☉安徽淮北師范大學數(shù)學院　張　昆☉江　蘇　揚　州　中　學　張乃達

論數(shù)學教學創(chuàng)新設計

☉安徽淮北師范大學數(shù)學院張昆
☉江蘇揚州中學張乃達

數(shù)學教學目標的實現(xiàn)，歸根結(jié)底在于發(fā)揮數(shù)學知識資源蘊藏的教育價值.數(shù)學教學所要傳授的知識相對固定（其最低限度已經(jīng)寫入課程標準）.但是，運用什么樣的方式傳授已經(jīng)設定的知識，卻隨著教師所萌生的教學理念不同，預設的教學目標不同，持有的教學觀念不同，獲得的教學經(jīng)驗不同，運用的教學方式不同；理解特定數(shù)學知識性質(zhì)不同，揣摩學生掌握特定知識時的認知方式不同，估計學生生成知識時現(xiàn)場思維活動意向與動機不同，具有多種選擇余地.不同的教學設計，對發(fā)揮數(shù)學知識的教育價值，促進學生數(shù)學素質(zhì)發(fā)展，大相徑庭、迥然有別.本文旨在研究實現(xiàn)數(shù)學教學創(chuàng)新設計.

一、數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的特征及其弊端

我們稱在應試背景下的數(shù)學教學設計為“數(shù)學教學傳統(tǒng)設計”.需要指出的是，“傳統(tǒng)”并不意味著只是新一輪數(shù)學課程改革以前的教學設計活動，即使在其之后，例如，據(jù)我們對11所安徽省省級示范中學的調(diào)查所知，在現(xiàn)實中的高三數(shù)學復習教學設計活動，大部分還依然處于這種狀態(tài).這種教學設計的最大缺陷，就是把數(shù)學化信息這個本來只是承載數(shù)學教育有價值的、必要的媒介，曲解為數(shù)學教學目的本身，認為學生學習數(shù)學就是為了掌握知識（其實是退化成了某種意義上的信息），應用知識解決數(shù)學問題，從而在數(shù)學考試中攫取高分.

于是，實現(xiàn)這種數(shù)學教學目的的途徑就集中于三個具體的環(huán)節(jié)中：首先，數(shù)學教師將與考試有關的數(shù)學知識（可能退化為信息）高密度地灌輸給學生；其次，分析那些有可能考試的數(shù)學問題的（主要是外部）特征，總結(jié)數(shù)學問題的類型，竭盡所能地幫助學生形成在解決問題時能夠?qū)μ柸胱木唧w方法，并將這些題型與方法（退化為信息）高速度地奉獻給學生，直接套用到面對可能考試的數(shù)學問題中去；再次，選擇相似的數(shù)學問題類，針對它們的解決方法集中強化訓練，迫使學生掌握這一數(shù)學解題的方法（退化為信息的形式）.

這種意義上的數(shù)學教學設計，學生只是記住教師理解數(shù)學知識深層結(jié)構的結(jié)論（一種信息形式），事實上是教師在考場外代替學生思考，學生在考場上只是把通過教師的思考已經(jīng)形成的方法與成果移植到當前的考題中去，而避開了其自身應當在教師的引導啟發(fā)下，下苦功夫去對數(shù)學信息、知識、方法、解題套路作完整的、創(chuàng)造性的理解，進而形成自己對數(shù)學的深層結(jié)構的整體把握，在此基礎上，使自己的知識、能力、智力、智慧等品質(zhì)得以同步提升.它的典型特點是：學生繞開“理解”的匝道，進入記憶教師提供題型的“捷徑”.

這樣，當數(shù)學教師把知識退化為信息形式直接傳遞給學生時，當數(shù)學解題教學活動變成了把一切都歸入數(shù)學題型（模式）-匹配的活動時，教師必將所有注意力集中到歸納解決每一類可能在考試卷中出現(xiàn)的題目的類型上，并將這些題型（模式）迅速交給學生，其實，這只是一個促使學生積累信息的過程，這種教學設計途徑必然有損于數(shù)學資源的教育價值.因為它降低了學生對數(shù)學知識結(jié)構深層次理解的要求，從而妨礙學生形成數(shù)學精神品格：如對數(shù)學的整體性、抽象性與結(jié)構性等的體悟，對數(shù)學核心概念的準確、深刻理解，思維與計算兩者間注意力的有效分配，審題中對關鍵文字細微差別的恰到好處的區(qū)分，數(shù)學的合情推理與歸納類比的有效應用，想象力的展開，誘發(fā)直覺思維［1］，等等.如此的教學活動，致使學生不能達到對數(shù)學課程資源的真正要緊的地方進行認真思考與有效把握.

