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      探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

      2016-09-26 06:43:02浙江甘大旺特級教師
      高中數(shù)理化 2016年5期
      關(guān)鍵詞:北侖證法正數(shù)

      ◇ 浙江 甘大旺(特級教師)

      (作者單位:浙江省寧波市北侖明港中學(xué))

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      探究一道輪換不等式自主招生題及變式題的多種證法

      ◇浙江甘大旺(特級教師)

      輪換不等式中任意2個字母對換后稍作整理仍與原不等式同形,2014年哈爾濱工程大學(xué)自主招生數(shù)學(xué)試卷的最末一題就是輪換不等式證明題.

      本文以此題及變式題為例,介紹證明輪換不等式的4種常用方法.

      證法1由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則3次運用均值不等式得

      證法2由于a+b+c=1且a、b、c∈R+,則運用柯西不等式得到

      所以,原不等式正確.

      變式已知3個正數(shù)a、b、c的和等于1.證明:

      1) 若f(x)在區(qū)間D內(nèi)是上凹函數(shù)(即二階導(dǎo)數(shù)f″(x)>0),則對任意的n個實數(shù)x1、x2、…、xn∈D,其中正整數(shù)n≥2,則恒有不等式

      (其中“≥”當(dāng)且僅當(dāng)x1=x2=…=xn時取“=”);

      2) 若f(x)在D內(nèi)是下凹函數(shù),則就把1)中不等式的“≥”替換成“≤”即可.

      所以,原不等式正確.

      鏈接練習(xí)

      1. 若n(≥2)個正數(shù)a1、a2、…、an的和等于定值A(chǔ),求證:

      2. 已知△ABC為銳角三角形,證明

      3. 已知n(≥2)個正實數(shù)a1、a2、…、an滿足a1+a2+…+an=1,求證:

      鏈接練習(xí)解法提示

      1. 用4種方法都可證明.

      2. 宜用琴生不等式.

      3. 用均值不等式或柯西不等式.

      4. 綜合用切比雪夫不等式和均值不等式.

      (作者單位:浙江省寧波市北侖明港中學(xué))

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