徐志鋒郭 鑫魯曉剛，2

（1.上海大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200444；2.上海大學(xué)材料基因組工程研究院，上海 200444）

Fcc Pt的熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)的CALPHAD研究

徐志鋒1郭 鑫1魯曉剛1，2

（1.上海大學(xué)材料科學(xué)與工程學(xué)院，上海 200444；2.上海大學(xué)材料基因組工程研究院，上海 200444）

應(yīng)用CALPHAD方法和改進(jìn)的Debye-Grüneisen模型對具有fcc（面心立方）結(jié)構(gòu)的純Pt的熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)進(jìn)行了優(yōu)化研究。該方法利用一套具有實(shí)際物理意義的模型參數(shù)，可以準(zhǔn)確地描述fcc Pt在寬廣溫度（0 K～熔點(diǎn)）和壓力（常壓～極端高壓）范圍內(nèi)的大部分熱力學(xué)性質(zhì)（包括Gibbs自由能、熵和熱容等）和熱物理性質(zhì)（包括體積、熱膨脹系數(shù)和彈性模量等），揭示了熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)的內(nèi)在聯(lián)系。

面心立方Pt CALPHAD Debye-Grüneisen模型 熱力學(xué)性質(zhì) 熱物理性質(zhì)

經(jīng)過數(shù)十年的發(fā)展，CALPHAD方法在材料科學(xué)研究和工程應(yīng)用上受到越來越多的關(guān)注，已經(jīng)成為一種成熟、強(qiáng)大的材料熱力學(xué)和擴(kuò)散動力學(xué)計(jì)算模擬技術(shù)。在傳統(tǒng)CALPHAD方法中，Gibbs自由能是以溫度T和壓強(qiáng)P作為變量，而實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一般都是在常壓下測得的，因此目前絕大多數(shù)的CALPHAD數(shù)據(jù)只是常壓數(shù)據(jù)。為了描述壓強(qiáng)的貢獻(xiàn)，需要確定壓力、溫度、體積以及其他相關(guān)參數(shù)之間的關(guān)系，即確定狀態(tài)方程（Equation of State，EOS）。具體地說，就是采用壓力模型，如Morse模型［1］、Murnaghan模型［2］、Birch-Murnaghan模型［3］、Vinet模型［4］等，依據(jù)高壓范圍的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)（包括熱力學(xué)和相圖數(shù)據(jù)），優(yōu)化擬合壓力模型中的所有參數(shù)。一般來說，壓力模型中的參數(shù)擬合和常壓下熱力學(xué)數(shù)據(jù)的確定是分開進(jìn)行的。

用傳統(tǒng)CALPHAD建模方法在描述包含熵、焓、熱容和化學(xué)勢等熱力學(xué)性質(zhì)，以及體積、熱膨脹系數(shù)和彈性模量等熱物理性質(zhì)時，都是利用數(shù)學(xué)多項(xiàng)式獨(dú)立進(jìn)行的，因此不得不各用一套參數(shù)來擬合。這些參數(shù)沒有實(shí)際物理意義，各參數(shù)之間也沒有直接聯(lián)系，擬合過程中也互無約束。而事實(shí)上材料的各種性質(zhì)間存在著緊密的內(nèi)在相互約束關(guān)系。

而在第一性原理計(jì)算等理論研究中，由于計(jì)算晶體的聲子譜隨溫度的變化非常困難，故常常采用所謂的準(zhǔn)簡諧近似，即在不同的體積下計(jì)算聲子譜，將其視為體積的函數(shù)，再積分求得晶格振動產(chǎn)生的能量。如此，以溫度T和體積V作為變量的Helmholtz自由能就是理論計(jì)算中一個很自然的建模選擇。計(jì)算表明，這種將各種物理現(xiàn)象或過程對自由能的貢獻(xiàn)分開描述的建模方法，能夠保持各種性質(zhì)間內(nèi)在的相互約束關(guān)系。

本文運(yùn)用Helmholtz自由能結(jié)合Debye-Grüneisen模型，用較少的具有實(shí)際物理意義的參數(shù)，統(tǒng)一優(yōu)化擬合了fcc結(jié)構(gòu)的純Pt在常壓及高壓，從絕對零度到純Pt熔點(diǎn)的包括Gibbs自由能和熱容等在內(nèi)的熱力學(xué)，以及包括體積、熱膨脹系數(shù)和彈性模量等在內(nèi)的熱物理性質(zhì)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。這種新方法得到的數(shù)據(jù)不但更具有物理意義，而且僅使用一套參數(shù)便可計(jì)算各類熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)。

