陜西師范大學(xué)附屬中學(xué)　程自順

背景熟悉,方法常規(guī),突出考查能力
---2015年陜西中考數(shù)學(xué)第25題評(píng)析

一、題目呈現(xiàn)

如圖,在每一個(gè)四邊形ABCD中,均有AD∥BC, CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12.

(1)如圖1,點(diǎn)M是四邊形ABCD的邊AD上一點(diǎn),則△BMC的面積為_(kāi)_______.

(2)如圖2,點(diǎn)N是四邊形ABCD的邊AD上任意一點(diǎn),請(qǐng)你求出△BNC的周長(zhǎng)的最小值.

圖1

圖3

(3)如圖3,在四邊形ABCD的邊AD上,是否存在一點(diǎn)P,使得cos∠BPC的值最小?若存在,求出此時(shí)cos∠BPC的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

二、解法評(píng)析

1.關(guān)于第一問(wèn)

求△BMC的面積,由于BC=12,故只需求出BC邊上的高(即平行線AD與BC之間的距離),比如CD的長(zhǎng),作出梯形的常用輔助線都可以解決,如圖4(作高)、5(平移一腰)、6(補(bǔ)成矩形)、7(延長(zhǎng)兩腰)所示,借助含30°角的直角三角形三邊之間的關(guān)系計(jì)算出高為4姨搖3,進(jìn)而得到所求面積為24姨搖3,涉及特殊三角形、特殊平行四邊形(矩形)等數(shù)學(xué)知識(shí).由于只是填空,不需要寫(xiě)分析、思考和計(jì)算的過(guò)程,故節(jié)約了考生在此問(wèn)的作答時(shí)間,為解決后續(xù)問(wèn)題提供時(shí)間保障.總體來(lái)看,該問(wèn)起點(diǎn)低,入口寬,方法多樣,絕大部分學(xué)生都能獲得成功,為解決后續(xù)問(wèn)題增添了信心!

圖4

圖5

圖6

圖7

2.關(guān)于第二問(wèn)

求△BNC的周長(zhǎng)的最小值,由于BC=12,故只需求出NB+NC的最小值,問(wèn)題轉(zhuǎn)化成"已知B、C是直線AD外的定點(diǎn),N是直線AD上的動(dòng)點(diǎn),求NB+NC的最小值",即為課本上出現(xiàn)過(guò)、學(xué)生很熟悉的將軍飲馬問(wèn)題:

圖8

如圖8,延長(zhǎng)CD至C′,使得DC′= DC,連接NC′,連接C′B交AD于點(diǎn)N′,連接N′C,則NB+NC=NB+NC′≥C′B=N′B+N′C′=N′B+N′C,所以△BNC的周長(zhǎng)的最小值為BC+C′B=

因?yàn)镈是C′C的中點(diǎn),且N′D∥BC,所以N′是C′B的中點(diǎn)從而N′C=N′B,即△BNC的周長(zhǎng)最小時(shí)△BNC為等腰三角形(△BN′C).由第一問(wèn)知:當(dāng)點(diǎn)N在邊AD上運(yùn)動(dòng)時(shí),△BNC的面積不變,故第二問(wèn)反映了一個(gè)事實(shí)"在一切同底邊并且面積相等的三角形中,以等腰三角形的周長(zhǎng)最短."(參考《初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的平面幾何》(周春荔編著)第257頁(yè)例4),即第二問(wèn)有等周問(wèn)題的背景.

將軍飲馬問(wèn)題是中考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn),大都以正方形、菱形、圓、平面直角坐標(biāo)系等為背景,也是學(xué)生平時(shí)練習(xí)中接觸的高頻題目,對(duì)大部分考生而言,該問(wèn)情境雖新,題意及解法卻并不陌生,可以很好地考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的理解能力和對(duì)數(shù)學(xué)方法的遷移能力.第二問(wèn)設(shè)問(wèn)簡(jiǎn)潔、清新,根植于課本,有數(shù)學(xué)模型可依,有解題方法可尋,難度中等,中等程度及以上的考生即可獲得滿分,有一定的區(qū)分度.

3.關(guān)于第三問(wèn)

在初中,只學(xué)習(xí)銳角的三角函數(shù),故看到第三問(wèn),首先提出的問(wèn)題是:對(duì)于邊AD上的任意點(diǎn)P,∠BPC都是銳角嗎?事實(shí)上,由于4>6,故以BC為直徑的圓O與AD相離,如圖9,則∠BPC<∠BQC=90°.

關(guān)于"是否存在"的回答,可以先計(jì)算出三個(gè)特殊位置處cos∠BPC的值.如圖10,當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí),;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重

2XACXBK=S△ABC得,從而cos∠BPC=

進(jìn)而AK=

;當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)N′重合時(shí),同理可求出cos∠BPC=cos∠BN′C=.顯然,最后一種情況時(shí)

cos∠BPC的值最小.

圖9

圖10

圖11

回頭來(lái)看,點(diǎn)N′其實(shí)非常特殊,它是BC的中垂線與AD的交點(diǎn),如圖11,將四邊形ABCD補(bǔ)成矩形EBCD,從對(duì)稱來(lái)看,只需考慮點(diǎn)P在N′D上的情況,由計(jì)算有cos∠BN′C∠BPC.

如圖12,作出△BN′C的外接圓,由O′N′⊥AD知其與AD相切,當(dāng)邊AD上的點(diǎn)P與點(diǎn)N′不重合時(shí),點(diǎn)P都在圓外,有∠BN′C>∠BPC.