由此可知，數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的典型事實所形成的特點，在于教師運用自己的一些似是而非的表象性的陳述，致力于將數(shù)學知識、利用知識解決問題的數(shù)學方法，作為信息的形式“下載”給學生，這實際上是把學生看成可填充、可控制的容器.教師（不管是有意識還是無意識）不考慮啟發(fā)學生通過他們自己的思維活動生成數(shù)學知識、數(shù)學方法的認識過程，不考慮促使學生從外在化信息向數(shù)學知識、從數(shù)學知識向數(shù)學智力、從數(shù)學智力向數(shù)學理解、從數(shù)學理解向數(shù)學智慧的一個向深度運動的轉(zhuǎn)化活動過程，不考慮利用數(shù)學課程資源形成批判性和創(chuàng)造性思考、分析思考與綜合思考等培養(yǎng)途徑，使學生的思維結(jié)構等智力因素與非智力因素不斷的精致化和精確化的過程.

與之相反，一旦學生從自己鮮活的經(jīng)驗中經(jīng)歷這種轉(zhuǎn)化的過程，他們就受到了一種引起內(nèi)心震顫的體驗，他們由此就可能永遠地改變了.可惜，在數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的環(huán)境下，這一切都是海市蜃樓，沒有立足的根基，因為數(shù)學教學傳統(tǒng)設計致使學生鮮活的經(jīng)驗跑到了九霄云外，認為它是一項干擾教學的因素，于是，從信息中匆匆掠過的教學設計，泯滅了原本可以逗留或深入，而不是一味忙著朝前趕路的機會.因此，這種教學既是對學生的背叛，也是對教師的背叛，使教師的教與學生的學都停留在表層上，得不到信息向?qū)W生的心靈深度開放的支持，這是一種培養(yǎng)人的平庸化的場地.

學生經(jīng)由數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的學習結(jié)果是：養(yǎng)成對教師、教科書的適應、順從與服從，學習數(shù)學的主動性消失殆盡.學生萌生數(shù)學思想、數(shù)學觀念、情感體驗的心智活動逐漸湮滅了，他們很難從數(shù)學學習中獲得支持自信息到知識、方法的形成過程中產(chǎn)生的鮮活的觀念、思想、情感與智慧方面的教益，造成他們中的絕大部分對數(shù)學學習形成了“可望而不可即”的感覺，長時間的失望是消磨自信心與興趣的瘟神，于是，學生后繼數(shù)學學習的積極性消退了，朝氣蓬勃、飽滿熱情與積極向上的進取精神也蕩然無存，致使他們長期籠罩在較少學習成功的陰影中［2］.

我們知道，數(shù)學教學傳統(tǒng)設計首當其沖的目標就是幫助學生攫取數(shù)學學科的高分，這一目標是如此之高，成為教學焦點中的焦點，其他更有價值的目標在此焦點之下，都隱退到很遠的地方，以致于我們在數(shù)學教學傳統(tǒng)設計中難以見其一面.如此，對數(shù)學考試高分的過分重視，不擇手段的追求，其結(jié)果必然導致教師、學生乃至于家長只滿足于對正確答案的妥協(xié)，在這種情況下，如果學生能夠提供被認可的正確答案，教育就被認為是成功的.傳統(tǒng)的數(shù)學教學就是這樣建立起了一套封閉的知識體系、方法體系，數(shù)學教學許多非知識性的、更高層次的目標都形同虛設，成了一紙空文.

對高分的重視導致教師和學生都不愿意承擔理解認知的風險（而理解恰恰是掌握數(shù)學的精髓所在），因為對知識發(fā)生過程的理解有時需要耗費大量時間，投入大量精力，使學生和教師均認為，尋求“理解”的教學反而是“本末倒置”“事倍功半”；相反，他們滿足于對正確答案的妥協(xié)，這種觀念阻礙了學生創(chuàng)造、形成、評價和運用信息能力的發(fā)展，扼殺了更高思維層次與創(chuàng)新能力的發(fā)展，最后的結(jié)果只能是人的意識與精神的萎縮.如果數(shù)學教育不能深入理解數(shù)學課程的恰當?shù)匚慌c人類潛能發(fā)展之間的關系，那么，它不僅會滋生和助長平庸，而且會導致“捆綁式的生長”，甚至會成為“靈魂殺手”.

