☉安徽省合肥市教學(xué)研究室 許曉天

穩(wěn)定為前提，思維為導(dǎo)向
——2016年高考數(shù)學(xué)全國I卷理科試卷評析及高三復(fù)習(xí)建議

☉安徽省合肥市教學(xué)研究室 許曉天

習(xí)慣了十年安徽省自主命題復(fù)習(xí)的安徽教師，對于2016年回歸全國I卷的考試盡管準(zhǔn)備充分，但是心理總感焦慮，更是一份期待.直到6月8日下午數(shù)學(xué)考試結(jié)束，與考生的交流中，教師的“釋然”感油然而生.大家一致認為試卷：內(nèi)容穩(wěn)定，梯度合理，源于教材，突顯思維.下面以2016年全國I卷理科試卷為例，談?wù)剬υ嚲淼娜舾伤伎己透呷龔?fù)習(xí)的一些建議.

一、試卷評析

針對使用全國I卷考生的人數(shù)多達幾百萬，“總體”數(shù)量龐大，各地教育發(fā)展不均衡，“個體”差異顯著的重要特點，全國卷多年秉持：試卷結(jié)構(gòu)固定，內(nèi)容平穩(wěn)、梯度合理和區(qū)分度良好的特點.今年的理科I卷數(shù)學(xué)試卷一如既往地堅持了全國卷的這個優(yōu)良傳統(tǒng)，并加大了對學(xué)生知識面和思維力的考查.就試卷結(jié)構(gòu)而言和以前一樣設(shè)置了必考和選考部分，其中必考內(nèi)容依然是5本必修加選修2-1、選修2-2和選修2-3，選考內(nèi)容是選修4-1（幾何證明選講）、選修4-4（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）和選修4-5（不等式選講）.試卷注重考查基礎(chǔ)知識、基本技能和基本方法，涉及內(nèi)容大多是全國卷的常規(guī)考點，并突出了對考生知識面與數(shù)學(xué)思維能力、轉(zhuǎn)化化歸能力及創(chuàng)新思維能力的考查.試題的難度由易到難以階梯式的方式呈現(xiàn)，不論是何種程度的學(xué)生都有自己的得分點，給學(xué)生充分的人文關(guān)懷，同時又設(shè)置了一些區(qū)分度較高的試題，如選擇題最后兩道題、填空題最后一道題以及解答題第20題和21題等，能有效考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力，可以幫助不同層次的高校選拔出所需的人才.

（一）內(nèi)容穩(wěn)定，穩(wěn)中有變

題號 2014年 2015年 2016年1 集合 復(fù)數(shù) 集合2 復(fù)數(shù) 三角函數(shù) 復(fù)數(shù)3 函數(shù)的奇偶性 命題的否定 等差數(shù)列4 雙曲線 概率 幾何概型

5 概率 雙曲線 雙曲線6 三角函數(shù) 立體幾何 立體幾何（三視圖）7 程序框圖 平面向量 函數(shù)的圖像8 三角函數(shù) 三角函數(shù) 指數(shù)與對數(shù)函數(shù)9 命題 程序框圖 程序框圖10 拋物線 二項式定理 拋物線11 函數(shù)的零點 立體幾何（三視圖） 立體幾何12 立體幾何（三視圖） 不等式 三角函數(shù)13 二項式定理 函數(shù)的奇偶性 平面向量14 邏輯推理 圓 二項式定理15 平面向量 線性規(guī)劃 等比數(shù)列16 解三角形 解三角形 線性規(guī)劃17 數(shù)列 數(shù)列 解三角形18 概率 立體幾何 立體幾何19 立體幾何 統(tǒng)計 概率20解析幾何（橢圓） 解析幾何（拋物線） 解析幾何（橢圓）21 導(dǎo)數(shù) 導(dǎo)數(shù)（零點） 導(dǎo)數(shù)（零點）22 選修4-1：幾何證明選講23 選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程24 選修4-5：不等式選講

