☉重慶市教育科學研究院　張曉斌

☉重慶市永川中學　唐　芬

素養(yǎng)為旨有厚度低入高落有層次——2016年重慶市中考數(shù)學試題評析

☉重慶市教育科學研究院張曉斌

☉重慶市永川中學唐芬

隨著《義務(wù)教育數(shù)學課程標準》（2011年版）（以下簡稱《標準》）的頒布實施，從2012年開始，各版本教材也相應(yīng)有很大的變化.因此，從2015年開始，各地中考試題也紛紛較之往年有較大調(diào)整，重慶市中考數(shù)學試題也不例外.本文結(jié)合重慶市中考實際，對2016年重慶市中考數(shù)學試題進行特點梳理、特色試題賞析與思考.

一、試卷總體特點

1.力求平穩(wěn)，不乏創(chuàng)新——有變化

縱覽2016年重慶市中考數(shù)學試卷，基本沿襲2015年已有的變化，內(nèi)容和題型保持相對穩(wěn)定.在試卷結(jié)構(gòu)比例、個別題目難度系數(shù)等方面有所調(diào)整，體現(xiàn)“求穩(wěn)，求新”的命題指導(dǎo)思想，彰顯“以學生發(fā)展為本”的命題立意，展現(xiàn)命題者的拳拳用心.

與2015年相比，2016年中考試題有何變化？

（1）從試卷內(nèi)容看，《標準》的三大課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)比例有所調(diào)整，數(shù)與代數(shù)所占比例從50%提升到52%，空間與圖形從35%提升到38%，統(tǒng)計與概率由15%降到10%.其中，統(tǒng)計與概率內(nèi)容考查了一個填空題、一個選擇題，而解答題從2015年的10分降為7分.

（2）從題型編排看，部分經(jīng)典題型的呈現(xiàn)位置略有改變.如統(tǒng)計與概率的解答題從第22題調(diào)到第20題；綜合方程、不等式、三角函數(shù)等知識的應(yīng)用題從第24題調(diào)到第23題；閱讀理解題從第23題調(diào)到第24題.

（3）從試題難度看，選擇題9～12題適當增加了難度，難度提高較為明顯的是第12題；其次，第18題以矩形為載體變?yōu)橐哉叫螢檩d體，主要考查三角形、四邊形的相關(guān)知識，難度明顯降低；其他試題與2015年難度大體相當.

2.立足課標，指向八方——有廣度

重慶市中考承載著“初中畢業(yè)考試”和“高中招生考試”的雙重任務(wù).為實現(xiàn)“雙重”功能，整套試卷依據(jù)《標準》和《考試說明》，全面考查了二者規(guī)定的核心內(nèi)容，涉及的知識點多面廣，重視對基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的考查，逐步實現(xiàn)了從重“雙基”到重“四基”的命題取向.同時，為凸顯義務(wù)教育階段數(shù)學教育的價值追求，兼顧重慶地區(qū)各版本教材內(nèi)容設(shè)置，命題者對試卷結(jié)構(gòu)、試題順序、試題難度均作了局部調(diào)整.這對廣大一線教師而言，在教學上有很強的導(dǎo)向性和指導(dǎo)性，能夠在取向于“功利”的教學時，兼顧或者逐步轉(zhuǎn)化為取向于提高學生“數(shù)學素養(yǎng)”的教學，以期實現(xiàn)“人人都能獲得良好的數(shù)學教育”.

3.關(guān)注基礎(chǔ)，兼顧選拔——呈梯度

整卷試題設(shè)置有層次性，低起點，緩坡度.試卷既關(guān)注大部分學生的學業(yè)水平，讓他們有成功的體驗，同時又體現(xiàn)一定的區(qū)分度.較難試題能給數(shù)學學習能力較強、數(shù)學思維較好的學生創(chuàng)造展示自我的空間.

（1）基于“畢業(yè)考試”的定位.試題根據(jù)《標準》中的核心內(nèi)容，注重考查學生的基礎(chǔ)知識、基本技能，其分值約占60%.其中第1、2、3、4、7、8、13、15題只涉及一個知識點（共計32分），第5、6、9、14題涉及兩個基本知識點（共16分），題目難度與教材練習題接近，大部分學生能直接寫出答案；第19、20、21、22題系解答題，雖涉及多個知識點，但均系對基礎(chǔ)知識的考查，只需簡單的計算或者推理，大部分學生沒有思維障礙.

