魏延剛，呂晶晶，劉彥奎

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

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深溝球軸承的載荷分布

魏延剛，呂晶晶，劉彥奎

(大連交通大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，遼寧 大連 116028)*

根據(jù)滾動(dòng)軸承載荷分布理論，用傳統(tǒng)的連續(xù)函數(shù)模型計(jì)算法、離散方法模型計(jì)算法和有限元法對深溝球軸承的載荷分布進(jìn)行了計(jì)算，計(jì)算結(jié)果表明三種方法所求出的載荷分布規(guī)律相同，但計(jì)算精度不同，離散模型方法不僅計(jì)算精度最高，所給出的深溝球軸承的離散模型載荷分布計(jì)算程序，使得離散模型方法應(yīng)用最為方便.

深溝球軸承；離散模型；有限元；載荷分布

0　引言

滾動(dòng)軸承的載荷分布分析也是其力學(xué)特性分析的基礎(chǔ),如剛度、變形和承載能力、潤滑狀態(tài)、摩擦與溫升、預(yù)期壽命等滾動(dòng)軸承的一些主要性能，都是在進(jìn)行載荷分布分析的基礎(chǔ)上獲得的.因此滾動(dòng)軸承的載荷分布分析是確定軸承疲勞壽命和可靠性的關(guān)鍵因素.

滾動(dòng)軸承的載荷分布是指軸承在一定的載荷作用下，參與承載的滾動(dòng)體數(shù)目和各受載滾動(dòng)體所受載荷的大小，換句話說，也就是載荷在滾動(dòng)體之間是如何分配的.實(shí)際上，滾動(dòng)軸承的載荷分布不但與所受載荷的大小和方向、滾動(dòng)軸承的類型和幾何參數(shù)(滾動(dòng)體的數(shù)目等)有關(guān)，還與滾動(dòng)軸承的內(nèi)部間隙、滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈的變形有關(guān).

在靜載荷作用下傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承載荷分析是在剛性套圈假設(shè)條件下進(jìn)行的，并且不計(jì)摩擦力和滾動(dòng)體慣性力，只考慮軸承內(nèi)部間隙，滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間的接觸變形產(chǎn)生位移的影響(沒有考慮內(nèi)、外圈的整體變形的影響)，而且將滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈接觸的離散模型變換為連續(xù)模型，用載荷積分這個(gè)連續(xù)函數(shù)來表示滾動(dòng)軸承滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈接觸的位置間隙與變形的離散分布函數(shù)，為了方便應(yīng)用，將載荷積分(包括徑向載荷積分、軸向載荷積分和力矩載荷積分)制成表或圖供設(shè)計(jì)計(jì)算時(shí)使用.這種方法是經(jīng)典的滾動(dòng)軸承專著采用的方法，也是國際標(biāo)準(zhǔn)所使用的方法，也就是被公認(rèn)的方法[1-3].然而，經(jīng)典載荷分布分析這種方法也仍然存在不足.不足之一是，實(shí)際上完全剛性的套圈是不存在的，在靜載的作用下，內(nèi)外套圈會(huì)不可避免的產(chǎn)生位移和偏離圓形的變形.不足之二是，實(shí)際上滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間的接觸是離散的，不是連續(xù)的，因此，用載荷積分這種連續(xù)函數(shù)表達(dá)離散模型必然存在一定的誤差；不足之三是，實(shí)際上軸承的載荷來自軸或軸承座，軸或軸承座與軸承之間的載荷分布不是集中力，而是分布力，這種分布力必然導(dǎo)致軸承內(nèi)、外圈產(chǎn)生總體變形，內(nèi)外圈的總體變形對軸承的載荷分布必然會(huì)產(chǎn)生一定的影響.

本文擬針對上述靜載荷作用下傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承載荷分布計(jì)算的不足，一是用軸承載荷分布實(shí)際的離散模型計(jì)算軸承載荷分布，二是考慮內(nèi)、外圈總體變形對滾動(dòng)軸承載荷分布的影響，用有限元法對深溝球軸承的載荷分布進(jìn)行計(jì)算，并比較傳統(tǒng)的滾動(dòng)軸承載荷分布計(jì)算模型、實(shí)際的離散模型計(jì)算軸承載荷分布和有限元法這三種方法的結(jié)果，從而對深溝球軸承實(shí)際的設(shè)計(jì)計(jì)算提供參考.

1　離散模型載荷分布計(jì)算

1.1離散模型下載荷分布數(shù)學(xué)模型與編程

對于徑向載荷作用下的深溝球軸承，軸承外圈固定不動(dòng)，內(nèi)圈在徑向載荷的作用下向下移動(dòng)，產(chǎn)生徑向位移δr.以承載最大滾動(dòng)體為起點(diǎn)，在任意角度位置滾動(dòng)體的徑向位移為δψ，如圖1所示.