在學生面對數(shù)學知識或所要解決的問題時，數(shù)學傳統(tǒng)教學設計的另一特征的典型體現(xiàn)，就在于知識或問題中刺手的荊棘之刺都由教師自己剝?nèi)?這是因為，為了應付考試，只能把發(fā)展數(shù)學探究能力的資源轉(zhuǎn)化為僵死的信息，并把這種信息當作毫無疑義的真理讓學生反復背誦、記憶、在考試中套用.作為教育者和受教育者，一方展示，另一方吸收僵死的、封閉的知識體系，而不愿去實踐、探求，鼓起發(fā)現(xiàn)真理的勇氣.很多教師都深知這一點，但是迫于當今考試的要求，沒有幾個教師有時間和勇氣去探討考試內(nèi)容（被當作是真理）以外的東西.我們建立了一套掌握某種知識的奴隸制度，其中包括所謂的機構，學生和老師就成了這種機構的奴仆.

總之，為了攫取數(shù)學考試高分的數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的特征在于：首先，把許多數(shù)學家經(jīng)由艱難探究信息活動才轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識的過程，并從這種轉(zhuǎn)化活動過程中生成的數(shù)學方法、萌生數(shù)學觀念、形成數(shù)學思想都退化為僵死的信息傳遞于學生；其次，通過壓制學生，運用大量的高強度訓練，使學生對某些類型的數(shù)學問題信息通過簡單的識別，就可以條件反射式地加以解決.由此產(chǎn)生的弊端就是數(shù)學教育教學的平庸化，經(jīng)由數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的實施，榨盡了學生憑借自己的智慧萌發(fā)數(shù)學思想、觀念、能力、情感等的可能性，迫使學生的學習處于極度被動的狀態(tài)中，教師的教學其實也處于被動狀態(tài)中.

二、數(shù)學教學創(chuàng)新設計價值及其實現(xiàn)

數(shù)學教學創(chuàng)新設計就是為了糾正數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的弊端而言的，它要力求扭轉(zhuǎn)數(shù)學教學的唯一目標就是學生取得數(shù)學信息，從而可以在考試中得到高分的情狀，將其轉(zhuǎn)化為營造促進學生全面發(fā)展的氛圍，從而最大限度地發(fā)揮數(shù)學課程資源的教育價值.數(shù)學教學創(chuàng)新設計要求：首先，要處理好數(shù)學化信息、知識、智力、理解、智慧等的合理內(nèi)涵與位置排列的順序；其次，估計學生基于數(shù)學化信息到知識、智力、理解、智慧等萌生與轉(zhuǎn)化的心理活動過程；再次，分析不同的數(shù)學化信息、不同的學生心理構成的不同轉(zhuǎn)化通路，經(jīng)過教學法處理設計合適的教學流程.以此，最大限度地發(fā)揮數(shù)學課程資源的教育價值.

有效數(shù)學學習的一種遞進圖式為：第一層面是數(shù)學信息，數(shù)學信息被正確置于作為數(shù)學教學交流的媒介，一種教師指導學生生成數(shù)學認識的思維場的基礎；第二個層面是數(shù)學知識，數(shù)學信息可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學知識，其中，直接經(jīng)驗常常把零碎的數(shù)學信息整合為整體的知識與技能上的精通；第三個層面是智力，數(shù)學知識的積累為有意識地培養(yǎng)“智力”創(chuàng)造了可能性，智力可以通過直覺和分析的辯證來分割、形成、創(chuàng)造數(shù)學信息與數(shù)學知識；第四個層面是理解，理解幫助學生超越智力的力量而運用心靈觀照自我及其所處的外在環(huán)境，它是一個服務個體性格發(fā)展與社會發(fā)展的認知方式；第五個層面是智慧，經(jīng)驗孕育了發(fā)展智慧的可能性，智慧把對真理的洞見與倫理上的正確融合起來［3］；第六個層面是轉(zhuǎn)化，從信息到知識、從知識到智力、從智力到理解、從理解到智慧孕育著遞進轉(zhuǎn)化的可能性.