例1（第1題）在實數(shù)-2，2，0，-1中，最小的數(shù)是（）.

圖1

例3（第19題）如圖1，點A、B、C、D在同一直線上，CE∥DF，EC=BD，AC=FD.求證：AE=FB.

評析：例1考查有理數(shù)大小比較；例2考查算術(shù)平方根和零次冪；例3考查平行線的性質(zhì)和全等三角形“SAS”判定與性質(zhì)等基礎(chǔ)內(nèi)容.命題者立足于大多數(shù)學生能順利畢業(yè)，充分體現(xiàn)義務(wù)教育的基礎(chǔ)性和全面性的考查.同時，由于基礎(chǔ)題目的順利解答，能夠為后續(xù)解答中檔題、較難題提供心理支持，有助于學生發(fā)揮正常水平，提高選拔考試的信度和效度.

（2）基于“高中招生考試”的定位.在注重基礎(chǔ)知識考查的同時，還應(yīng)注重對學生“四基”、“四能”的考查，通過具有區(qū)分度的試題，實現(xiàn)中考的選拔和甄別功能.本卷在選擇題壓軸題（第12題）、填空題壓軸題（第18題）、解答題壓軸題（第26題）上，一如既往地堅守這一使命.

圖2

例4（第18題）如圖2，在正方形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，DE平分∠ADO交AC于點E，把△ADE沿AD翻折，得到△ADE′，點F是DE的中點，連接AF、BF、E′F.若，則四邊形ABFE′的面積是________.

評析：作為填空題的壓軸題，例4以正方形為載體，綜合考查全等變換、三角形、四邊形、特殊三角形、特殊四邊形、角平分線的性質(zhì)等相關(guān)知識，以及與中點相關(guān)的等積變換、割補法求面積等方法，幾乎囊括了初中階段除圓以外的幾何核心知識；其次，解答該題時，只要明確：在正方形ABCD中，∠ADO的角平分線與AC的交點E是唯一的.這樣，在正方形中，只需知道其中一條線段的長度，即可求出其他所有線段的長.題目已知“AE=于是其他所有線段即可求出.當然，此題若用解析法求解也是不錯的選擇.由于涉及知識點廣，解題時切入點多，重在考查推理、抽象、模型等基本思想與方法，具有一定的挑戰(zhàn)性.但是熟悉的題目背景、基本模型和解題方法，熟而不俗，將經(jīng)典圖形再創(chuàng)造、再綜合，若能將看似散亂的知識點串成知識鏈，加上運算難度適中，故不至將絕大部分考生堵在題外.筆者估測，該題的平均分會比去年高（該題分值4分，去年該題平均0.07分），也更會受到一線教師和考生的認可.

4.素養(yǎng)為旨，思想為魂——有厚度

一套好的試卷，內(nèi)容面向全體，有廣度、梯度和深度還不夠，還應(yīng)凸顯數(shù)學核心思想與方法，關(guān)注學生數(shù)學活動經(jīng)驗，尤其注重對數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等核心素養(yǎng)的考查.全卷在多個題目中都能得到很好的詮釋.

（1）判斷△ABC的形狀，并說明理由；

（2）經(jīng)過B、C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D，P為直線BC上方拋物線上的一動點，當△PCD的面積最大時，點Q從點P出發(fā)，先沿適當?shù)穆窂竭\動到拋物線的對稱軸上點M處，再沿垂直于拋物線對稱軸的方向運動到y(tǒng)軸上的點N處，最后沿適當?shù)穆窂竭\動到點A處停止. 點Q的運動路徑最短時，求點N的坐標及點Q經(jīng)過的最短路徑的長；

（3）如圖4，平移拋物線，使拋物線的頂點E在射線AE上移動，點E平移后的對應(yīng)點為點E′，點A的對應(yīng)點為A′.將△AOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)至△A1OC1的位置，點A、C的對應(yīng)點分別為點A1、C1，且點A1恰好落在AC上，連接C1A′、C1E′.△A′C1E′是否能為等腰三角形？若能，請求出所有符合條件的點E′的坐標；若不能，請說明理由.

