研究中立型時(shí)滯系統(tǒng)主要工具有代數(shù)Riccati方程，矩陣測(cè)度和LMI技術(shù)，取得的成果大體可分為時(shí)滯獨(dú)立型與時(shí)滯依賴型兩種穩(wěn)定性準(zhǔn)則。文獻(xiàn)[8]利用模型變換技術(shù)，獲得了時(shí)滯依賴穩(wěn)定性判據(jù)。文獻(xiàn)[9]利用模型變換技術(shù)，研究了線性中立型系統(tǒng)的正實(shí)問題，并給出了控制器的設(shè)計(jì)方法。文獻(xiàn)[10]利用模型變換技術(shù)，討論了中立系統(tǒng)的H∞控制。

本文基于模型轉(zhuǎn)換技術(shù)，提出一種新的方法，將中立型系統(tǒng)轉(zhuǎn)化為奇異系統(tǒng)，利用奇異系統(tǒng)方法，研究中立型時(shí)滯系統(tǒng)的耗散控制問題。

1　問題描述及定義

考慮如下中立型時(shí)滯系統(tǒng)

z(t)=Cx(t)+C1x(t-h)+Du(t)

(1)

對(duì)系統(tǒng)(1)選取的供給率為

(Q，S,U)=+<ω,Sω>+2

(2)

式中：=aTb；Q、S為對(duì)稱矩陣；U為適當(dāng)維數(shù)的矩陣。

定義2對(duì)于系統(tǒng)(1)，如果存在一個(gè)狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)使得系統(tǒng)(1)是耗散的，則稱u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)的狀態(tài)反饋耗散控制器。

本文的目的是設(shè)計(jì)無記憶狀態(tài)反饋控制器

u(t)=Kx(t)

(3)

使得閉環(huán)系統(tǒng)是耗散的。

閉環(huán)系統(tǒng)為

z(t)=(C+DK)x(t)+C1x(t-h)

(4)

設(shè)

0=-φ(t)+(A+B0K)x(t)+A1φ(t-h)+A2ξ(t)+A3x(t-h)+G1ω(t)

則系統(tǒng)(4)等價(jià)表示為如下形式的廣義時(shí)滯系統(tǒng)

(5)

X(t)=(xT(t)ξT(t)φT(t)),

等價(jià)系統(tǒng)(5)和系統(tǒng)(1)具有相同的傳遞函數(shù)。因此，可以根據(jù)系統(tǒng)(5)的耗散性研究，完成對(duì)系統(tǒng)(1)的分析。

2　主要結(jié)論

定理1如果存在適當(dāng)維數(shù)的矩陣P、Q、S、U和正定矩陣W，使得矩陣不等式

ETP=PTE≥0

(6)

成立，式中“*”表示相應(yīng)的對(duì)稱矩陣，則系統(tǒng)(1)與(3)構(gòu)成的閉環(huán)系統(tǒng)(4)是(Q,S,U)耗散的，狀態(tài)反饋控制器u(t)=Kx(t)是系統(tǒng)(1)的嚴(yán)格耗散控制器。

證明：選取正定函數(shù)

V(t)沿著閉環(huán)系統(tǒng)(4)的解軌跡導(dǎo)數(shù)為

使其嚴(yán)格耗散，既有

則

定理1中矩陣不等式(6)不易計(jì)算，下面通過schur補(bǔ)引理，將式(6)轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式。

定理2如果存在正定矩陣Wi(i=1,2,3)和適當(dāng)維數(shù)的矩陣X1,Ri(i=1,2,…,6)滿足

(7)

式中：E1=CR1+DX1;

證明：由schur補(bǔ)引理，不等式(6)等價(jià)于

(8)

對(duì)式(8)左乘diag(RTW-TIII)，右乘diag(RW-1III)得

(9)

令

經(jīng)計(jì)算，式(9)與式(7)等價(jià),即為

控制器

和以往利用代數(shù)Riccati方程的方法比，本文結(jié)果利用LMI技術(shù)，避免了解代數(shù)Riccati方程的繁雜計(jì)算，只需用LMI工具箱，計(jì)算簡(jiǎn)便。和文獻(xiàn)[8-10]的系統(tǒng)比，本文的系統(tǒng)考慮了分布時(shí)滯，模型更一般，從而在實(shí)際工程的應(yīng)用范圍更廣。

3　數(shù)值算例

考慮形如系統(tǒng)(1)的中立型系統(tǒng)，其中

由Matlab工具箱中的feasp求解器,得到相應(yīng)的線性矩陣不等式是可行的，并可得到一個(gè)可行解：

狀態(tài)反饋控制器為

4　結(jié)束語

基于模型轉(zhuǎn)換技術(shù)，采用新的奇異系統(tǒng)方法和線性矩陣不等式(LMI)方法，給出了耗散控制器的設(shè)計(jì)方法。在證明過程中沒有進(jìn)行放大估計(jì)，降低了保守性，從而改進(jìn)了相關(guān)文獻(xiàn)的有關(guān)結(jié)論。

[1]XU S Y,YANG C W.An algebraic approach to the robust stability analysis and robust stabilization of uncertain singular systems[J].Int J of Systems Science,2000,31(1):55-61.

[2]XIE S L,XIE L H.Robust dissipative control for linear systems with dissipative uncertainty and nonlinear perturbation[J].Systems & Control Letters,1997,29(3):255-268.

[3]YANG G H,WANG J L,SOH Y C.ReliableH∞controller design for linear systems[J].Automatica,2001,37(5):717-725.

[4]劉飛,蘇宏業(yè),禇健.線性離散時(shí)滯系統(tǒng)魯棒嚴(yán)格耗散控制[J].自動(dòng)化學(xué)報(bào),2002,28(6):897-903.

[5]關(guān)新平，華長春，段廣仁.不確定時(shí)滯系統(tǒng)的魯棒耗散性研究[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2002,24(1):48-51.

[6]LI Z H,SHAO H H,WANG J H.Dissipative control for linear time-delay systerms[J].Control Theory and Applications,2001,18(5):838-842.

[7]Ma Y C,Yan H J.Delay-dependent non-fragile robust dissipative filtering for uncertain nonlinear stochastic singular time-delay systems with Markovian jump parameters[J].Advances in Difference Equations,2013(135):1-20.

[8]Ma Y C,Zhu L H.New exponential stability criteria for neutral system with time-varying delay and nonlinear perturbations[J].Advances in Difference Equations,2014(44):1-11.

[9]XU S Y,LAM J,YANG C W.H∞and positive-real control for linear neutral delay systems[J].IEEE Trans on Automatic Control,2001,46(8):1321-1326.

[10]Mahmoud M S.RobustH∞control of linear neutral systems[J].Automatica,2000,36(5):757-764.

(責(zé)任編輯：馬金發(fā))

Strictly Dissipative Control for Neutral System with Time Delay

GONG Juan

(Liaoning Vocational College,Tieling 112099,China)

Strictly dissipative state feedback controller for the time delay neutral system is studied in this paper.At first,this system is equivalently represented as a singular system.Then,a sufficient condition for the existence of strictly dissipative controllers is given by using LMI approach and the Lyapunov functional method,and the controller for the system is also designed but without amplification.So the conservation of the result is reduced.At last,some examples are given to illustrate that the new sufficient condition is less conservative than the present results.

neutral system;singular system;strictly dissipative control;LMI;supply rate

2015-06-08

國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(61273004)

鞏娟(1964—)，女，副教授，研究方向：數(shù)學(xué)教學(xué)。

TP13

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