上表中給出了最近三年全國I卷理科試題的考點分布，從表中可以看出今年的全國I理科試題依然全面考查了高中所學(xué)的主干知識：基本初等函數(shù)、三角函數(shù)、立體幾何、解析幾何、概率與統(tǒng)計及導(dǎo)數(shù).結(jié)合近三年的試題看，試卷具有穩(wěn)中有新、穩(wěn)中有變的特點，每年都有新增的不同于往年的考點.如今年的第4題就考查了平時大家關(guān)注度不高的幾何概型、第16題考查了應(yīng)用型的線性規(guī)劃問題.另外全國卷解答題的考點位置相對固定，其中必考部分第17題每年都是三角函數(shù)或解三角形與數(shù)列這兩種題型中的一種，相對應(yīng)的填空題（16）可能性較大的是另外一種題型，以便這兩種題型在整體上達到平衡.但今年稍有不同，選擇題（3）和填空題（15）分別考查了基本的等差和等比數(shù)列的知識，問題難度不大.解答題（17）考查了解三角形的知識，屬于簡單題，但選擇題（12）考查了函數(shù)y=sin（αx+φ）的性質(zhì)，難度較大，是否有加強三角函數(shù)和解三角形知識點考查的命題意圖？這也體現(xiàn)了“穩(wěn)中有變”的命題思路.解答題的立體幾何、統(tǒng)計和概率按照問題的難易程度分別出現(xiàn)在第18和19題，解析幾何出現(xiàn)在第（20）題，第21題是導(dǎo)數(shù)題.選考部分每年都是選修4-1（不等式證明選講）、選修4-4（坐標(biāo)系和參數(shù)方程）、選修4-5（不等式選講）三部分別命制一題，學(xué)生從三題中任選一題作答，固定不變.

（二）立足基礎(chǔ)，梯度合理

仔細做完整套試卷后，就會發(fā)現(xiàn)今年的課標(biāo)I卷數(shù)學(xué)理科試卷遵循了《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》的要求，全面考查了考生對高中所學(xué)基礎(chǔ)知識的掌握情況.從試卷整體看，選擇題前6題屬于簡單題，后繼的4題屬于中檔題，最后兩題難度較大.填空題前3題是簡單題，最后一題需要很強的閱讀提取信息、建模和準(zhǔn)確作圖的能力，因而有一定的難度.選擇題和填空題中的簡單題是指重點考查了學(xué)生“四基”的問題，只要學(xué)生基本功扎實，都可以順利解決這些問題.解答題第17題和第18、19、20題的第一小問都是較簡單的基本問題，20題第二問和21題有一定的難度.通過統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)試卷中有100分左右的基礎(chǔ)題型，其他的問題，雖然有一定的難度，但都在考試大綱要求的范圍以內(nèi)，旨在讓試卷有合適的區(qū)分度，有利于高校選拔人才.另外，從解答題的解答來看，雖然題目涉及內(nèi)容的位置相對固定，但從難易程度看，基本上是按照大多數(shù)學(xué)生的認知能力，由易到難依次遞進，這樣有利于不同層次思維能力學(xué)生的考場發(fā)揮，說明專家在命題前已經(jīng)擬定了每一題的難度系數(shù).對于“三選一”的選考問題，三題設(shè)計難度基本相當(dāng)，也屬于“簡單題”.

（三）能力立意，適度創(chuàng)新

對數(shù)學(xué)能力的考查，考綱強調(diào)：“對能力的考查，以思維能力為核心全面考查各種能力，強調(diào)綜合性、應(yīng)用性，切合學(xué)生實際.”這里的“各種能力”，包括空間想象能力、抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力以及應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識.今年全國卷I理科試題，很多問題都要求學(xué)生有很好的思維能力，特別是創(chuàng)新意識的考查有所增強.如一般情況下考查立體幾何中的線線、線面和面面關(guān)系，常常借助長方體、正方體或多面體進行考查，但今年理科第11題命題專家，用學(xué)生非常熟悉的正方體為載體，過一頂點在正方體外作一與正方體內(nèi)一個面平行的平面，在體現(xiàn)對學(xué)生人文關(guān)懷的同時，加大了對學(xué)生空間想象能力的考查，命題力求繼承中體現(xiàn)創(chuàng)新.