圖3

圖4

圖5

評析：作為整卷的壓軸題，該題以拋物線為背景，綜合考查二次函數(shù)、勾股定理及其逆定理、一次函數(shù)、三角形等眾多核心知識，涉及軸對稱、平移、旋轉(zhuǎn)等多種變換，植入教材中課題學習“最短路徑問題”之“造橋選址問題”，從點動（點P、點Q）到線動（拋物線），再到面動（△AOC）；解答時需要“數(shù)形結(jié)合”、“分類討論”，構(gòu)建“模型”，對考生的推理、抽象、直觀想象能力、運算能力都是極高的考量，三個小問低入高落有層級，彰顯初中學段核心知識、核心素養(yǎng)，盡顯其全卷“壓軸”之特質(zhì).

第（1）問方法明晰，多數(shù)學生無思維障礙.第（2）問，如圖5，應(yīng)先求出關(guān)于△PCD面積的二次函數(shù)解析式，通過求其最大值確定動點P的位置（坐標），再根據(jù)求三條線段之和的最小值模型，確定點M、N的位置（坐標），從而確定最短路徑P→M→N→A，最后求出PM+MN+NA的長，即OP+AO的長.乍一看，本小題信息量大，但若學生諳熟并能遷移兩個數(shù)學模型：“已知兩定點（點C、D）和一動點（點P），求三角形面積的最大值”、“造橋選址問題”，根據(jù)模型畫出圖形，解題思路亦呼之即出.第（3）問以平移、旋轉(zhuǎn)變換為載體，把拋物線之動（平移）與三角形之動（旋轉(zhuǎn)）有機結(jié)合，在動態(tài)中尋求靜態(tài)的相等關(guān)系：△A′C1E′有兩邊相等，在這個看似靜態(tài)的關(guān)系中，通過動態(tài)的分類討論，三個方程的建立就水到渠成.這對學生的空間想象能力、畫圖能力、推理能力，以及數(shù)學活動經(jīng)驗的積累，都極具挑戰(zhàn)性.

總而言之，本卷既全面考查了雙基，又突出考查了數(shù)學核心思想與方法；考查內(nèi)容廣而不淺，厚而不繁.體現(xiàn)了命題者以基礎(chǔ)為本，能力為旨，思想為魂的命題立意，是一套值得借鑒的好試卷.

二、特色試題賞析

本試卷在遵照《標準》、《考試說明》，展現(xiàn)各地中考試題共性的同時，又有自身獨特的命題取向和價值追求，生成了獨具特色的系列試題.例如，本卷第23題，關(guān)注2016年社會熱點，把一元一次不等式、一元一次方程附以“豬肉價格”的實際背景，相信考生會對40元/千克的豬肉價格印象深刻，引發(fā)學生在后繼生活中關(guān)注時政，發(fā)揮育人功能.第25題第（3）問，“直接寫出答案”.估計其命題立意為：一方面，避免煩煩的運算過程，給考生節(jié)約答題時間；另一方面，允許學生合情推理、歸納猜想，但又不能僅憑猜想得出答案，也需要較強的邏輯推理，更需要準確的運算，可謂“一箭雙雕”.這種命題形式，對于重慶市中考數(shù)學試題，既是一次有益的嘗試，也是對整卷難度的一種平衡.

評析：本題是不等式與分式方程的珠聯(lián)璧合，用參數(shù)鑲嵌其中，滲透了分類討論和逐步篩選的數(shù)學思想與方法.

特色1：題目精煉、熟而不俗、精而不澀，體現(xiàn)數(shù)學的簡潔美，頗有數(shù)學味兒.作為選擇題的壓軸題，改變了壓軸題“冗長、生澀、難懂”等標簽印象，學生入手快，對考試心理是一種撫慰，體現(xiàn)了命題者的人文關(guān)懷.

為了驗證這一特色，基于本題知識均系人教版教材八年級上冊及以前的知識點，筆者在7月4日做了如下實驗：從1380名初二學生中，抽取了6名學生（均為數(shù)學成績前30名），一次性作對的有2人，另外4人都不約而同選擇A，其原因是忽略x≠3，導(dǎo)致未篩掉a=-1.真可謂“貌似平常，卻暗藏玄機”，是一道值得推廣的好題.