材料熱力學(xué)和熱物理性質(zhì)等是材料設(shè)計(jì)必不可少的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)。本研究的模型參數(shù)是通過對大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算軟件的分析、甄別、優(yōu)化、擬合得到的，在材料設(shè)計(jì)基礎(chǔ)數(shù)據(jù)庫中只需存儲這些關(guān)鍵的模型參數(shù)，經(jīng)過計(jì)算模擬，就可以獲得任意設(shè)定條件下的材料熱力學(xué)及熱物理性質(zhì)，這對材料的理性設(shè)計(jì)具有重要的指導(dǎo)意義。

1 研究方法

與傳統(tǒng)的CALPHAD Gibbs自由能方法不同，本研究所采用的是基于Helmholtz自由能結(jié)合Debye-Grüneisen模型和自由電子Fermi氣模型的方法。某一體系的Helmholtz自由能往往可以表達(dá)為各種物理現(xiàn)象或過程的貢獻(xiàn)之和?？偟腍elmholtz自由能F主要由以下幾個部分構(gòu)成：0 K下的總能量（即靜態(tài)晶格能）Etot、晶格振動能FD、電子熱激發(fā)能Fel和磁性貢獻(xiàn)的能量Fmag。對fcc Pt來說，磁性貢獻(xiàn)的能量Fmag非常小，可以忽略不計(jì)，則有：

本研究中，0 K下的總能量Etot可以用Morse方程來表達(dá)［1］：

式中，x是晶格常數(shù)，φ是擬合參數(shù)，Ec是內(nèi)聚能，Eref是參考能，Eref的取值要保證體系在298.15 K和1 bar條件下的焓值為0。

體系的晶格振動能FD可以用Debye模型或Einstein模型［5］描述。為了準(zhǔn)確描述寬廣溫度和壓力下的各種熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)，本研究采用了改進(jìn)的Debye模型［6］，即模型中的關(guān)鍵參數(shù)，Debye溫度θD，寫成如式（3）體積V的函數(shù)：

式中，h、kB和Na分別代表普朗克常數(shù)、波爾茲曼常數(shù)和阿伏伽德羅常數(shù)。m為體系的質(zhì)量，ν是泊松比，k()ν是一個與泊松比ν相關(guān)的函數(shù)：

模型中的另一個重要參數(shù)就是Grüneisen參數(shù)，一般來說，有三種近似用來描述Grüneisen參數(shù)：當(dāng)式（3）中的λ＝－1、0和＋1時，分別對應(yīng)Slater近似［7］、Dugdale-MacDonald（DM）近似［8］和自由體積理論近似［9］。

另一方面，電子熱容和電子貢獻(xiàn)的能量也可以用Sommerfeld參數(shù)γel來描述：

為了與體積V聯(lián)系起來，將Sommerfeld參數(shù)γel寫成一個與溫度無關(guān)、而與體積相關(guān)的函數(shù)：

2 結(jié)果與討論

近幾十年來，對純Pt的各種熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)的研究比較廣泛，這給本工作對fcc Pt進(jìn)行綜合研究提供了良好的基礎(chǔ)。本研究優(yōu)化得到fcc Pt的模型參數(shù)值如表1所示。各熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)的優(yōu)化結(jié)果如圖1～圖7所示。

表1 本工作優(yōu)化得到的fcc Pt模型參數(shù)值Table 1 Model parameters for fcc Pt in the presentwork

2.1 熱容

通過文獻(xiàn)查閱收集到了大量的fcc Pt的熱容實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。本研究選用了Berg［10］、Furukawa等［11］、Seville［12］、Yokokawa和Takahashi［13］和AIP［14］手冊上的數(shù)據(jù)進(jìn)行優(yōu)化。Berg［10］實(shí)驗(yàn)測量了純Pt在0～20 K的熱容，并利用這些極低溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)研究了純Pt的Sommerfeld參數(shù)和0 K的Debye溫度。Furukawa等［11］測量了fcc Pt室溫以下的熱容。Yokokawa和Takahashi［13］用量熱法測得了純Pt在80～1 000 K的熱容值。高溫?zé)崛葜担?00～1 850 K）本研究選用的是Seville［12］測量的結(jié)果。本工作計(jì)算了有電子貢獻(xiàn)的熱容和沒有電子貢獻(xiàn)的熱容，并在圖1中分別以實(shí)線和虛線表示。從圖1可以看出，本工作的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合較好。