數(shù)學教學創(chuàng)新設計的目標就是要找到具體的途徑，將這種遞進轉(zhuǎn)化的可能性改造成教學活動的現(xiàn)實性.以此，促進學生“頭腦”的改變，培養(yǎng)學生的智力與數(shù)學思考能力，而不是指令學生思考什么，即要求引導學生通過批判性思考、創(chuàng)造性思考、分析性思考、綜合性思考與發(fā)揮想象力等，促使大腦精致化與精確化.形成智慧又是超越了智力的范疇，智慧常常優(yōu)雅簡單，穿過復雜的云層，提出超越智力的方向與洞見，智慧就像一個整體，一個人并不能確切地占有它，但是，可以在行動中體現(xiàn)它，智慧有別于技能掌握和智力敏銳，尤其當它和理解的心靈整合起來的時候.

數(shù)學教學創(chuàng)新設計的途徑就是促使學生生成運用自己的心智活動與肢體活動現(xiàn)實地實現(xiàn)從數(shù)學信息向數(shù)學知識、從數(shù)學知識向數(shù)學智力、從數(shù)學智力向數(shù)學理解、從數(shù)學理解向數(shù)學智慧這樣一個向深度運動的過程，一種意識的進展和擴展，它是學生自我心理組織和自我超越的動力和沖力.一旦數(shù)學教學達到了激發(fā)這種進展的境界，它將帶領學生超越數(shù)學信息的限制，超越社會結(jié)構的限制，超越文化條件的限制，超越自我設定的框架的限制.由此，學生不僅得到聚集數(shù)學信息的能力，而且也得到了進展與超越的能力，由此，引導我們走向教學中最具深度的時刻.

成功的教學創(chuàng)新設計的數(shù)學教師深諳創(chuàng)造性地運用教學策略，使用自己的解釋把數(shù)學信息呈現(xiàn)于學生的方法，或把數(shù)學信息轉(zhuǎn)化為學生易于理解的清晰的觀點，促使學生對數(shù)學化信息始終保持著真正的興趣，促進學生和數(shù)學化信息的教學內(nèi)容進行共舞和互動.他們的成功不是因為一種技巧或一種普遍的風格，而是因為他們對教學藝術的真實、獨特的表達，這種教學藝術要求鼓勵有意義的學習、性格培養(yǎng)與促進想象力的發(fā)展.基于這種方式的數(shù)學教學設計，為學生的內(nèi)在的“人”的誕生提供了機會，而不只是簡單地將人置于數(shù)學信息之中，它關注學生的發(fā)展.

很顯然，數(shù)學教學創(chuàng)新設計是對數(shù)學教學傳統(tǒng)設計的超越.然而，現(xiàn)實的困境是：一般數(shù)學教師很難達到教學創(chuàng)新設計的境界；那些被認為是專家或權威的教師，也經(jīng)常擔心暴露自己作為一個人或一個專家的不足之處，他們往往選擇藏躲于數(shù)學信息、方法論或者角色的背后，不敢開放性地面對現(xiàn)實，而寧愿選擇知識產(chǎn)生的捷徑進行教學活動.因為數(shù)學教學創(chuàng)新設計具有高度藝術性的表現(xiàn)，不可能給出一個具體的程式，為了說明問題，看筆者的一個具體例子.

三、勾股定理教學創(chuàng)新設計示例

關于勾股定理的教學設計問題，新課程教科書編制時，突出了定理的發(fā)現(xiàn)活動，關于定理的證明，一般是選擇我國古代數(shù)學家趙爽構建的“勾股弦圖”來對教師帶領學生發(fā)現(xiàn)的勾股定理的結(jié)論加以說明，促使學生確信這個定理是正確的.教材上只是給出了趙爽“勾股弦圖”的結(jié)論，沒有提示趙爽構造這個“勾股弦圖”的具體的心理活動過程，這就給學生以“神來之筆”的感覺，學生只可能敬慕于趙爽的巧智，似乎變成了一種“魔術”，而不知道構造這個“勾股弦圖”的心理機制究竟出于何處.如此，極大地損傷了幾何論證培養(yǎng)學生思維能力、創(chuàng)新能力與學習興趣等的教育價值.

課例：勾股定理的教學設計.

師：古人特別喜歡使用面積來表示（或證明）代數(shù)恒等式，請你設計一個圖形，表示完全平方式（a+b）2=a2+ 2ab+b2.

生1：可以構建一個以邊長為a+b的正方形，如圖1，就可以達到目的.

