☉江蘇省興化中學(xué) 張乃貴

春來(lái)江水綠如藍(lán) 似曾相識(shí)燕歸來(lái)*
——2016年高考江蘇數(shù)學(xué)試題評(píng)析及教學(xué)啟示

☉江蘇省興化中學(xué) 張乃貴

2016年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷難度適中，貼近中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)際，既考查中學(xué)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)和方法，又考查考生進(jìn)入高等學(xué)校繼續(xù)學(xué)習(xí)所必須的基本能力.試卷遵循了“多設(shè)問(wèn)、緩梯度、有效增設(shè)難度”的命題思路.試題起點(diǎn)低、入口寬、區(qū)分度好，既給各個(gè)能力層次的學(xué)生提供充分發(fā)揮的空間，又有效區(qū)分學(xué)生的思維水平和數(shù)學(xué)素養(yǎng).今年的試題和往年的試題有著許多一脈相承之處，延續(xù)了近幾年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷的風(fēng)格，平穩(wěn)中有變化，平和有創(chuàng)新.

一、試卷的整體統(tǒng)計(jì)分析

題號(hào) 知識(shí) 思想方法 技能、能力1 交集運(yùn)算 集合 運(yùn)算求解2 復(fù)數(shù)的運(yùn)算、實(shí)部 轉(zhuǎn)化與化歸 運(yùn)算求解3 雙曲線的方程、焦距 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解4 方差的計(jì)算 統(tǒng)計(jì) 運(yùn)算求解

13 平面向量的數(shù)量積 函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸分析和解決問(wèn)題14 兩角和的正弦、正切公式、基本不等式轉(zhuǎn)化與化歸思想、相等與不等的轉(zhuǎn)化分析和解決問(wèn)題15正（余）弦定理、同角三角函數(shù)關(guān)系與兩角和的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解16直線與直線、直線與平面及平面與平面的位置關(guān)系三種語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化空間想象和推理論證17 函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、棱柱和棱錐的體積函數(shù)與方程空間想象和運(yùn)用數(shù)學(xué)模型及數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決實(shí)際問(wèn)題18直線方程、圓的方程、直線與直線、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系、平面向量的運(yùn)算數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸分析問(wèn)題及運(yùn)算求解19指數(shù)函數(shù)、基本不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的單調(diào)性及零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、反證法綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問(wèn)題以及邏輯推理5 函數(shù)的定義域、解一元二次不等式 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解6流程圖 列舉 運(yùn)算求解7 古典概型 從反面考慮問(wèn)題、列舉 運(yùn)算求解8 等差數(shù)列 轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程 運(yùn)算求解9 正弦、余弦三角函數(shù) 數(shù)形結(jié)合 作圖、運(yùn)算求解10 橢圓的方程、焦點(diǎn)、離心率的求法轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程 運(yùn)算求解11 函數(shù)的周期性、分段函數(shù)、對(duì)應(yīng)法則 分類討論 運(yùn)算求解12 線性規(guī)劃的可行域、x2+y2的幾何含義 數(shù)形結(jié)合 作圖

21（C）直線和橢圓的參數(shù)方程、參數(shù)方程與普通方程的互化，以及直線與橢圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解21（D）含絕對(duì)值的不等式的證明 轉(zhuǎn)化與化歸 推理論證22直線和拋物線的方程、直線與拋物線的位置關(guān)系數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解能力及推理論證23 考查組合數(shù)及其性質(zhì) 數(shù)形結(jié)合 運(yùn)算求解能力和推理論證20 等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、求和公式、極端原理 放縮轉(zhuǎn)化代數(shù)推理、轉(zhuǎn)化與化歸及綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)探究與解決問(wèn)題21（A） 相似三角形 數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)化 推理論證21（B）逆矩陣、矩陣的乘法 變換 運(yùn)算求解

從統(tǒng)計(jì)結(jié)果可以看出，試卷的主要特點(diǎn)是：（1）重視基礎(chǔ)知識(shí)考查；（2）注重思想方法考查；（3）凸顯思維能力考查；（4）平穩(wěn)中有變化.下面就這四個(gè)特點(diǎn)加以具體評(píng)析.