圖1 常壓時fcc Pt不同溫度下的熱容Fig.1 Calculated heat capacity at atmospheric pressure compared with the experimental data for fcc Pt

2.2 低溫電子熱容

極低溫度時，在不考慮相轉(zhuǎn)變和磁性影響的前提下，某一體系的熱容可以視為由兩部分組成：晶格振動的貢獻(xiàn)和電子的貢獻(xiàn)，對應(yīng)的關(guān)系式如式（7）：

式（7）中，（γelT＋aTb）是電子貢獻(xiàn)部分，AT3是晶格振動的貢獻(xiàn)。由于在極低溫度下參數(shù)a和b的影響非常小，研究時常?？梢院雎?，因此式（7）就可以近似地表達(dá)為：

式（8）兩邊同時除以T，得：

分析某一體系在極低溫度下電子對熱容的貢獻(xiàn)常用的方法是作cp／T和T2的關(guān)系圖，如圖2所示。由式（9）可知，cp／T和T2呈一次函數(shù)的關(guān)系，圖中直線與Y軸的截距就是0 K時的Sommerfeld參數(shù)γel，直線的斜率就是常數(shù)A。本研究中，電子對熱容的貢獻(xiàn)是通過和c這4個參數(shù)來描述的。這4個參數(shù)的值是在其他參數(shù)都取得合理的數(shù)值的基礎(chǔ)上，利用極低溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)優(yōu)化得到的。本研究選用的極低溫度下的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于Berg［10］、Furukawa等［11］和Boerstoel等15］。他們的實(shí)驗(yàn)測量結(jié)果基本一致。本研究的計(jì)算結(jié)果與Berg［10］、Furukawa等［11］和Boerstoel等［12］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合很好。

2.3 線性熱膨脹系數(shù)

圖3是fcc Pt的熱膨脹系數(shù)隨溫度的變化情況。熱膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)很多，本研究采用了AIP［14］、Kirby［16］和TPRC［17］的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。Touloukian等［17］對1973年前的30套熱膨脹系數(shù)的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行了分析甄別，列出了一套極具參考價(jià)值的數(shù)據(jù)，即TPRC。AIP［14］全稱American Institute of Physics handbook，也是獲得學(xué)術(shù)界普遍認(rèn)可的一套數(shù)據(jù)。如圖3所示，本研究的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)非常吻合。

圖2 常壓時fcc Pt極低溫度下的熱容Fig.2 Calculated heat capacity of fcc Pt at extremely low temperatures and atmospheric pressure

圖3 常壓時fcc Pt不同溫度的熱膨脹系數(shù)Fig.3 Calculated coefficient of linear thermal expansion coefficients at atmospheric pressure compared with the experimental data for fcc Pt

2.4 摩爾體積

圖4是fcc Pt在不同溫度下的摩爾體積。采用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于Kirby［16］、Lu等［18］、Schroder等［19］、Evans和Fischer［20］、Edwards等［21］和Owen和Yates［22］，摩爾體積的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一般是通過X射線技術(shù)測量晶格常數(shù)，然后由晶格常數(shù)轉(zhuǎn)化得到。本研究的計(jì)算結(jié)果與這些實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)非常一致。

圖4 常壓時fcc Pt不同溫度的摩爾體積Fig.4 Calculated molar volume of fcc Pt at atmospheric pressure compared with the experimental data

2.5 體彈模量

一般來說，體彈模量的數(shù)據(jù)是通過實(shí)驗(yàn)測得體系在不同溫度下的3個二階彈性常數(shù)c11、c12和c44的值，然后通過關(guān)系式計(jì)算得到。Collard和McLellan［23］實(shí)驗(yàn)測得了fcc Pt在300～1 480 K的體彈模量，Dorgokupets和Oganov［24］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果在800 K以內(nèi)與Collard和McLellan［23］的數(shù)據(jù)基本一致，在800 K以上Dorgokupets和Oganov［24］的結(jié)果略小一些。本研究分別計(jì)算了絕熱體彈模量BS和等溫體彈模量BT，如圖5所示。由于缺乏等溫體彈模量BT的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，本研究只采用了絕熱體彈模量BS的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。通過比較可以發(fā)現(xiàn)，本研究的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得比較理想，在0～700 K偏差在1.2%以內(nèi)，700 K以上偏差約為2%。對于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對比較離散的彈性性質(zhì)，本研究的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相當(dāng)吻合。

