微元法在高中物理解題中的應(yīng)用

◇　江蘇　姚成龍

◇　山東　孫　飛

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微元法在高中物理解題中的應(yīng)用

◇江蘇姚成龍

在一個(gè)物理過(guò)程中有一個(gè)變化的物理量,這樣可能會(huì)給我們的做題帶來(lái)不便,這時(shí)可以試著把這個(gè)物理過(guò)程分割為無(wú)數(shù)多個(gè)很小的過(guò)程，即所謂的微元.在每一個(gè)很小的過(guò)程中這個(gè)變化的物理量近似是不變的,然后在每一小段中求出這個(gè)物理量對(duì)時(shí)間或位移等的積累,再對(duì)這些積累量進(jìn)行求和就可以得到這個(gè)物理量在整個(gè)過(guò)程中對(duì)時(shí)間或位移等的積累,這就是微元法．實(shí)際上也就是高等數(shù)學(xué)中的微積分的思想的應(yīng)用．高中物理中很多習(xí)題看似“山窮水盡疑無(wú)路”,但如果用微元法的思想來(lái)分析就會(huì)“柳暗花明又一村”．實(shí)際上高中物理中根據(jù)v-t圖象與坐標(biāo)軸的面積求位移的方法就是微元法．

1　電磁感應(yīng)中的微元法

圖1

(1) 如圖1所示,固定于水平面上的金屬框架abcd,處在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中．金屬棒MN沿框架以速度v向右做勻速運(yùn)動(dòng)．框架的ab與dc平行,bc與ab、dc垂直．MN與bc的長(zhǎng)度均為l,在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中MN始終與bc平行,且與框架保持良好接觸．磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B．請(qǐng)根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,證明金屬棒MN中的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=Blv.

圖2

(2) 為進(jìn)一步研究導(dǎo)體做切割磁感線運(yùn)動(dòng)的過(guò)程,現(xiàn)構(gòu)建如下情景: 金屬棒a和b, 2棒質(zhì)量都為m,電阻分別為Ra和Rb，如圖2所示,a棒從h高處自靜止沿弧形軌道下滑,2導(dǎo)軌間距為L(zhǎng),通過(guò)C點(diǎn)進(jìn)入軌道的水平部分,該水平部分存在豎直向下的勻強(qiáng)磁場(chǎng),磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B．(下滑時(shí)棒始終保持與導(dǎo)軌垂直)

(ⅰ) 若金屬棒b固定于軌道的水平部分,且a棒始終沒(méi)有跟b棒相碰,求a棒上最終產(chǎn)生的焦耳熱(不計(jì)一切摩擦)．

(ⅱ) 若金屬棒b解除固定,靜止于軌道水平部分,要使ab不相碰,b棒至少距離C點(diǎn)多遠(yuǎn)．

圖3

即

2　運(yùn)動(dòng)中的微元法

在一個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,物體在某方向上的速度在時(shí)間上的積累就是這個(gè)方向上的位移,如果在這個(gè)方向上物體做變速運(yùn)動(dòng),那么我們就可以運(yùn)用微元法來(lái)求解位移．

圖4

(1) 若勻強(qiáng)電場(chǎng)方向水平向左,使小球在空間中做直線運(yùn)動(dòng),求小球在空間中做直線運(yùn)動(dòng)的速度大小和方向;

(2) 若勻強(qiáng)電場(chǎng)在xOy平面內(nèi)的任意方向,確定小球在xOy平面內(nèi)做直線運(yùn)動(dòng)的速度大小的范圍;

(3) 若勻強(qiáng)電場(chǎng)方向豎直向下,將小球從O點(diǎn)由靜止釋放,求小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中距x軸的最大距離．

圖5

(2) 小球做直線運(yùn)動(dòng)的條件為洛侖茲力與電場(chǎng)力和重力的合力為一對(duì)平衡力．當(dāng)電場(chǎng)在xOy平面內(nèi)方向任意時(shí),電場(chǎng)力與重力合力最大值為2mg,最小值為0,則BQvmax=2mg,BQvmin=0,得0

(3) 設(shè)小球運(yùn)動(dòng)到最低位置時(shí)下落高度為H,此時(shí)速度最大為v0,方向水平,任意時(shí)刻v沿x軸正向、y軸負(fù)向的分速度分別為vx、vy，與vy對(duì)應(yīng)的洛侖茲力水平分力方向沿x軸正向,F洛x=BQvy,小球由靜止釋放到最低點(diǎn)的過(guò)程中,應(yīng)用動(dòng)量定理得

BQH=mv0-0.

3　微元法的變形——面積法

教材中講解了由v-t圖象求位移的方法——面積法,由面積法的推導(dǎo)過(guò)程我們可以看出,這實(shí)際上就是運(yùn)用的微元法思想．我們還可以延伸一下,用面積法根據(jù)F-t圖象求沖量,根據(jù)F-x圖象求功等．這種方法在高考中也多有涉及．

圖6

(1) 請(qǐng)畫(huà)出F隨x變化的示意圖;并根據(jù)F-x的圖象求物塊沿x軸從O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到位置x的過(guò)程中彈力所做的功．

(2) 物塊由x1向右運(yùn)動(dòng)到x3，然后由x3返回到x2，在這個(gè)過(guò)程中，(ⅰ) 求彈力所做的功，并據(jù)此求彈性勢(shì)能的變化量; (ⅱ) 求滑動(dòng)摩擦力所做的功，并與彈力做功比較,說(shuō)明為什么不存在與摩擦力對(duì)應(yīng)的“摩擦力勢(shì)能”的概念．