師：也可以構造一個說明完全平方差公式（a-b）2= a2-2ab+b2的幾何圖形嗎？

圖1

圖2

圖3

圖4

圖5

生2：可以，只要將圖1變成圖2，就可以達到達到目的.圖2中的面積關系為：（a-b）2=（a+b）2-4ab=a2-2ab+b2，這正是完全平方差公式.

師：假如要研究一個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形的三邊關系，可以借助于上述這些研究結(jié)果中的圖形嗎？

趙爽為《周髀算經(jīng)》勾股圓方圖注道，“案弦圖又可以勾、股相乘為朱實二，倍之為朱實四，以勾股自差自乘為中黃實.加差實亦成弦實”［4］.如圖5，教科書為了幫助教師施教、學生學習，在驗證勾股定理結(jié)論時，直接給出了圖5中的結(jié)論.如何構建出圖5，具有極其重要的教育價值，它的實現(xiàn)，教師非細心地把握學生構建時的心理活動環(huán)節(jié)不可.

該課例的顯著特點是選擇了合適的先行組織者，即在學生認知結(jié)構中與勾股定理的數(shù)學符號表達式（a2+ b2=c2）相近的結(jié)構——兩數(shù)和（差）的完全平方公式——非常熟悉的知識結(jié)構組織具有一個數(shù)的平方條件的“凝聚核”，因此，完全平方公式就構成了勾股定理的現(xiàn)行組織者；接著，通過中國（埃及、希臘）古代數(shù)學家常常采用圖形（“出入相補原理”）來表達或說明（論證）代數(shù)恒等式，啟發(fā)學生，促使學生萌發(fā)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學觀念等.于是，勾股定理使用完全平方公式的先行組織者策略的教學設計展開了.

引導學生找到了使用正方形與矩形（圖2）的面積來表示兩數(shù)和的完全平方公式的結(jié)論；自然地就會提出新的問題，如何使用正方形與矩形來表示兩數(shù)差的完全平方公式？學生構建出了圖3達到了目的.到此，雖然稍微有點兒牽強，但是還算是順水推舟地提出了新問題：要研究一個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形的三邊關系，可以借助于上述的圖形嗎？由于圖2或圖3中都明顯地內(nèi)含著符合要求的直角三角形，學生在思考時，自然地會試圖作出這兩個圖形中的邊長分別是a、b的矩形的對角線，從而獲得滿足要求的直角三角形，到此發(fā)現(xiàn)將圖3中的四個矩形的對角線依次連接成圖4的形式，肯定對問題討論的深入具有幫助，割除外圍的四個直角邊長分別為a、b，斜邊長為c的直角三角形，得到了圖5這個邊長為c的新正方形.在圖5中運用“出入相補原理”，就可以由之得到勾股定理的數(shù)學符號表達式.如此的教學設計，改變了教科書上直接向?qū)W生提供“勾股弦圖”的結(jié)論，而是啟發(fā)學生通過自己的思維活動構建“勾股弦圖”.

四、簡要結(jié)語

數(shù)學教學創(chuàng)新設計的目標是改變數(shù)學教學傳統(tǒng)設計中，一切為了學生獲取考試分數(shù)的教學目標.實現(xiàn)數(shù)學教學創(chuàng)新設計的條件是要求教師萌生合適的教學理念，練就高超的教學能力，習得精湛的教學技藝，形成完善的教學行為，養(yǎng)成反思教學實踐的習慣，挑戰(zhàn)與生俱來的人性弱點.這些要素是作為教師主體的意識結(jié)構整體力量發(fā)揮作用的，它是一項系統(tǒng)性、體系性、結(jié)構性的工程.只有數(shù)學教學創(chuàng)新設計，才有可能形成數(shù)學教學的有效性，發(fā)揮數(shù)學課程資源的教育價值.

參考文獻：

1.張昆.高考答卷惜時如金：問題與出路［J］.數(shù)學通報，2011（50）.

2.張昆.基于理性思維平面幾何理性思維教育價值的教學實踐研究［M］.（見）全國教育碩士專業(yè)學位優(yōu)秀論文選（第二輯），全國教育專業(yè)學位教育指導委員會組編.北京：人民教育出版社，2013.

3.［美］托賓·哈特.從信息到轉(zhuǎn)化：為了意識進展的教育［M］.彭正梅，譯.上海：華東師范大學出版社，2004.

4.劉鈍.大哉言數(shù)［M］.沈陽：遼寧教育出版社，1993.