將構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行到底

安徽省合肥市第十七中學(xué)

楊維維　　(郵編：230011)

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將構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行到底

安徽省合肥市第十七中學(xué)

楊維維(郵編：230011)

高考中含參數(shù)導(dǎo)數(shù)題，不管是選擇、填空題還是解答題，學(xué)生往往難以找到有效的突破口，或者一遇到此類問題就分離參數(shù)，有的可以解決，有的造成計算量大且難以進(jìn)行.此類問題的求解有兩種基本思路：可以分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)，也可以直接構(gòu)造函數(shù).對于直接構(gòu)造函數(shù)的情形，我們可構(gòu)造一個函數(shù)，也可構(gòu)造兩個函數(shù).

1　構(gòu)造函數(shù)　因法而異

例1(2013年湖北省高考數(shù)學(xué)理科第10題)

已知a為常數(shù)，函數(shù)f(x)=xlnx-ax2有兩極值點x1、x2(x1

思路一求導(dǎo)后，分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)

解法一 由于f(x)=xlnx-ax2x有兩個極值點x1、x2(x1

f′(x)=lnx-2ax+1有兩個零點x1、x2，

(0,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f'(x)-0+0—f(x)↘極小值↗極大值↘

解法二f′(x)=lnx-2ax+1(x>0)有兩個零點x1、x2.

令f′(x)=0，由題意可得lnx=2ax-1有兩個解x1、x2，即g(x)=lnx與 h(x)=2ax-1 在(0,+∞)上有兩個交點.

由圖象得 a>0，且0

思路三求導(dǎo)后，構(gòu)造一個含參數(shù)函數(shù)，進(jìn)行二次求導(dǎo)

所以y=g(x)至多有一個零點，不符合題意，舍去.

例2 (2016年高考數(shù)學(xué)全國卷I理科第21題) 已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點．

(I)求a的取值范圍；(II)略.

解 (I)

法一分離參數(shù)再構(gòu)造函數(shù)

當(dāng)x=1時，f(1)=-e，故x=1不是零點.

所以g(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

又g(2)=0，當(dāng)x∈(-∞,1)時，g(x)<0，又x趨向于1時，g(x)趨向于-∞，x趨向于-∞時，g(x)趨向于0，若函數(shù)f(x)有兩個零點，則需-a<0,即a>0.

法二變形后構(gòu)造兩個函數(shù)

設(shè)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2=0，得(2-x)ex=a(x-1)2,

令g(x)=(2-x)ex，得g′(x)=(1-x)ex，當(dāng)x∈(-∞,1)時，g′(x)>0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，g′(x)<0，所以g(x)在(-∞,1)單調(diào)遞增，在(1,+∞)單調(diào)遞減，則在x=1處取得極大值g(1)=e.

又x<1時，g(x)=(2-x)ex>0，x=3時，g(x)=-e3<0，又設(shè)h(x)=a(x-1)2，知：

①當(dāng)a>0時，h(x)=a(x-1)2為開口朝上的拋物線，頂點為(1,0)，所以函數(shù)f(x)有兩個零點；

②當(dāng)a=0時，h(x)=a(x-1)2為x軸，所以函數(shù)f(x)有一個零點；

③當(dāng)a<0時，h(x)=a(x-1)2為開口朝下的拋物線，頂點為(1,0)，所以函數(shù)f(x)不可能有兩個零點.

綜上，a的取值范圍為(0,+∞).

法三直接利用已知函數(shù)，討論函數(shù)單調(diào)性

f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).

①設(shè)a=0，則f(x)=(x-2)ex，所以f(x)有一個零點；

②設(shè)a>0，則當(dāng)x∈(-∞,1)時，f′(x)<0；當(dāng)x∈(1,+∞)時，f′(x)>0，所以f(x)在(-∞,1)內(nèi)單調(diào)遞減，在(1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

③設(shè)a<0，由f′(x)=0得x=1或x=ln(-2a).

又當(dāng)x≤1時，f(x)<0，故f(x)不存在兩個零點.

比較三種方法，本題法一較簡便.

2　構(gòu)造函數(shù)　合理選擇

例3(2016年合肥市二模理科第21題) 已知函數(shù)g(x)=ax3+x2+x (a為實數(shù)).

(1)試討論函數(shù) g(x)的單調(diào)性；

解 (1)略；

當(dāng)a>-1時，g(1)=a+2>1=f(1)，顯然，對?x∈(0,+∞)，不恒有f(x)≥g(x)；

綜上，實數(shù)a∈(-∞,-1].

解題教學(xué)應(yīng)立足通性通法，并不斷優(yōu)化提煉解法.分離參數(shù)后構(gòu)造函數(shù)和變形后構(gòu)造兩個函數(shù)都要求構(gòu)造出來的函數(shù)形式上簡潔，便于判斷單調(diào)性，而直接構(gòu)造一個含參數(shù)的函數(shù)，往往需要對參數(shù)分類討論，判斷函數(shù)的單調(diào)性，究竟采用哪種方法好？應(yīng)結(jié)合題目的具體特點，因題制宜，進(jìn)行合理選擇，靈活變通，在高考中方能百戰(zhàn)不殆.

2016-06-16)