圖1　軸承套圈位移

由彈性力學(xué)理論可得任意角度位置ψ的滾動(dòng)體所承受的徑向載荷與最大承載滾動(dòng)體所承受的載荷的關(guān)系為

根據(jù)變形協(xié)調(diào)條件和靜力平衡關(guān)系可以求出軸承所承受的徑向載荷Fr與最大承載滾動(dòng)體所承受的載荷的關(guān)系為

式中，載荷分布系數(shù)

負(fù)荷區(qū)域角度范圍

徑向積分

又

所以

實(shí)際上滾動(dòng)體與內(nèi)、外圈之間的接觸是離散的，不是連續(xù)的，因此，用載荷積分這種連續(xù)函數(shù)表達(dá)離散模型必然存在一定的誤差.本文將應(yīng)用軸承載荷分布離散模型進(jìn)行計(jì)算，即對式直接進(jìn)行求解.

可應(yīng)用二分法(其流程圖如圖2所示)求出未知量δr，從而可求出

從而求出

圖2　二分法流程圖

為了方便計(jì)算，將深溝球軸承離散模型下的載荷分布編制VB程序，其程序框圖如圖3所示.

圖3　VB程序框圖

圖4　滾動(dòng)體編號(hào)

1.2兩種模型下軸承載荷分布算例與結(jié)果比較

以型號(hào)為209DGBB深溝球軸承為例，軸承的徑向載荷為Fr=8900N，軸承內(nèi)徑為45mm，外徑為85 mm,滾動(dòng)體數(shù)目9，滾動(dòng)體直徑12.7 mm，彈性模量207 000 N/mm2，泊松比0.3；分別用Qψc和Qψd表示連續(xù)模型和離散模型下的深溝球軸承各個(gè)滾動(dòng)體所承受的載荷，為了能夠更直觀的說明軸承載荷分布，將各個(gè)滾動(dòng)體編號(hào)，如圖4所示.

在不同徑向載荷Fr作用下，不同徑向間隙時(shí)，傳統(tǒng)方法和離散方法計(jì)算出的軸承的載荷分布分別在表1、表2中給出.表中列出了所有滾子的編號(hào)、與編號(hào)對應(yīng)的滾子的位置角ψi、滾子所承受的載荷Qψc和Qψd；表中最后兩行還給出了所有滾子所受載荷在軸承徑向力方向的和力∑Fr和∑Fr與軸承徑向力Fr的相對誤差.

從表1中不難發(fā)現(xiàn)，在徑向載荷Fr=4 450 N作用下，徑向間隙分別為0.015、0和-0.015時(shí)，兩種算法所得出的載荷分布規(guī)律一致，但受載滾子所受載荷在數(shù)值上有所不同.當(dāng)徑向間隙為0.015時(shí)，只有3 個(gè)滾子承受載荷，而當(dāng)徑向間隙為0和-0.015時(shí)，受載滾子增加為5個(gè)；而且間隙越小受載最大的滾子所受載荷越小.傳統(tǒng)連續(xù)模型計(jì)算方法所得出所有滾子所受載荷在軸承徑向力方向的和力∑Fr與軸承徑向力Fr的相對誤差分別約為0.98%、0.39%和0.91%，而離散模型方法所計(jì)算出的相對誤差都是約為0.03%、0.01%和0.02%.

表1　徑向載荷Fr=4 450 N，不同徑向游隙時(shí)兩種計(jì)算模型中各個(gè)滾動(dòng)體的受載

表2　徑向載荷Fr=8 900 N，不同徑向游隙時(shí)兩種計(jì)算模型中各個(gè)滾動(dòng)體的受載

當(dāng)載荷Fr=8 900 N時(shí)，三個(gè)間隙下都是有5個(gè)滾子承受載荷，也是間隙越小受載最大的滾子所受載荷越小.從表2中類似的得到相應(yīng)的兩種算法的誤差分別約為0.19%、0.36%、0.64%和0.01%、0.02%、0.005%.顯然，離散模型方法所計(jì)算出的結(jié)果精度高.

2　有限元仿真與滾動(dòng)軸承載荷分布

2.1有限元仿真模型

將深溝球軸承的內(nèi)外圈和滾動(dòng)體均設(shè)置為彈性體.其外圈固定，內(nèi)圈轉(zhuǎn)動(dòng)，在其內(nèi)圈的幾何中心處施加Fr的徑向載荷.

圖5　網(wǎng)格劃分后模型

為了提高計(jì)算效率，由于軸承幾何結(jié)構(gòu)的對稱性，本文采用沿軸承軸線方向取有限元模型的二分之一進(jìn)行計(jì)算分析，并將滾動(dòng)體按照順時(shí)針的方向進(jìn)行編號(hào).其簡化后的模型如圖4所示.為了在保證計(jì)算精度的同時(shí)能盡量減少計(jì)算時(shí)間，在發(fā)生接觸的區(qū)域進(jìn)行網(wǎng)格細(xì)化并設(shè)置合理的邊界條件.整個(gè)軸承有限元模型共有412 068個(gè)節(jié)點(diǎn)和373857個(gè)單元.網(wǎng)格細(xì)化后的模型如圖5所示.