例1（理科11）平面α過正方體ABCD-A1B1C1D1的頂點A，平面α//平面CB1D1，平面α∩平面ABCD=m，平面α∩平面ABB1A1=n，則m，n所成角的正弦值為（）.

分析：該題是一道沒有給出圖形的立體幾何體，充分考查了考生的空間想象能力，不同層次的學(xué)生會有不同的解題思路，會選用不同的解法，也反映了考生不同層次的能力.

方法1：如圖1所示，以A為頂點再補一個全等的正方體ADEF-A1D1E1F1，則易證EF1∥CB1，AE∥B1D1，則平面AEF1∥平面CB1D1，而平面AEF1過正方體的頂點A，故平面AEF1就是平面α，而平面AEF1∩平面ABCD=AE，平面AEF1∩平面ABB1A1=AF1，則m，n所成角就是直線AE和AF1所成的角，即∠EAF1，而△AEF1為等邊三角形，因此，故選A.

而空間想象能力能力強的考生會采取口算的方法即可解決：

圖1

圖2

方法2：如圖2所示，易知平面A1BD∥平面CB1D1，平面α∥平面CB1D1，故平面α∥A1BD.又平面α∩平面ABCD=m，則m∥BD.同理可得n∥A1B.故m，n所成角的大小與直線BD，A1B所成的角大小相等，即∠A1BD，而△A1BD為等邊三角形，因此sin∠A1BD=，故選A.

（四）源于教材，高于教材

教材是課程標(biāo)準(zhǔn)的重要載體，是教與學(xué)的重要資源.每年的高考試題都蘊含著課本中重要的數(shù)學(xué)思維方式和思想精髓.今年的試卷中有不少試題都能在教材中找到原型，如第4題的幾何概型問題與人教A版必修3第136頁例1很相似；第16題與人教A版必修1第87頁簡單線性規(guī)劃問題的引例如出一轍，而這種應(yīng)用題型由于包含的信息量較大，學(xué)生首先要靜下心來設(shè)出題目中包含的未知量，再尋找未知量之間的不等關(guān)系，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃中整點最優(yōu)解的問題.又人教A選修2—1第49頁習(xí)題

2.2 A組第7題：

課本習(xí)題：如圖3，圓O半徑為定值r，A是圓O內(nèi)一個定點，P是圓上任意一點，線段AP的垂直平分線l與半徑OP相交于點Q，當(dāng)點P在圓上運動時，點Q的軌跡是什么？為什么？

圖3

例2 （理科20）設(shè)圓x2+y2+2x-15=0的圓心為A，直線l過點B（1，0）且與x軸不重合，l交圓A于C，D兩點，過B作AC的平行線交AD于點E.

（Ⅰ）證明|EA|+|EB|為定值，并寫出點E的軌跡方程；（Ⅱ）（省略）.

分析：兩問題命題的載體都是圓，課本中問題借助線段中垂線性質(zhì)轉(zhuǎn)化為：QO+QA=OQ+QP=OP=r，從而根據(jù)橢圓定義解決；而20題問題（Ⅰ）解題是利用等腰三角形兩腰相等，推出|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|，y也等于半徑.從本質(zhì)上說，把課本問題中延長PA交圓O于B，連結(jié)OB、AQ.再去掉直線l，改成QA∥OB.這可能就是高考題生成的過程.

可以說，第20題是一道源于教材、高于教材的難得的好題.

