浙江省德清縣三合中心學(xué)?！∩驀?/p>

一道填空題的高零分率引發(fā)的思考的再思考

原題:如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為2,點(diǎn)A從點(diǎn)O開始沿x軸的正方向移動(dòng),點(diǎn)B在∠xOy的平分線上移動(dòng),則點(diǎn)C到原點(diǎn)O的最大距離是_________.

圖1

圖2

在文1中朱玉祥老師重點(diǎn)分析了該題的高零分率的原因,主要探究了該題的命題者是怎樣一步步賦予它如此高的難度.朱老師從該題的"源頭"梯子滑動(dòng)問題開始,到變換角度求△AOB的最大面積,再到求一個(gè)頂點(diǎn)與原點(diǎn)的最大距離,最后變換到A、B兩動(dòng)點(diǎn)放在銳角的兩邊上滑動(dòng),清晰地展現(xiàn)了該題是如何一步一步變化過來的,難度是如何一點(diǎn)點(diǎn)上升的.筆者閱讀之后受益匪淺,十分贊同朱老師的觀點(diǎn),作為一道填空題的壓軸題,學(xué)生如果沒有經(jīng)歷過這樣一個(gè)試題改編的過程,不借助"梯子"是很難一步跨越的.

文1中原題的答案如下所示.

如圖2,連接OC,交AB于E,當(dāng)OC⊥AB時(shí),OC有最大值(理由如題3).此時(shí)OC也平分AB,且∠ACE=30°.

設(shè)OA=OB=x,作BF⊥OA,垂足為F.

在Rt△BOF中,因?yàn)椤螧OF=45°,所以BF=OB.sin45° =xX.在Rt△AFB中,因?yàn)锳F2+BF2=AB2,所以

文1中的題3及其解題思路如下所示.

(2009.山東)如圖3,已知邊長(zhǎng)為a的正三角形ABC,兩頂點(diǎn)A、B分別在平面直角坐標(biāo)系的x軸、y軸的正半軸上滑動(dòng),點(diǎn)C在第一象限,連接OC,則OC的長(zhǎng)的最大值是_________.

圖3

連接OC,取AB的中點(diǎn)E,連接CE、OE,如圖3,顯然OC≤OE+CE,而OE與CE的和是個(gè)定量,所以當(dāng)A、B在滑動(dòng)中使OC經(jīng)過點(diǎn)E,也就是OC=OE+CE時(shí),OC的長(zhǎng)度最大.此時(shí),△AOB為等腰直角三角形(面積最大),所以,而△ABC是等邊三角形,AB=a,所以O(shè)C的最大值為

筆者閱讀完原題的答案及題3的解題過程后,對(duì)原題答案中的"當(dāng)OC⊥AB時(shí),OC有最大值(理由如題3)"這句話產(chǎn)生了幾點(diǎn)疑問.

疑問一:當(dāng)OC⊥AB時(shí),OC是否最大?

疑問二:"理由如題3",這樣說理學(xué)生能接受嗎?這兩道題是屬于本質(zhì)相同的問題嗎?

疑問三:有沒有更好的方法,有沒有能讓學(xué)生接受并可以理解的方法?

筆者對(duì)這三個(gè)疑問的思考如下所示.

對(duì)于疑問一,筆者好像無法根據(jù)題3的解題思路來證明,只能借助幾何畫板來證實(shí)當(dāng)OC⊥AB時(shí)OC確實(shí)最大(如圖4).

OC=4.07611厘米OC=4.13981厘米OC=4.09916厘米

圖4

對(duì)于疑問二,筆者認(rèn)為題3的說理過程學(xué)生能理解,也能接受,因?yàn)橐罁?jù)的是三角形三邊的關(guān)系,即三角形中兩邊之和大于第三邊,但是能否用此來作為原題中OC取得最大值的依據(jù),筆者認(rèn)為值得商榷.題3中OC≤OE+CE,且OE與CE都是定值,當(dāng)O、C、E三點(diǎn)共線時(shí)OC最大.而原題中(如圖5),OC≤OE+CE,但OE是個(gè)變量,為什么三點(diǎn)共線時(shí)OC最大呢?對(duì)于這點(diǎn),朱老師好像沒解釋清楚,只是說題3中OC取得最大值時(shí)△AOB為等腰直角三角形(面積最大),然后朱老師就認(rèn)為原題中OC取得最大值時(shí)△AOB也為等腰三角形.筆者認(rèn)為這樣說理不科學(xué),依據(jù)的是一種解題經(jīng)驗(yàn),而不是真正意義上說理的依據(jù).這里學(xué)生即便做過題3,且能找到OC最大時(shí)的位置,如果讓他馬上做原題,我相信絕大部分學(xué)生還是束手無策,即使能做對(duì)也是猜對(duì)了OC取得最大值時(shí)的位置,至于為什么此時(shí)OC最大他也說不清楚.