2.2有限元仿真結(jié)果及軸承載荷分布分析

對于大多數(shù)的球和滾子軸承，內(nèi)滾道的法向接觸應(yīng)力要大于外滾道的法向應(yīng)力，且內(nèi)滾道與外滾道的接觸應(yīng)力分布規(guī)律相似.由于篇幅有限，在此僅給出徑向間隙為0 mm、徑向載荷為8 900N時(shí)，用有限元法進(jìn)行仿真所獲得的接觸應(yīng)力云圖，見圖6.由圖可知，只有3號(hào)～7號(hào)滾動(dòng)體承受載荷，其中5號(hào)滾動(dòng)體所受的載荷最大，其最大接觸應(yīng)力值3 057 MPa.

圖6　深溝球軸承內(nèi)圈接觸應(yīng)力云圖

可以將有限元分析所得出的接觸應(yīng)力，通過積分的方法，將各個(gè)接觸面上的應(yīng)力求和，從而獲得所需的每個(gè)滾動(dòng)體所承受的載荷，也就是軸承的載荷分布.

徑向間隙分別為0 mm時(shí)，在三個(gè)大小不同的徑向載荷Fr(4 450、6 675、8 900 N)作用下，三種計(jì)算方法計(jì)算出的209DGBB深溝球軸承的載荷分布在表3中給出.由表3可知，用有限元法計(jì)算出的結(jié)果與前述兩種算法得出的載荷分布規(guī)律一致，但受載滾動(dòng)體所受載荷在數(shù)值上有所不同.在不計(jì)接觸面上的摩擦力時(shí)，有限元法計(jì)算出的相對誤差分別約為1.8%、1.7%和1.7%.

表3　徑向游隙Pd=0時(shí)，各模型中不同徑向載荷下各個(gè)滾動(dòng)體的受載

3　結(jié)論

對深溝球軸承的載荷分布采取了三種不同的方法.分別為：傳統(tǒng)連續(xù)型模型算法、改進(jìn)后的離散模型方法以及有限元分析法.這三種方法所得出的分布規(guī)律完全相同.相比之下，離散模型算法所得出的精度最高，傳統(tǒng)連續(xù)型模型算法次之；而根據(jù)有限元分析計(jì)算出的接觸應(yīng)力，通過對接觸區(qū)域的接觸應(yīng)力進(jìn)行積分所求出的結(jié)果精度相對最低，其主要原因是沒有考慮接觸面上摩擦力的影響.考慮到離散模型算法不但計(jì)算精度高，而且計(jì)算公式具有通用性，改變其中的一些變量即可以推廣到圓柱滾子軸承和圓錐滾子軸承等其他軸承的載荷分布計(jì)算中，因此，建議應(yīng)用中使用離散模型算法.

[1]HARRIS TA, KOTZALA MN.Rolling Bearing Analysis FIFTH EDITION: Essential Concepts of Bearing Technology[M]. Boca Raton: CRC Press, 2007.

[2]HARRIS TA.滾動(dòng)軸承分析(第1卷):軸承技術(shù)的基本概念[M] .5版，北京：機(jī)械工業(yè)出版社, 2010:104-157.

[3]中華人民共和國國家標(biāo)準(zhǔn).GB/T20060-2011滾動(dòng)軸承國家標(biāo)準(zhǔn)[S].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社,2003:29-33.

[4]鄧四二.滾動(dòng)軸承設(shè)計(jì)原理[M].北京：中國標(biāo)準(zhǔn)出版社,2004:55-68.

[5]魏延剛,趙兵.四點(diǎn)接觸球軸承接觸角對接觸應(yīng)力的影響初探[J].大連交通大學(xué)學(xué)報(bào), 2015，36(4)：51-53..

Three Methods of Internal Load Distributions of Deep Groove Bearing

WEI Yangang,LV Jingjing,LIU Yankiu

(School of Mechanical Engineering,Dalian Jiaotong University,Dalian 116028,China)

Distributions of internal load in cylindrical roller bearing are calculated by continuous function model (conventional method), discrete function model and finite element method according to the internal load distribution theory of rolling bearing. The results of the three methods show that the pattern of the internal load distributions is the same with different accuracy. The discrete function model has not only the highest accuracy, but it is also convenient to be used in practice with the program offered by the paper.

deep groove bearing; distributions of internal load; discrete function model; finite element method

1673- 9590(2016)05- 0062- 05

2016-03-26

魏延剛(1961-),男,教授,碩士,從事機(jī)械設(shè)計(jì)與制造的研究

A

E- mail:ygwang78@126.com.