此時(shí),還可以換個(gè)角度來(lái)計(jì)算.

方法2:cos∠BN′C=cos2∠BN′O=2cos2∠BN′O-1=2X

圖12

圖13

圖14

第三問(wèn)"道是無(wú)圓卻有圓",涉及"先猜后證"的思想、幾何直觀(直覺(jué))的能力和探索性思維,是全卷最具選拔性的地方,難度較大,考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法的融會(huì)貫通程度和解決問(wèn)題的創(chuàng)新意識(shí),對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)、方法、思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力要求較高,具有明顯的區(qū)分度.

從教師進(jìn)行研究的角度,不囿于初中的數(shù)學(xué)知識(shí),還有如下思路.

解法1:由正弦定理有BC sin∠BP C=2R,如圖13,當(dāng)△BPC的外接圓的半徑R最小即其與AD相切時(shí), sin∠BPC的值最大,∠BPC最大,cos∠BPC的值最小,計(jì)算略.

解法2:如圖14,設(shè)N′P=a,由余弦定理,得cos∠BPC=.顯然,當(dāng)a=0時(shí)(P與N′重合),cos∠BPC取得最小值

解法3:由面積公式有S△BPC=XPBXPCXsin∠BPC,

而面積為定值,所以若∠BPC最大,只需要sin∠BPC的值最大,就需要PBXPC的值最小,由解法2得PBXPC=顯然,當(dāng)a=0時(shí)(P與N′重合),PBXPC的值最小,計(jì)算略.

解法4:如圖15,B(0,0)、C(12,0),設(shè)P(a,4),其中4≤a≤12.

圖15

圖16

三、思考

第25題以(直角)梯形為載體,研究夾在平行線之間的一邊固定的三角形的面積、周長(zhǎng)和張角問(wèn)題,涉及三角形、四邊形、圓、勾股定理、三角函數(shù)、一元二次方程等眾多數(shù)學(xué)知識(shí),三個(gè)小問(wèn)一氣呵成,前后關(guān)聯(lián).更一般的情況是,如圖16,已知AD∥BC,P為AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),有△BPC,明顯地,以線段BC的中垂線l為對(duì)稱軸,即在點(diǎn)N′兩側(cè),存在一對(duì)以BC為公共邊的全等三角形,故只需考慮l一側(cè)的情況,由于"平行線之間的距離處處相等",故△BPC的面積不變(變化中的不變);直觀地可以看到,當(dāng)點(diǎn)P從"遠(yuǎn)方"向點(diǎn)N′移動(dòng)時(shí),△BPC的周長(zhǎng)在減小,∠BPC在增大,至點(diǎn)N′處(與點(diǎn)N′重合),△BPC的周長(zhǎng)最短,∠BPC最大.退到問(wèn)題的全貌,有助于整體把握、分析、探索、解決問(wèn)題,正如華羅庚先生所說(shuō),解題時(shí)先足夠地退,退到我們最易看清楚問(wèn)題的地方,認(rèn)透了,鉆深了,然后上去,善于"退",足夠地"退",退到原始而不失去重要性的地方,這是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)訣竅.

本題體現(xiàn)了能力立意的命題思路,背景是熟悉的,要解決的問(wèn)題是清楚的,求面積(等積變換)、求周長(zhǎng)(線段和的最小值)、求最大張角(角的大小比較)分別在課本上都能找到模型和方法,依次為平行線之間的距離、將軍飲馬問(wèn)題、與圓周角相關(guān)的角的大小比較,因此解決方法也是常規(guī)的;問(wèn)題設(shè)計(jì)時(shí),由易到難,由定量到定性,從定值到最值,從確定性問(wèn)題到探索性問(wèn)題,層層遞進(jìn),學(xué)生對(duì)問(wèn)題的解決也相當(dāng)于完整地經(jīng)歷了問(wèn)題提出、發(fā)現(xiàn)、分析與解決的研究過(guò)程,對(duì)學(xué)生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決新問(wèn)題的能力,尤其是平時(shí)積累的基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的深度考查非常到位.在教學(xué)中,建議回歸課本,注重基礎(chǔ),加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)基本能力的訓(xùn)練,對(duì)基本問(wèn)題進(jìn)行深入探討,滲透數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與探究的方法,重視數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練和基本數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)的積累.

最后,筆者認(rèn)為,整個(gè)題目的敘述顯得臃腫,對(duì)邊AD上的點(diǎn)的交待有重復(fù),第三問(wèn)求cos∠BPC的最小值,不指明∠BPC是銳角有些別扭,指明∠BPC是銳角又少了些探索的味道且有方法提示的嫌疑,因此可以進(jìn)行適當(dāng)修改,使其更具數(shù)學(xué)味道.

如圖17,在四邊形ABCD中,AD∥BC,CD⊥BC,∠ABC=60°,AD=8,BC=12,點(diǎn)P是邊AD上的一點(diǎn).

圖17

(1)求△BPC的面積;

(2)求△BPC的周長(zhǎng)的最小值;

(3)求∠BPC最大時(shí)點(diǎn)P的位置.

1.周春荔.初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的平面幾何[M].北京:中國(guó)物資出版社,2004.

2.程自順.以不變應(yīng)萬(wàn)變,會(huì)轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵---2013年陜西中考數(shù)學(xué)第23題閱卷反饋[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下), 2014(3).