不斷前進的函數(shù)發(fā)展史

尤維明

函數(shù)概念是數(shù)學中最重要的基本概念之一，對數(shù)學的發(fā)展有著不可估量的作用.函數(shù)概念的完善經過了漫長的歷史，數(shù)學家在完善函數(shù)概念的同時，不斷賦予它新的思路，從而推動整個數(shù)學的發(fā)展.

早期函數(shù)概念——幾何觀念下的函數(shù)

17世紀伽俐略（G.galileo，意大利，1564-

1642）在《兩門新科學》一書中，幾乎從頭到尾包含著函數(shù)或稱為變量的關系這一概念，用文字和比例的語言表達函數(shù)的關系.笛卡爾（descartes，法，1596～1650）在他的解析幾何中，已經注意到了一個變量對于另一個變量的依賴關系，但由于當時尚未意識到需要提煉一般的函數(shù)概念，因此直到17世紀后期牛頓、萊布尼茲建立微積分的時候，數(shù)學家還沒有明確函數(shù)的一般意義，絕大部分函數(shù)是被當作曲線來研究的.

18世紀函數(shù)概念——代數(shù)觀念下的函數(shù)

1718年約翰·伯努利（Johann Bernoulli，瑞士，1667～1748）在萊布尼茲函數(shù)概念的基礎上，對函數(shù)概念進行了明確定義：由任一變量和常數(shù)的任一形式所構成的量，伯努利把變量x和常量按任何方式構成的量叫“x的函數(shù)”，表示為其在函數(shù)概念中所說的任一形式，包括代數(shù)式子和超越式子.

18世紀中葉歐拉（L.Euler，瑞士，1707～1783）給出了非常形象的，一直沿用至今的函數(shù)符號.歐拉給出的定義是：一個變量的函數(shù)是由這個變量和一些數(shù)即常數(shù)以任何方式組成的解析表達式.他把約翰·伯努利給出的函數(shù)定義稱為解析函數(shù)，并進一步把它區(qū)分為代數(shù)函數(shù)（只有自變量間的代數(shù)運算）和超越函數(shù)（三角函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及變量的無理數(shù)冪所表示的函數(shù)），還考慮了“隨意函數(shù)”（表示任意畫出曲線的函數(shù)）.不難看出，歐拉給出的函數(shù)定義比約翰·伯努利的定義更普遍、更具有廣泛意義.

19世紀函數(shù)概念——對應關系下的函數(shù)

1822年傅里葉（Fourier，法，1768～1830）發(fā)現(xiàn)某些函數(shù)可用曲線表示，也可用一個式子表示，或用多個式子表示，從而結束了函數(shù)概念是否以唯一一個式子表示的爭論，把對函數(shù)的認識又推進了一個新的層次.1823年柯西（Cauchy，法，1789～1857）從定義變量開始給出了函數(shù)的定義，同時指出：雖然無窮級數(shù)是規(guī)定函數(shù)的一種有效方法，但是對函數(shù)來說不一定要有解析表達式.不過他仍然認為函數(shù)關系可以用多個解析式來表示，這是一個很大的局限，突破這一局限的是杰出數(shù)學家狄利克雷.

1837年狄利克雷（Dirichlet，德，1805～1859）認為怎樣去建立x與y之間的關系無關緊要，他拓廣了函數(shù)概念，指出：“對于在某區(qū)間上的每一個確定的x值，y都有一個或多個確定的值，那么y叫做x的函數(shù).”狄利克雷的函數(shù)定義，出色地避免了以往函數(shù)定義中所有的關于依賴關系的描述，簡明精確，以完全清晰的方式為所有數(shù)學家無條件地接受.至此，我們已可以說，函數(shù)概念、函數(shù)的本質定義已經形成，這就是人們常說的經典函數(shù)定義.

等到康托爾（Cantor，德，1845～1918）創(chuàng)立的集合論在數(shù)學中占有重要地位之后，維布倫（Veblen，美，1880～1960）用“集合”和“對應”的概念給出了近代函數(shù)定義，通過集合概念，把函數(shù)的對應關系、定義域及值域進一步具體化了，且打破了“變量是數(shù)”的極限，變量可以是數(shù)，也可以是其他對象（點、線、面、體、向量、矩陣等）.

現(xiàn)代函數(shù)概念——集合論下的函數(shù)

1914年豪斯道夫（F.hausdorff）在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數(shù).其優(yōu)點是避開了意義不明確的“變量”、“對應”概念，其不足之處是又引入了不明確的概念“序偶”.庫拉托夫斯基（Kuratowski）于1921年用集合概念來定義“序偶”，即序偶（a，b）為集合{{a}，}，這樣，就使豪斯道夫的定義很嚴謹了.1930年新的現(xiàn)代函數(shù)定義為，若對集合M的任意元素x，總有集合N確定的元素y與之對應，則稱在集合M上定義一個函數(shù)，記為y=f（x）.元素x稱為自變元，元素y稱為因變元.

函數(shù)概念的定義經過三百多年的錘煉、變革，形成了函數(shù)的現(xiàn)代定義形式，但這并不意味著函數(shù)概念發(fā)展的終結.20世紀40年代，物理學研究的需要發(fā)現(xiàn)了一種叫做Dirac-δ函數(shù)，它只在一點處不為零，而它在全直線上的積分卻等于1，這在原來的函數(shù)和積分的定義下是不可思議的，但由于廣義函數(shù)概念的引入，把函數(shù)、測度及以上所述的Dirac-δ函數(shù)等概念統(tǒng)一了起來.因此，隨著以數(shù)學為基礎的其他學科的發(fā)展，函數(shù)的概念還會繼續(xù)擴展.

（作者單位：江蘇省無錫市玉祁中學）