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      不斷前進的函數(shù)發(fā)展史

      2016-09-10 07:22:44尤維明
      初中生世界·八年級 2016年2期
      關鍵詞:伯努利式子解析

      尤維明

      函數(shù)概念是數(shù)學中最重要的基本概念之一,對數(shù)學的發(fā)展有著不可估量的作用.函數(shù)概念的完善經過了漫長的歷史,數(shù)學家在完善函數(shù)概念的同時,不斷賦予它新的思路,從而推動整個數(shù)學的發(fā)展.

      早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)

      17世紀伽俐略(G.galileo,意大利,1564-

      1642)在《兩門新科學》一書中,幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關系這一概念,用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系.笛卡爾(descartes,法,1596~1650)在他的解析幾何中,已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系,但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念,因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候,數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義,絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的.

      18世紀函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)

      1718年約翰·伯努利(Johann Bernoulli,瑞士,1667~1748)在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上,對函數(shù)概念進行了明確定義:由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量,伯努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)”,表示為其在函數(shù)概念中所說的任一形式,包括代數(shù)式子和超越式子.

      18世紀中葉歐拉(L.Euler,瑞士,1707~1783)給出了非常形象的,一直沿用至今的函數(shù)符號.歐拉給出的定義是:一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式.他把約翰·伯努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù),并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)(只有自變量間的代數(shù)運算)和超越函數(shù)(三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)),還考慮了“隨意函數(shù)”(表示任意畫出曲線的函數(shù)).不難看出,歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·伯努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.

      19世紀函數(shù)概念——對應關系下的函數(shù)

      1822年傅里葉(Fourier,法,1768~1830)發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示,也可用一個式子表示,或用多個式子表示,從而結束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論,把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次.1823年柯西(Cauchy,法,1789~1857)從定義變量開始給出了函數(shù)的定義,同時指出:雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法,但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式.不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示,這是一個很大的局限,突破這一局限的是杰出數(shù)學家狄利克雷.

      1837年狄利克雷(Dirichlet,德,1805~1859)認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要,他拓廣了函數(shù)概念,指出:“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值,y都有一個或多個確定的值,那么y叫做x的函數(shù).”狄利克雷的函數(shù)定義,出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述,簡明精確,以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受.至此,我們已可以說,函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義已經形成,這就是人們常說的經典函數(shù)定義.

      等到康托爾(Cantor,德,1845~1918)創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后,維布倫(Veblen,美,1880~1960)用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義,通過集合概念,把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了,且打破了“變量是數(shù)”的極限,變量可以是數(shù),也可以是其他對象(點、線、面、體、向量、矩陣等).

      現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)

      1914年豪斯道夫(F.hausdorff)在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù).其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念,其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”.庫拉托夫斯基(Kuratowski)于1921年用集合概念來定義“序偶”,即序偶(a,b)為集合{{a},},這樣,就使豪斯道夫的定義很嚴謹了.1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為,若對集合M的任意元素x,總有集合N確定的元素y與之對應,則稱在集合M上定義一個函數(shù),記為y=f(x).元素x稱為自變元,元素y稱為因變元.

      函數(shù)概念的定義經過三百多年的錘煉、變革,形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式,但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的終結.20世紀40年代,物理學研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac-δ函數(shù),它只在一點處不為零,而它在全直線上的積分卻等于1,這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的,但由于廣義函數(shù)概念的引入,把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac-δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來.因此,隨著以數(shù)學為基礎的其他學科的發(fā)展,函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展.

      (作者單位:江蘇省無錫市玉祁中學)

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