二、重視基礎(chǔ)知識(shí)考查，突出核心知識(shí)

試卷中不少試題來(lái)源于對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)行適當(dāng)?shù)母木帯⒓藿?、重組，讓人覺(jué)得似曾相識(shí)，考查基本概念、基本公式和基本運(yùn)算，如填空題中第1～12題，解答題中第15與16題，附加題中第21題和第22題.填空題第1～9題，僅需簡(jiǎn)單計(jì)算即可求解，甚至不少題無(wú)需動(dòng)筆，仔細(xì)觀察就能得到答案，對(duì)支撐高中數(shù)學(xué)課程中的核心知識(shí)進(jìn)行了重點(diǎn)考查，如函數(shù)、三角函數(shù)、數(shù)列、導(dǎo)數(shù)、平面向量、直線與圓、立體幾何.8個(gè)C級(jí)知識(shí)點(diǎn)都進(jìn)行了考查.

三、注重思想方法考查，突出通性通法

由于數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)的靈魂，試卷著重考查：（1）函數(shù)與方程思想，如第8、10、13、17、18題；（2）轉(zhuǎn)化與化歸思想，如第8、13、14、18、19題；（3）數(shù)形結(jié)合思想，如第5、9、12、18題，（4）分類討論的思想，如第11、19、20題.

試卷突出通性通法考查，淡化特殊技巧，如第6、7題考查了列舉法，第19題考查了分離變量法、換元法和反證法，第20題考查了放縮法.

四、凸顯思維能力考查，突出創(chuàng)新意識(shí)

今年的試題，在考查基礎(chǔ)知識(shí)和通性通法的同時(shí)，對(duì)學(xué)生的能力有較高要求，很多試題在“能力立意”方面做足了文章，著力考查學(xué)生的思維能力、數(shù)學(xué)素養(yǎng)、數(shù)學(xué)潛能、應(yīng)用意識(shí)和創(chuàng)新意識(shí).設(shè)置應(yīng)用性和探究性試題，考查學(xué)生的知識(shí)遷移能力和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力.

如第18、19、20題各有3問(wèn)，在難度的設(shè)置上，入口寬，深入難，各個(gè)小題的難度逐漸遞增，第（1）、（2）問(wèn)大多學(xué)生可以解決，考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，第（3）問(wèn)對(duì)學(xué)生的能力要求較高，為綜合能力較強(qiáng)的優(yōu)秀學(xué)生提供創(chuàng)造性解決問(wèn)題的空間，考查學(xué)生創(chuàng)造性解決問(wèn)題的能力，確保試卷的區(qū)分度，從而選拔優(yōu)秀人才.

試題注重解法的多樣性和不同解法效率的差異性.大多數(shù)試題入口寬、方法多，不同思維層次的學(xué)生可以選擇不同的方法來(lái)解決，所花費(fèi)的時(shí)間也不相同，以此來(lái)甄別他們的思維，考查思維變通性、靈活性、深刻性.

如第7題正面的情形比較多，宜從反面思考；第9題既可以畫(huà)函數(shù)的圖像，又可以解簡(jiǎn)單的三角方程；第10題對(duì)條件∠BFC=90°的轉(zhuǎn)化，可以用勾股定理（對(duì)焦點(diǎn)F聯(lián)想，根據(jù)對(duì)稱性利用焦半徑公式），也可以用斜率的乘積為-1，或者用數(shù)量積為0，還可以用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，來(lái)建立求離心率的方程；第13題可以建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)法來(lái)解決，也可以利用極化恒等式a·b=［（a+b）2-（a-b）2］，關(guān)鍵是尋找已知與所求之間的關(guān)系，設(shè)出中間變量來(lái)聯(lián)系已知與未知；第14題是向量最值問(wèn)題，題中涉及3個(gè)變量、兩種三角函數(shù).解決問(wèn)題的基本思路是運(yùn)用化歸思想，設(shè)法減少變量，統(tǒng)一函數(shù)名稱，再利用基本不等式或?qū)?shù).也可以根據(jù)課本中的結(jié)論，在斜三角形中tanA+tanB+tanC= tanAtanBtanC加速解決問(wèn)題.

五、平穩(wěn)中有變化，平和中有創(chuàng)新

盡管每年高考試題呈現(xiàn)的形式總在變化之中，但背后的思想方法是不變的.