圖7

(ⅱ) 在此過(guò)程中摩擦力做功由Ff=μFN,Wf=-Ffs,得Wf=-μmg(2x3-x2-x1).因?yàn)槟Σ亮ψ龉εc路程成正比,而非像彈簧彈力做功一樣與路徑無(wú)關(guān),而只與初末位置有關(guān),所以無(wú)“摩擦勢(shì)能”的概念．

微元法由于用到了微積分的思想,比較新穎,能夠引導(dǎo)學(xué)生對(duì)已知物理規(guī)律的再思考,從而起到鞏固知識(shí)、加深認(rèn)識(shí)和提高能力的作用，同時(shí)也是近年來(lái)高考中經(jīng)常涉及的方法,希望引起同學(xué)們的重視．

1　構(gòu)建1個(gè)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)——解題的知識(shí)依托

2　內(nèi)化2種模型——化繁為簡(jiǎn)的有效途徑

模型繩模型桿模型實(shí)例球與繩連接、水流星、翻滾過(guò)山車(chē)等球與桿連接、球過(guò)豎直的圓形管道,套在圓環(huán)上的物體等圖示在最高點(diǎn)受力重力、彈力F彈向下或等于0,即mg+F彈=mv2/R重力,彈力F彈向下、向上或等于0,即mg±F彈=mv2/R恰好過(guò)最高點(diǎn)F彈=0,mg=mv2/R,v=Rg,即在最高點(diǎn)速度不能為0v=0,mg=F彈,在最高點(diǎn)速度可為0

3　銘記2個(gè)特點(diǎn)——這是快速解題的切入點(diǎn)

1) 向心力一定指向圓心,而只有做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體的合力才始終指向圓心．

圖1

A小球A的合力小于小球B的合力;

B小球A與框架間可能沒(méi)有摩擦力;

C小球B與框架間可能沒(méi)有摩擦力;

D圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動(dòng),小球B受到的摩擦力一定增大

由于合力提供向心力,依據(jù)向心力表達(dá)式F=mrω2,已知2球質(zhì)量、運(yùn)動(dòng)半徑和角速度都相同,可知向心力相同,即合力相同,故選項(xiàng)A錯(cuò)誤．小球A受到重力和彈力的合力不可能垂直指向OO′軸,故一定存在摩擦力,而B(niǎo)球的重力和彈力的合力可能垂直指向OO′軸,故B球摩擦力可能為0,故選項(xiàng)B錯(cuò)誤,選項(xiàng)C正確．由于不知道B是否受到摩擦力,故而無(wú)法判定圓形框架以更大的角速度轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí),小球B受到的摩擦力的變化情況,故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．

圖2

(1) 若要小球離開(kāi)錐面,則小球的角速度ω0至少為多大?

(2) 若細(xì)線與豎直方向的夾角為60°,則小球的角速度ω′為多大?

FTcosθ=mg,FTsinθ=mω2·lsinθ．

圖3

(1)若要小球剛好離開(kāi)錐面,則小球受到重力和細(xì)線拉力如圖3所示．小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌跡圓在水平面上,故向心力水平．

圖4

A小球的質(zhì)量為aR/b;

B當(dāng)?shù)氐闹亓铀俣却笮镽/b;

Cv2=c時(shí),在最高點(diǎn)桿對(duì)小球彈力方向向上;

D若v2=2b,則在最高點(diǎn)桿對(duì)小球彈力大小為2a

4　突破3個(gè)題型

4.1圓周運(yùn)動(dòng)的臨界極值問(wèn)題

(1) 若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω1時(shí),細(xì)線AB上的張力為0,而細(xì)線AC與豎直方向的夾角仍為37°,求角速度ω1的大小;

(2) 若裝置勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為ω2時(shí),細(xì)線AB剛好豎直,且張力為0,求此時(shí)角速度ω2的大小;

(3) 裝置可以以不同的角速度勻速轉(zhuǎn)動(dòng),試通過(guò)計(jì)算，在圖6的坐標(biāo)中畫(huà)出細(xì)線AC上張力FT隨角速度的平方ω2變化的關(guān)系圖象．

圖5　　　　　　　　　　　圖6

FTcosθ=mg,FT=mg/cosθ=12.5 N.

ω1≤ω≤ω2時(shí)細(xì)線AB松弛, 細(xì)線AC上張力的水平分量等于小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力

FTsinα=mω2lsinα,FT=mω2l.ω>ω2時(shí),細(xì)線AB在豎直方向繃直,仍然由細(xì)線AC上張力的水平分量提供小球做圓周運(yùn)動(dòng)需要的向心力，則

FTsinθ′=mω2lsinθ′,

圖7

即

FT=mω2l.

4.2圓周運(yùn)動(dòng)中的連接體問(wèn)題

圖8

4.3圓周運(yùn)動(dòng)的多過(guò)程問(wèn)題

圖9

A2釘子間的距離為繩長(zhǎng)的1/6;

Bt=10.5 s時(shí)細(xì)繩拉力的大小為6 N;

Ct=14 s時(shí)細(xì)繩拉力的大小為10 N;

D細(xì)繩第3次碰釘子到第4次碰釘子的時(shí)間間隔為3 s

(作者單位：山東省棗莊市臺(tái)兒莊區(qū)職業(yè)中專(zhuān))

江蘇省江陰市山觀高級(jí)中學(xué))

◇山東孫飛