圖4

（五）突出思想，注重通法

考綱要求：“從學(xué)科整體意義和思想價值立意，要有明確的目的，加強針對性，注重通性通法，淡化特殊技巧，有效地檢測考生對中學(xué)數(shù)學(xué)知識中所蘊涵的數(shù)學(xué)思想和方法的掌握程度.”如理科試卷第5、8、10、11、12、20均考查到了學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸的思想方法，第7、12、16、24題用到了數(shù)形結(jié)合的思想，第21題則考查了分類討論的思想.并且解題的方法都可以用常規(guī)方法解決，下面舉兩例：

例3（理科3）已知等差數(shù)列｛an｝前9項的和為27，a10=8，則a100=（）.

A.100 B.99 C.98 D.97

分析：這是一道簡單的數(shù)列問題，但是在答題時可能會有不少考生想利用等差數(shù)列的性質(zhì)來尋找特殊技巧來做題，在這里反而得不償失，老老實實運用通式通法利用等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式得到關(guān)于a1，d的方程組求出首項和公差，從而問題迎刃而解.此題突出了方程組思想和通性通法的考查.

例4（理科21題） 已知函數(shù)f（x）=（x-2）ex+a（x-1）2有兩個零點.

（Ⅰ）求a的取值范圍；

（Ⅱ）（略）.

分析：第（Ⅰ）問涉及含參數(shù)的零點問題，學(xué)生非常熟悉分離變量的方法，也是通性通法.問題（Ⅰ）應(yīng)用此法很容易解決.

解：當(dāng)x=1時，f（1）=-e，x=1不是零點；

當(dāng)x∈（-∞，1）時，g（′x）＜0；

當(dāng)x∈（1，+∞）時，g（′x）＞0.

所以g（x）在（-∞，1）單調(diào)遞減，在（1，+∞）單調(diào)遞增.

當(dāng)x∈（-∞，1）時，g（x）＜0，當(dāng)x→-∞時，g（x）→0，

又當(dāng)x→1時，g（x）→-∞，又g（2）=0，

故函數(shù)（fx）有兩個零點，只需-a＜0，即a＞0.

二、復(fù)習(xí)建議

2016年的高考已經(jīng)拉下了帷幕，而2017年高考復(fù)習(xí)在即，怎樣盡可能做到高三“復(fù)習(xí)教學(xué)與高考評價”的統(tǒng)一，是我們高三復(fù)習(xí)有效性的關(guān)鍵.根據(jù)2016年理科數(shù)學(xué)I卷的評析，給參加全國卷I理科考生復(fù)習(xí)教學(xué)提出以下建議：

（一）全面復(fù)習(xí)，把握?？純?nèi)容

從2016年的全國卷I理科試題可知，考綱中出現(xiàn)的考點，哪怕是以往很少出現(xiàn)的題型或大家認為不很重要的知識，我們都不應(yīng)該小覷，如幾何概型和線性規(guī)劃.

從多年的全國考卷統(tǒng)計可以看出，全國卷最大的特點是穩(wěn)定，對考生將來學(xué)習(xí)和工作起到奠基作用的內(nèi)容，高考都堅持?？疾蛔??？嫉念}型很多，僅舉一例：今年考生覺得難度最大的第21題，我們關(guān)注的是連續(xù)兩年的壓軸題都考到了函數(shù)的零點問題，可知零點問題是近期高考命題的重點和熱點內(nèi)容，是幫助高校選拔優(yōu)秀人才的有效把關(guān)試題.

因此，高三復(fù)習(xí)首先一定要全面，對考試大綱出現(xiàn)的知識點都要面面俱到，不可偏廢.在此基礎(chǔ)之上，教師要依據(jù)統(tǒng)計出近十年全國卷?？純?nèi)容和題型種類，對這些內(nèi)容要針對性的訓(xùn)練，避免“眉毛胡子一把抓”平均使勁，在全面復(fù)習(xí)的基礎(chǔ)之上，盡可能達到與高考題型的一致.

