徐曉寧，王　瑾

(遼寧大學數(shù)學學院，遼寧 沈陽 110036)

?

Ω-型模李超代數(shù)的階化

徐曉寧，王瑾

(遼寧大學數(shù)學學院，遼寧 沈陽 110036)

證明了模李超代數(shù)Ω是Z-階化的李超代數(shù).利用Ω的Z-階化，確定了模李超代數(shù)Ω的極大子代數(shù)，證明了Ω0在Ω-1上的表示是不可約的.

模李超代數(shù)；階化；表示

1　Ω的定義

模李超代數(shù)的確定起步較晚，但也已經(jīng)取得了頗多成果.[1-7]文獻[8]利用截頭多項式代數(shù)與Grassmann超代數(shù)做張量積，得到了一篇有限維單模李超代數(shù)Ω，即Ω-型模李超代數(shù)，給出了其導(dǎo)子超代數(shù)，并證明了其與已知的Cartan型模李超代數(shù)都不同構(gòu).文獻[9-10]分別討論了有限維與無限維Ω-型模李超代數(shù)的濾過不變性.文獻[11]研究了Ω-型模李超代數(shù)的二階上同調(diào).文獻[12]討論了Ω-型模李超代數(shù)的偶部.文獻[13]確定了Ω-型模李超代數(shù)的偶部到奇部的具有負Z-次數(shù)的導(dǎo)子.文獻[14]確定了Ω-型模李超代數(shù)的結(jié)合型與限制性.文獻[15]研究了無限維Ω-型模李超代數(shù)的超導(dǎo)子代數(shù).

本文討論Ω-型模李超代數(shù)的階化.利用Z-階化，確定了Ω-型模李超代數(shù)的極大子代數(shù)及Ω0在Ω-1上表示的不可約性.

記N與N0分別是自然數(shù)集與非負整數(shù)集.設(shè)n∈N，r=2n+2，令μ1，…，μr-1∈F，且滿足μ1=0，μj+μn+j=1，j=2，…，n+1.置M={1，…，r-1}，s=r+q，T={r+1，…，s}.令si∈N0，i=1，…，r-1，定義截頭多項式代數(shù)

A=F[x10,x11,…,x1s1,…,xr-10,xr-11,…,xr-1sr-1，y1，…，ym]，

使得

Bk={〈i1,i2,…,ik〉|r+1≤i1

若2≤i≤n+1，則令i′=i+n與[i]=1；若n+2≤i≤r-1，則令i′=i-n與[i]=-1；若i∈T，則令i′=i與[i]=1.

2　Ω的Z-階化

命題2.1設(shè)i∈Z，令

證明對于任意的t，j∈Z，令xkyλξu∈Ωt，則

令xlyηξv∈Ωj，則

直接計算得

因為xk-e1xlyλ+ηξuξv的Z-次數(shù)為

所以xk-e1xlyλ+ηξuξv∈Ωt+j.類似地，

注意到

由于xk-eixl-ei′yλ+ηξuξv的Z-次數(shù)為

且xkxlyλ+ηDi(ξu)Di(ξv)的Z-次數(shù)也為

故

命題2.2設(shè)ρ：Ω0→pl(Ω-1)是Ω0在Ω-1上的表示，則ρ不可約.

證明設(shè)M是Ω-1的非零子模，且

設(shè)存在某個i使得fi(y)≠0，則

b=[a,xixi′]=[i]fi(y)xi∈M.

d=[x1,xih(y)]=α1(1-ui-λ1)xiyλ1+α2(1-ui-λ2)xiyλ2+…∈M，

從而

(ui′-λ1)xih(y)-d=α2(λ2-λ1)xiyλ2+…∈M，

其所含元素個數(shù)比xih(y)中所含元素個數(shù)少，矛盾.故M只含有一個元素xiyλ.對任意的η∈H，有

xiyλ=[i][xiyλ，xixi′yη-λ]∈M.

對于任意的η∈H，j∈M∪T，有

xjyη=[i][xiyη，xi′xj]∈M，ξjyη=[i][xiyη，xi′ξj]∈M.

所以M=Ω-1.結(jié)論得證.

若f0(y)=0，則b∈Ω-1.設(shè)f0(z)≠0，有：

[1]PETROGRADSKI V M.Identities in the enveloping algebras of modular Lie superalgebras[J].Algebra，1992，145：1-21.

[2]LEITES D.Towards classification of simple finite dimensional modular Lie superalgebras in characteristicp[J].Prime Res Math，2007，3：101-110.

[3]ZHANG Y Z.Finite-dimensional Lie superalgebra of Cartan type over fields of prime characteristic[J].Chin Sci Bull，1997，42：720-724.

[4]SHU B，ZHANG C.Restricted representations of Witt superalgebras[J].Algebra，2010，324：652-672.

[5]FU J Y，ZHANG Q C，JIANG C B.The Cartan-type modular Lie superalgebraKO[J].Comm Algebra，2006，34(1)：107-128.

[6]LIU W D，ZHANG Y Z，WANG X L.The derivation algebra of the Cartan-type Lie superalgebraHO[J].J Algebra，2004，273：176-205.

[7]張永正，劉文德.模李超代數(shù)[M].北京：科學出版社，2004，191：1-25.

[8]ZHANG Y Z，ZHANG Q C.Finite-dimensional modular Lie superalgebra Ω[J].J Algebra，2009，321：3601-3619.

[9]XU X N，CHEN L Y，ZHANG Y Z.On the modular Lie superalgebra Ω[J].J Pure Appl Algebra，2011，215：1093-1101.

[10]XU X N，MU B.Infinite-dimensional modular Lie superalgebra Ω[J/OL].Abstr Appl Anal，2013[2015-06-01].http：//dx.doi.org/10.1155/2013/923101.

[11]XU X N，LI X J.Second cohomology of the modular Lie superalgebra Ω[J].Hacet J Math Stat，2014，43(5)：787-799.

[13]徐曉寧，盧亞男.關(guān)于Ω-型模李超代數(shù)[J].數(shù)學雜志，2015，35(3)：643-655.

[14]徐曉寧，張朝鳳，張永正.模李超代數(shù)Ω的結(jié)合型與限制性[J].東北師大學報(自然科學版)，2009，41(1)：1-5.

[15]李明，徐曉寧.無限維模李超代數(shù)Ω的超導(dǎo)子代數(shù)[J].東北師大學報(自然科學版)，2014，46(3)：7-11.

(責任編輯：李亞軍)

The gradation of modular Lie superalgebra of Ω-type

XU Xiao-ning，WANG Jin

(School of Mathematics，Liaoning University，Shenyang 110036，China)

It is proved that modular Lie superalgebra Ω isZ-graded Lie superalgebra.By using theZ-graded of Ω，a maximal subalgebra of Ω is determined.And it is shown that the representation of Ω0on Ω-1is irreducible.

modular Lie superalgebras；gradation；representation

1000-1832(2016)03-0001-04

2015-06-01

國家自然科學基金資助項目(11371182，11501274)；遼寧大學申請國家預(yù)資助項目(2014LDGY01)；遼寧省教育廳科學研究項目(L2015203).

徐曉寧(1976—)，女，教授，主要從事李理論研究.

O 152.5[學科代碼]110·2130

A

[DOI]10.16163/j.cnki.22-1123/n.2016.03.001