2.6 楊氏模量

當(dāng)體彈模量B和泊松比ν確定之后，楊氏模量E就可以通過式（10）計(jì)算得到：

本工作計(jì)算得到的fcc Pt的楊氏模量如圖6所示，楊氏模量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)相對比較少，本研究選用的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于Collard和McLellan［23］。從圖中可以看出，本研究的計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)吻合得很好，偏差在1%以內(nèi)。

圖5 常壓時fcc Pt不同溫度的體彈模量Fig.5 Calculated adiabatic（BS）and isothermal（BT）bulk modulus at atmospheric pressure compared with the experimental data for fcc Pt

圖6 常壓時fcc Pt不同溫度的楊氏模量Fig.6 Calculated Young’smodulus at atmospheric pressure compared with the experimental data for fcc Pt

2.7 高壓下的體積比

圖7為fcc Pt在300 K時，體積比V／V0隨壓強(qiáng)P的變化曲線。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來源于Holmes等［25］、McQueen等［26］、Matsui等［27］、Yokoo等［28］、SUN等［29］、Singh和Sabrawat［30］和Altshuler等［31］。實(shí)驗(yàn)采用的測量方法一般都是沖擊波技術(shù)。Holmes等［25］利用該技術(shù)測量了fcc Pt高壓下的狀態(tài)方程（壓強(qiáng)高達(dá)660 GPa）。McQueen等［26］以同樣的方法對多種金屬元素進(jìn)行了測試，測得壓強(qiáng)范圍為300 GPa的數(shù)據(jù)。Matsui等［27］測量了壓強(qiáng)范圍為290 GPa的體積比。Yokoo等［28］和SUN等［29］測得的最高壓強(qiáng)都是550 GPa。Singh和Sabrawat［30］采用幾個可靠的高壓狀態(tài)方程計(jì)算了fcc Pt高壓下的性質(zhì)。Altshuler等［31］測得了25種金屬的高壓性質(zhì)，最高壓強(qiáng)為400 GPa。本研究的計(jì)算結(jié)果與這些數(shù)據(jù)具有很好的一致性。

圖7 300 K時fcc Pt高壓條件下的體積比V／V0Fig.7 Normalized molar volume of fcc Pt at300 K under high pressures

3 結(jié)論

本研究采用CALPHAD Helmholtz自由能結(jié)合Debye-Grüneisen模型的方法對fcc Pt的熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)進(jìn)行了優(yōu)化，得到了一套具有實(shí)際物理意義的模型參數(shù)，準(zhǔn)確地描述了fcc Pt在常壓及高壓，從絕對零度到純Pt熔點(diǎn)的各種熱力學(xué)性質(zhì)和熱物理性質(zhì)，并保持了各種性質(zhì)間內(nèi)在的相互約束關(guān)系。

致謝：

感謝國家自然科學(xué)基金對本工作的資助（No.51271106）。

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收修改稿日期：2016-01-20

Study on Thermodynam ic and Thermophysical Properties of fcc Pt through the CALPHAD Approach

Xu Zhifeng1Guo Xin1LuXiaogang1，2
（1.School of Materials Science and Engineering，Shanghai University，Shanghai200444，China；2.Materials Genome Institute，Shanghai University，Shanghai200444，China）

Assessment of thermodynamic and thermophysical properties of fcc Pt has been performed bymeans of CALPHAD on the basis of amodified Debye-Grüneisenmodel.This approach，even though employed only a few parameters thathave physicalmeaning，could reproduce notonly the experimental data of thermodynamic and thermophysical properties at ambient pressure，but also those at extremely high temperatures and pressures with remarkable accuracy.The internal relations between thermodynamic and thermophysical properties have been demonstrated in this research.

fcc Pt，CALPHAD，Debye-Grüneisen model，thermodynamic property，thermophysical property

國家自然科學(xué)基金（No.51271106）

徐志鋒，男，主要從事計(jì)算材料學(xué)研究，Email：17717375203＠163.com