如第13題是平面向量的多個(gè)數(shù)量積問(wèn)題，與2012年第9題、2014年第12題相似，是江蘇的特色試題.

第13、14題敘述簡(jiǎn)潔，與2015年相比較難度有所下降，解答時(shí)無(wú)需巧思，只要熟練運(yùn)用常規(guī)方法即可求解，運(yùn)算也不十分復(fù)雜.

第18題是直線與圓的解析幾何問(wèn)題，沒(méi)有沿襲2014、2015年繼續(xù)考橢圓，試題運(yùn)算量得到有效控制，留給考生較充分的思考問(wèn)題時(shí)間.第（3）問(wèn)設(shè)點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），將向量式，轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)的等式，由點(diǎn)P、Q都在已知的圓上，得到兩個(gè)方程，統(tǒng)一變量，利用兩個(gè)圓的位置關(guān)系來(lái)解決問(wèn)題，這和2013年第17題所用的方法完全相同，考查了解析幾何的精髓用坐標(biāo)法解決問(wèn)題，以及由數(shù)（方程）想形、見(jiàn)形思數(shù)的思維習(xí)慣.

第19題是指數(shù)函數(shù)為背景的函數(shù)綜合題，第（1）問(wèn)中的第①小問(wèn)，暗示了第（2）問(wèn)中的結(jié)論ab=1，用導(dǎo)數(shù)結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理來(lái)證明，這和2013年第20題類似.

第20題是以數(shù)列為背景的新定義型問(wèn)題，考查學(xué)生的閱讀理解能力，題目做足了鋪墊，第（2）問(wèn)不但為解決第（3）問(wèn)提供了結(jié)論，也暗示了解決的方法.此題和2014年第20題類似，都是新定義型數(shù)列題，都是數(shù)列的前n項(xiàng)和為Sn與數(shù)列的項(xiàng)an之間的轉(zhuǎn)化.體現(xiàn)化繁為簡(jiǎn)，突出數(shù)學(xué)本質(zhì)和數(shù)學(xué)研究的方法.現(xiàn)給出第（3）問(wèn)不同于標(biāo)準(zhǔn)答案的另一種解法.

本研究以海南11家高星級(jí)酒店為研究對(duì)象，從酒店經(jīng)營(yíng)者的角度出發(fā)，探討社交媒體營(yíng)銷對(duì)高星級(jí)酒店的影響。根據(jù)采訪數(shù)據(jù)顯示，酒店經(jīng)營(yíng)者普遍認(rèn)為社交媒體的出現(xiàn)和發(fā)展是互聯(lián)網(wǎng)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的必然產(chǎn)物，將社交媒體納入到酒店?duì)I銷體系里能為酒店的經(jīng)營(yíng)帶來(lái)極大的好處。大多數(shù)受訪者認(rèn)為社交媒體平臺(tái)在酒店和消費(fèi)者之間創(chuàng)造了一種紐帶關(guān)系。而這種紐帶關(guān)系又為將來(lái)的購(gòu)買關(guān)系打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。如果紐帶關(guān)系和購(gòu)買關(guān)系能夠一直保持良性循環(huán)，那么酒店顧客將有可能成為“意見(jiàn)領(lǐng)袖”，自愿為酒店代言，幫助酒店銷售其產(chǎn)品。

設(shè)A=C∩CUD，B=D∩CUC，則A∩B=?，SC=SA+SC∩D，SD=SB+SC∩D，SC+SC∩D-2SD=SA-2SB，所以，要證明SC+SC∩D≥2SD，即要證明SA≥2SB.

因?yàn)镾C≥SD，所以SA≥SB.

①若B=?，則SB=0，所以SA≥2SB.

②若B≠?，由SA≥SB，可知A≠?，設(shè)A中最大元素為k，B中最大元素為l，

若l≥k+1，則由第（2）問(wèn)的結(jié)論知SA＜ak+1≤al≤SB，矛盾.所以l＜k+1，即l≤k.

因?yàn)锳∩B=?，所以k≠l，所以k≥l+1.

所以SB≤a1+a2+…+al=1+3+32+…+3l-1=≤≤，即S＞2S.AB

綜上所述，SA≥2SB，因此SC+SC∩D≥2SD.