（二）立足教材，注重基礎(chǔ)與拓展

從前面的試卷分析可以看出來，整套試卷基礎(chǔ)題居多，而且有很多題目都是來自課本原題的變形，還進行了拓展與創(chuàng)新.所以我們在進行高三復(fù)習(xí)的時候一定要以課本為本，不能過度地依賴輔導(dǎo)資料.在對高中學(xué)校進行視導(dǎo)時發(fā)現(xiàn)，有不少學(xué)校的老師在進行一輪復(fù)習(xí)時從頭到尾都是一本輔導(dǎo)資料，上課時對照資料上的內(nèi)容照本宣科，沒有一點自己對高考復(fù)習(xí)的思考和想法，這樣本末倒置的復(fù)習(xí)，一定低效.我們知道教材是知識的載體，是課標(biāo)的邏輯呈現(xiàn)，是數(shù)學(xué)試卷命制的原材料、重要來源.高考試題“源于教材高于教材”是減輕學(xué)生負擔(dān)又達到提高研究能力的重要策略.因此在進行高考復(fù)習(xí)時要回歸教材，用好教材，關(guān)注教材中基礎(chǔ)知識，不能放過每一個細節(jié).同時，對課本中的典型例題和習(xí)題要進行變式和拓展，開闊學(xué)生的視野和思維，以高效適應(yīng)高考測量的考試要求.

（三）淡化技巧，倡導(dǎo)通性與通法

通過前面的試題分析可知，近三年的全國I卷試題幾乎都可以用常規(guī)方法即通性通法解決，并且新題不難、難題不怪.因此，在平時的復(fù)習(xí)中要多注重基本的解題方法，注重數(shù)學(xué)思想的滲透和一般解題方法的歸納總結(jié)，充分體會通性通法在解題中的作用，系統(tǒng)掌握知識間的內(nèi)在聯(lián)系，多采用具有典型思想方法的例題和習(xí)題，舍棄偏、難、怪的問題，淡化特殊技巧.特別摒棄對某一自己感興趣的問題，不顧學(xué)生認知水平，大玩解題技巧，展示自己多年來“研究成果”，似乎這樣才能夠體現(xiàn)老師的水平.要知道教師的教是為了促進和維持學(xué)生的學(xué)習(xí)，不是為了教而教，更不是為了展示教師的能力.

（四）培養(yǎng)思維，凸顯能力與創(chuàng)新

從近三年全國卷I理科的試卷，每年都在前幾年基礎(chǔ)上的繼承中有所創(chuàng)新.特別是2015年的第16題和2016年的第11題，都給我們教師和學(xué)生“眼睛一亮”的感覺，倍感命題專家的智慧.而思維能力貫穿在任何學(xué)習(xí)和考試的每一環(huán)節(jié)，創(chuàng)新問題的解決對學(xué)生的思維和綜合素養(yǎng)要求更高.因此，高三復(fù)習(xí)中要突出學(xué)生的思維訓(xùn)練，培養(yǎng)創(chuàng)新意識.不能讓學(xué)生在“茫茫題?！敝小半S波逐流”，這純屬“體力”的訓(xùn)練，無疑對學(xué)生“腦力”鍛煉有百害而無一利.高三復(fù)習(xí)尋找知識之間聯(lián)系，形成學(xué)生自己的認知結(jié)構(gòu)，并使得學(xué)生認知結(jié)構(gòu)具有開放性；典型問題的解決和拓展，對學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)思維、數(shù)學(xué)解題和創(chuàng)新意識都有極高的要求，這都為學(xué)生在高考中需要極高思維能力和創(chuàng)新意識問題的解決，奠定良好基礎(chǔ)和保證的有力措施.

總之，唯有仔細研讀考綱、歸納真題和分析走向，才能把控高考復(fù)習(xí)的內(nèi)容和方法，使我們的高三復(fù)習(xí)務(wù)實和高效，以期最終達到“教學(xué)與評價”的統(tǒng)一！