安徽省太湖中學(xué)

李昭平　　(郵編：246400)

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闖過導(dǎo)數(shù)解題誤區(qū)

安徽省太湖中學(xué)

李昭平(郵編：246400)

“導(dǎo)數(shù)”的引入，開辟了研究和解決函數(shù)問題、不等式問題、方程問題和優(yōu)化型應(yīng)用問題的新思路、新方法和新途徑，拓寬了我們的解題空間和高考的命題空間.但在運(yùn)用導(dǎo)數(shù)解題的過程中，常常會(huì)出現(xiàn)這樣或那樣的錯(cuò)誤，有的錯(cuò)誤往往難以察覺. 下面是筆者在多年的教學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)的解題誤區(qū)，整理如下, 供復(fù)習(xí)中參考.

誤區(qū)1忽視導(dǎo)數(shù)值的意義致錯(cuò)

例1已知f(x)=3x4-2x3+x-4,求f′(0).

錯(cuò)解由f(x)=3x4-2x3+x-4，得f(0)=-4，因此，f′(0)=(-4)′=0.

誤區(qū)2忽視函數(shù)的定義域致錯(cuò)

例2求函數(shù)f(x)=2x2+ln(1-x)的單調(diào)區(qū)間.

誤區(qū)3忽視“過一點(diǎn)的切線”的意義致錯(cuò)

例3已知函數(shù)f(x)=x3-2x2+1，求經(jīng)過點(diǎn)P(2,1)且與曲線f(x)相切的直線l的方程.

故過點(diǎn)P(2,1)的曲線的切線方程是y-1=4·(x-2),即4x-y-7=0.

誤區(qū)4忽視存在極值的條件致錯(cuò)

例4已知f(x)=x3+ax2+(a+6)x+1在R上有極值,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

錯(cuò)解由題意知,f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=0在R上有實(shí)數(shù)解,所以△≥0,即4a2-12(a+6)≥0，解得a≤-3或a≥6.

剖析本題錯(cuò)在將極值存在的必要條件f′(x0)=0當(dāng)作充要條件使用. 顯然, 當(dāng)a=-3時(shí),f′(x)=3x2+2ax+(a+6)=3(x-1)2≥0，1不是極值點(diǎn),f(x)在R上沒有極值; 當(dāng)a=6時(shí),f′(x)=3(x+2)2≥0， -2也不是極值點(diǎn),f(x)在R上也沒有極值. 對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，f′(x0)=0是f(x)在x0處取得極值的必要而非充分的條件，解題時(shí)還要驗(yàn)證在x0附近f′(x)是否異號(hào). 這里應(yīng)該由△>0確定a的取值范圍, 正確答案是a<-3或a>6.

誤區(qū)5忽視極值點(diǎn)與切點(diǎn)的區(qū)別致錯(cuò)

誤區(qū)6忽視導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)圖象的關(guān)系致錯(cuò)

例6設(shè)f′(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，y=f′(x)的圖象如下左圖所示，則y=f(x)的圖象最有可能的是()

錯(cuò)解本題是一道選擇題，實(shí)踐表明，許多學(xué)生由于對(duì)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的圖象之間的關(guān)系不清楚而憑空亂猜.

剖析要抓住兩點(diǎn):一是導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn),且在零點(diǎn)兩旁導(dǎo)函數(shù)異號(hào), 則零點(diǎn)就是原函數(shù)圖象的極值點(diǎn)；二是導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)與原函數(shù)增減性的相互關(guān)系。這里由導(dǎo)函數(shù)的圖象知，導(dǎo)函數(shù)在x=0和2時(shí)的導(dǎo)函數(shù)值為0，且在0和2兩旁導(dǎo)函數(shù)值異號(hào),故原函數(shù)y=f(x)在x=0和2時(shí)取得極值，立即排除A,B. 當(dāng)x<0或x>2時(shí)，導(dǎo)函數(shù)值為正，f(x)為增函數(shù)；當(dāng)0

誤區(qū)7忽視導(dǎo)數(shù)的零點(diǎn)與區(qū)間位置關(guān)系的討論致錯(cuò)

誤區(qū)8忽視單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式充要條件致錯(cuò)

剖析本題因忽視可導(dǎo)單調(diào)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)式充要條件致錯(cuò).其實(shí)，對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單增(或單減)的充要條件是：在x∈D上恒有f′(x)≥0 (或f′(x)≤0)，且f′(x)在D的任意子區(qū)間上都不恒為零. 在高中階段, 主要出現(xiàn)的是有一個(gè)或多個(gè)(有限個(gè))使f′(x)=0的點(diǎn)x的情況. 比如, 函數(shù)f(x)=x3在(-∞,+∞)上單增，f′(x)=3x2≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 其中有一個(gè)x0=0，使f′(x0)=0成立. 注意f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)為增 (或減)函數(shù)的充分而非必要的條件, 避免當(dāng)做充要條件使用. 這里不能由不等式ax2+2x>0求實(shí)數(shù)a的取值范圍，而應(yīng)該由ax2+2x≥0得到正確答案a≥2.

近年來，“已知函數(shù)的單調(diào)性特征，反過來確定函數(shù)式中待定字母的取值范圍”試題在高考中頻頻出現(xiàn)，而且試題的深度、廣度和難度也在不斷增大.這種逆向設(shè)置的問題, 有一定的開放性，能有效考查學(xué)生對(duì)函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式思想方法的掌握程度、思維水平和綜合能力. 顯然, 這些試題用單調(diào)性的定義求解, 將會(huì)十分復(fù)雜, 甚至無法求解. 而運(yùn)用導(dǎo)數(shù)符號(hào)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系來處理則是一種有效途徑.

誤區(qū)9忽視區(qū)間的端點(diǎn)是否取到致錯(cuò)

誤區(qū)10忽視函數(shù)值的符號(hào)致錯(cuò)

以上介紹了導(dǎo)數(shù)解題中的“十個(gè)誤區(qū)”，充分呈現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值、圖象、切線、零點(diǎn)等問題，具有點(diǎn)、面、深度并重的效果. 同時(shí)，解題中又很好體現(xiàn)了導(dǎo)數(shù)運(yùn)用中的數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想和參變分離思想. 此文，對(duì)老師的教學(xué)和學(xué)生把握導(dǎo)數(shù)的基本知識(shí)、基本技能和基本思想方法，提高思維水平、運(yùn)算能力和解題能力都有一定的促進(jìn)作用.

2016-04-06)