（1）如果一個正整數(shù)a是另外一個正整數(shù)b的平方，我們稱正整數(shù)a是完全平方數(shù)，求證：對任意一個完全平方數(shù)m，總有F（m）=1；

（2）如果一個兩位正整數(shù)t，t=10x+y（1≤x≤y≤9，x，y為自然數(shù)），交換其個位上的數(shù)與十位上的數(shù)得到的新數(shù)減去原來的兩位正整數(shù)所得的差為18，那么我們稱這個數(shù)t為“吉祥數(shù)”，求所有“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值.

評析：本題是“新定義題”，2015年卷有嘗試，本題在命制上較之2015年更為成熟.此題既是對基礎(chǔ)知識的考查，更是對學生數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗的考查，有較強的教學導(dǎo)向功能，對發(fā)展學生的核心素養(yǎng)有著深遠的意義.這是一個好的試題形式，是命題應(yīng)堅持的方向.

特色1：原創(chuàng)性.在本卷剛剛出爐時，筆者通過“百度”，搜索到“最佳分解”的定義素材，但是本題并未囿于素材定義，而是在此基礎(chǔ)上應(yīng)用定義論證，新增定義“吉祥數(shù)”，巧妙植入二元一次方程，再求解最值.展現(xiàn)了新定義題的又一種呈現(xiàn)方式：一次定義（最佳分解）→二次定義F（n）=→應(yīng)用（論證F（m）=1）→三次定義（吉祥數(shù)）→再應(yīng)用（求所得“吉祥數(shù)”中F（t）的最大值）.本題完美展現(xiàn)了命題者的智慧.

特色2：公平性.“最佳分解”、“吉祥數(shù)”的定義簡潔明了，再輔以相應(yīng)的舉例，通俗易懂，讓學生都能有所為，最大限度地體現(xiàn)中考的公平性.新定義依托學生熟悉的因數(shù)分解、絕對值等基礎(chǔ)知識，讓學生倍感“親切”，有“大顯身手”的愿望.本題凸顯了舊知識新定義、老問題新方法的命題理念.

特色3：創(chuàng)新性.對學生而言，完全陌生的“新”就是“魔”，適度的“新”才是“佛”，才能真正的啟迪思維，培養(yǎng)能力，發(fā)展素養(yǎng).本題讓學生用已有的經(jīng)驗，以及題目約定的定義、規(guī)定、方法，踏雪尋路，順藤摸瓜，去探究一個新的問題，并創(chuàng)新地解決新問題.本題題意“新”而不“澀”，“新”而不“繁”，求解過程計算量小，思維量大，體現(xiàn)了“少算多思”的特點.

三、兩點思考

1.試題要具有自洽性

自洽性是指一個理論內(nèi)部各命題之間的無矛盾性，簡單地說就是按照自身的邏輯推演，可以證明自身至少不是矛盾或者錯誤的.一個不能夠滿足自洽性的理論或者試題顯然是不攻自破的.試題的命制是教師的常規(guī)工作，稍不留神就會出現(xiàn)題設(shè)條件自相矛盾的問題，從而犯科學性錯誤.因此在命題時一定要慎重，避免試題條件的不自洽問題的發(fā)生.例如，本卷第12題，不等式組是無解的，而分式方程有整數(shù)解，但二者的未知數(shù)均為x.如果遵循同一試題中，同一個字母代表相同的含義，那么這里是否存在矛盾？二者換成不同的未知數(shù)是否嚴謹一些？

2.試題的“新”、“難”要適度

中考作為“高厲害”的考試，求新是必然的，但“新”而有度，“新”而不澀，“新”得自然，方為要義.例如，本卷第23題中，豬肉“價格下調(diào)a%”、“總銷量增加了a%”，“總金額日提高了a%”，高頻次的“a%”，給人以拼湊的嫌疑.第26題在第（2）問中，待定的點有四個：P、Q、M、N，兩次“沿適當?shù)穆窂竭\動”，由于這些生澀迂回的表述，導(dǎo)致多數(shù)學生的解答到此就戛然而止.

當然，部分中考題也需要一定的“任性”，但要適度恰當，才能充分體現(xiàn)中考的信度、區(qū)分度和選拔功能，如何平衡各種“厲害”，乃是對命題者持久的考驗.

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