那么這兩道題的本質(zhì)是否相同?應(yīng)該說原題是題3的一個(gè)變式,題3是一種特殊情況,原題是一般情況,但是這種變式已經(jīng)改變了點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的軌跡,題3中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑是圓弧(如圖6),而原題中點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑則是橢圓(如圖7),雖然圓是橢圓的一種特殊情況,但是在這里當(dāng)OC取得最大值時(shí)用同樣的說理過程好像不夠嚴(yán)密.可能朱老師站的角度還要高,能一下子就洞察到這兩種情況的本質(zhì)是一樣的,但是我們又該如何面對(duì)我們的學(xué)生呢?接下來就是筆者對(duì)疑問三的思考.

圖5

圖6

圖7

題3是抓住了AB的中點(diǎn)E找到了解題的突破口,利用同樣的方法來解決原題則不行,既然兩道題是屬于本質(zhì)相同的題目,那么這兩題肯定有相通的地方.筆者注意到雖然原題做了適當(dāng)?shù)母木?但是也有相同的地方,即兩道題中AB的長(zhǎng)是定值,以及在邊AB運(yùn)動(dòng)的過程中其所對(duì)的角度也都一直沒變,這樣筆者就想到了可以通過構(gòu)造輔助圓來解決原題.因?yàn)槲覀冎?當(dāng)一個(gè)三角形的一邊長(zhǎng)不變,其所對(duì)角度也一定時(shí),這個(gè)三角形的外接圓的半徑是不變的.這樣解決原題就更簡(jiǎn)單了,如圖8,構(gòu)造△AOB的外接圓⊙H,因?yàn)閳A周角∠AOB=45°,所以圓心角∠AHB=90°.因?yàn)锳B=2,所以AH= BH=.連接CH交AB于E,進(jìn)一步可得CH⊥AB于E,所以EH=1,CE=,所以CH=1+.因?yàn)镺C≤OH+CH,而OH與CH的和是個(gè)定值,所以當(dāng)O、H、C三點(diǎn)共線時(shí),OC的長(zhǎng)度最大,即OC=OH+CH=1++.

圖8

對(duì)于這種方法,學(xué)生只要能理解⊙H的大小不變,后面的解題過程理解起來應(yīng)該沒問題.這種解法跟題3的解法是一樣的,這種方法才是這兩道題的通法,只不過題3中,點(diǎn)E和△AOB的外心是互相重合的,且點(diǎn)E又剛好是AB的中點(diǎn),由于思維的定勢(shì),做原題時(shí)學(xué)生也會(huì)先去找AB的中點(diǎn),由于OE的長(zhǎng)是變化的,所以就沒法往下做了,阻斷了學(xué)生的思路.題3中可以根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半確定OE的長(zhǎng)不變,沒有必要畫出輔助圓,所以做原題時(shí)學(xué)生沒有這方面的經(jīng)驗(yàn),也就想不到要構(gòu)造輔助圓,從而就不能像題3一樣將OC的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化成小于或等于兩條固定線段長(zhǎng)度之和,就找不到解決問題的突破口,正是由于這些原因,才真正導(dǎo)致原題這么高的零分率吧.根本原因是學(xué)生對(duì)于構(gòu)造輔助圓的問題不夠熟練,所以我們?cè)谄綍r(shí)教學(xué)中,還是應(yīng)該讓學(xué)生多關(guān)注一下這類題目,如下面的兩道很有新意的題目.

題目1:(2010.德清縣自主招生)今有一副三角板(如圖9),中間各有一個(gè)直徑為4cm的圓洞,現(xiàn)將三角板a的30°角的那一頭插入三角板b的圓洞內(nèi)(如圖10),則三角板a通過三角板b的圓洞的那一部分的最大面積為_________cm2.(不計(jì)三角板的厚度,精確到0.1cm2)

圖9

圖10

題目2:(2014.武漢模擬)如圖11,在⊙O中,弦AD等于半徑,B為優(yōu)弧AD上的一動(dòng)點(diǎn),等腰△ABC的底邊BC所在直線經(jīng)過點(diǎn)D.若⊙O的半徑等于1,則OC的長(zhǎng)不可能為().

圖11

總之,在教學(xué)中,我們要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光去審視問題、探究問題,高度把握數(shù)學(xué)題的本質(zhì).在學(xué)生認(rèn)知和技能的最近發(fā)展區(qū)的基礎(chǔ)上,通過變式、類比對(duì)習(xí)題進(jìn)行再研究,尋求問題的增長(zhǎng)點(diǎn),從而達(dá)到做一題、會(huì)一類、通一片.同時(shí)我們也要關(guān)注學(xué)生分析問題的思路,關(guān)注推理的嚴(yán)謹(jǐn)性,關(guān)注合理表述、規(guī)范書寫,從而提高教學(xué)的有效性及針對(duì)性.

1.朱玉祥.一道填空題的高零分率引發(fā)的思考[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考(中),2014(4).

2.朱松林.變式延伸從最近發(fā)展區(qū)開始[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下),2013(1).

3.楊紹平.貴有解題思路重在推理嚴(yán)謹(jǐn)---南京市2013年中考數(shù)學(xué)第25題評(píng)析[J].中學(xué)數(shù)學(xué)(下), 2013(9).