2016年江蘇高考試題和2013、2014年有諸多相似之處，不考“偏、怪、繁、難”的題目.既重視基礎(chǔ)知識(shí)的考查，又凸顯數(shù)學(xué)思想、思維能力的考查；既有利于中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的改革，又有利于選拔人才，發(fā)揮了正確的導(dǎo)向作用.

六、教學(xué)啟示

1.回歸課本，夯實(shí)基礎(chǔ)

由于不少高考試題是由課本中的題目改編而來(lái)，考查基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想，因此復(fù)習(xí)中要回歸課本.對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的復(fù)習(xí)不是簡(jiǎn)單的記憶和機(jī)械的訓(xùn)練，要強(qiáng)調(diào)基礎(chǔ)知識(shí)的發(fā)生和發(fā)展過(guò)程，對(duì)于基礎(chǔ)知識(shí)不能滿足于教師講清楚，更重要的是激勵(lì)學(xué)生主動(dòng)參與知識(shí)的構(gòu)建過(guò)程，在過(guò)程中積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).引導(dǎo)學(xué)生在掌握基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí)，充分挖掘基本概念、公式、原理、定理等背后隱藏的思想方法，領(lǐng)悟知識(shí)之間內(nèi)在的聯(lián)系，洞察數(shù)學(xué)本質(zhì).努力處理好高考題與課本題、難題與容易題之間的辯證關(guān)系，采用變式教學(xué)充分揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，難題的講解要幫助學(xué)生搭建好思路的框架，將難題分解成若干個(gè)容易題和課本中的知識(shí)點(diǎn)，讓學(xué)生明白難題的解決離不開(kāi)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，用數(shù)學(xué)思想方法來(lái)鏈接難題與容易題，將容易題發(fā)展成難題.

培養(yǎng)學(xué)生用基本概念和基本思想方法思考問(wèn)題良好的解題習(xí)慣.仔細(xì)閱讀題目，根據(jù)題目中的條件展開(kāi)豐富的聯(lián)想，擬定解題計(jì)劃，形成解決問(wèn)題的策略，實(shí)現(xiàn)解題計(jì)劃，讓學(xué)生學(xué)會(huì)解題時(shí)需謀定而后動(dòng)，培養(yǎng)解題的方向感和目標(biāo)感.解題后，進(jìn)行反思，對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)深入探求，對(duì)不同的方法比較歸納，對(duì)問(wèn)題引申拓展.

2.研讀考綱，明確方向

認(rèn)真研究《考試說(shuō)明》和往年的高考試題.通過(guò)研究明確高考數(shù)學(xué)命題的方向，明確知識(shí)要求、能力要求.將高考中要考查的內(nèi)容逐一列出，制定詳細(xì)的復(fù)習(xí)計(jì)劃，做到循序漸進(jìn)、螺旋上升，突出重點(diǎn)，分散難點(diǎn).

在復(fù)習(xí)時(shí)，既要做到全面復(fù)習(xí)，又要突出重點(diǎn)內(nèi)容.如附加題的第22題?？碱}型是拋物線、離散型隨機(jī)變量及其分布和空間向量與立體幾何，這些內(nèi)容都必須復(fù)習(xí).對(duì)于重點(diǎn)內(nèi)容分小專題逐個(gè)突破.小專題教學(xué)在數(shù)學(xué)思想方法統(tǒng)領(lǐng)下，在大的觀念指引下，開(kāi)展變式教學(xué)，著力幫助學(xué)生建構(gòu)完整的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)，發(fā)展學(xué)生的變通能力，達(dá)到融會(huì)貫通.每一個(gè)小專題的教學(xué)力求解決一類重點(diǎn)、熱點(diǎn)、難點(diǎn)問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)系統(tǒng)的梳理過(guò)程，歸納、概括的過(guò)程，聚焦問(wèn)題、解決問(wèn)題的過(guò)程.通過(guò)小專題教學(xué)讓學(xué)生學(xué)會(huì)透過(guò)問(wèn)題表象看清問(wèn)題本質(zhì)，研究問(wèn)題的深層結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)深層相似，提升分析問(wèn)題與解決問(wèn)題的能力，注重用普遍聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)看問(wèn)題，既見(jiàn)樹(shù)木更見(jiàn)森林.用同一種方法解決更多的問(wèn)題，實(shí)現(xiàn)更廣泛的遷移.把抽象、概括的知識(shí)和方法運(yùn)用到具體的問(wèn)題情境之中，從具體的問(wèn)題情境中抽象、概括出知識(shí)、方法和解決問(wèn)題的策略，通過(guò)具體與抽象多次的來(lái)來(lái)往往，實(shí)現(xiàn)從抽象到具體，從具體到抽象，螺旋上升，形成數(shù)學(xué)活動(dòng)的經(jīng)驗(yàn).同時(shí)重視一題多解，注意比較各種解法的優(yōu)劣，弄明白哪種方法是解決這個(gè)問(wèn)題的最佳方法，在比較中實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，發(fā)展思維的深刻性.

3.規(guī)范答題，嚴(yán)謹(jǐn)表達(dá)

表達(dá)與交流是最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，書(shū)面表達(dá)是把自己的思維成果寫(xiě)出來(lái)與他人分享與交流，這種表達(dá)要符合數(shù)學(xué)表達(dá)的規(guī)范.

（1）引入新的變量（字母）時(shí)要交待其指代.如在解答今年高考實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題第17題時(shí)，設(shè)出變量（字母）要指明變量的含義，同時(shí)要寫(xiě)出變量的取值范圍（函數(shù)的定義域），求出的值還要注明單位，最后作答.

（2）解答題的推理依據(jù)是課本中出現(xiàn)的基本概念、公理、原理、定義、定理，所以務(wù)必要記清這些基本知識(shí).如在解答今年高考立體幾何題（第16題）時(shí)，題目中條件“直三棱柱ABC-A1B1C1中”涉及直三棱柱的定義（側(cè)棱與底面垂直的棱柱是直棱柱），因此，依據(jù)定義不能直接推出側(cè)面與底面垂直或側(cè)棱與底面三角形的邊垂直.

（3）使用課本中定理要具體寫(xiě)出其適用的條件.如在解答今年高考立體幾何題（第16題）第（1）問(wèn)時(shí)，使用直線與平面平行的判定定理，要具體寫(xiě)出定理使用的三個(gè)條件：①證明線線平行，②寫(xiě)出一條線在平面外，③寫(xiě)出另一條線在平面內(nèi).

再如解答今年高考函數(shù)綜合題（第19題）第（2）問(wèn)時(shí)，使用函數(shù)零點(diǎn)存在定理，要具體寫(xiě)出定理使用的三個(gè)條件：①證明存在閉區(qū)間端點(diǎn)值；②證明在閉區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值異號(hào)；③寫(xiě)出函數(shù)在這個(gè)閉區(qū)間上圖像是連續(xù)不斷的.

（4）數(shù)學(xué)的運(yùn)算往往表現(xiàn)為數(shù)學(xué)推理，推理要有依據(jù)，要養(yǎng)成言必有據(jù)理性的嚴(yán)密的思維習(xí)慣.如解答15題時(shí)，利用同角三角函數(shù)關(guān)系涉及開(kāi)平方運(yùn)算，對(duì)正負(fù)要進(jìn)行取舍，這就必須研究角的取值范圍，角的取值范圍是運(yùn)算結(jié)果正負(fù)取舍的依據(jù).

引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)近幾年官方公布的高考數(shù)學(xué)參考答案，領(lǐng)悟規(guī)范表達(dá)的要求.教師要身體力行，規(guī)范解題.多讓學(xué)生板演解題過(guò)程，并按評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行集體評(píng)判，有效強(qiáng)化學(xué)生答題的自我規(guī)范意識(shí)、自我監(jiān)控意識(shí).平時(shí)訓(xùn)練中要培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度，善于關(guān)注學(xué)習(xí)細(xì)節(jié)，學(xué)會(huì)準(zhǔn)確表述數(shù)學(xué)概念、原理，規(guī)范書(shū)寫(xiě)算法、數(shù)學(xué)符號(hào)、推理等.好的想法依賴規(guī)范表達(dá)，規(guī)范意識(shí)缺失直接導(dǎo)致失分，所以要重視培養(yǎng)學(xué)生解題的規(guī)范意識(shí).

*本文系江蘇省教育科學(xué)“十二五”規(guī)劃重點(diǎn)課題“高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實(shí)踐研究”（B-a/2013/02/033）的研究成果之一.