張文鵬

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安　710127)

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【數(shù)理科學(xué)·數(shù)論專欄研究】

關(guān)于模p的一類同余方程解的個(gè)數(shù)

張文鵬

(西北大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院, 陜西 西安710127)

設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)且滿足3|(p-1)。對(duì)任意整數(shù)k1及k2且滿足(k1k2,p)=1,設(shè)N(k1,k2;p)表示同余方程k1x3+k2y3≡1modp的解的個(gè)數(shù),其中0≤x,y≤p-1。該文的主要目的是利用解析方法,高斯和的性質(zhì)以及S.Chowla,J.Cowles和M.Cowles等人的重要工作研究N(k1,k2;p)的計(jì)算問題,并給出它的一個(gè)精確的計(jì)算公式,同時(shí)提出幾個(gè)未解決的問題。

素?cái)?shù);三次同余方程;整數(shù)解的個(gè)數(shù);計(jì)算公式;解析方法;高斯和

本文的主要目的也是考慮一個(gè)類似的堆壘數(shù)論問題:設(shè)p是一個(gè)奇素?cái)?shù)且3|(p-1)。對(duì)任意整數(shù)k1及k2且(k1k2,p)=1，設(shè)N(k1,k2;p)表示同余方程

k1x3+k2y3≡1modp

在模p的完全剩余系中的解的個(gè)數(shù),即0≤x,y≤p-1。那么人們自然會(huì)問,是否存在N(k1,k2;p)的一個(gè)確切的計(jì)算公式?

關(guān)于這一問題,至今似乎沒有人直接研究,至少我們沒有在現(xiàn)有的文獻(xiàn)中看到這樣的問題。當(dāng)然,這一問題是有意義的,至少可以反映出三次剩余的深刻性質(zhì)。

為敘述方便,我們先給出模p三次剩余的定義。設(shè)a是與p互素的整數(shù),如果同余方程x3≡amodp有解,則稱a為模p的三次剩余;否則稱a為模p的三次非剩余。本文利用三次剩余的概念,解析方法以及S.Chowla等人的深刻結(jié)果研究了N(k1,k2;p)的計(jì)算問題,并給出了一個(gè)簡(jiǎn)單的計(jì)算公式。具體地說也就是證明了下面的定理。

定理1設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足3|(p-1),那么對(duì)任意整數(shù)k1及k2且(k1k2,p)=1，有

N(k1,k2;p)=p+d-2;

N(k1,k2;p)=p+1+d;

幾點(diǎn)注釋關(guān)于本文中所討論的問題,這里想說明4點(diǎn):

1)在本文中只考慮素?cái)?shù)p滿足3|(p-1)的情況,對(duì)于素?cái)?shù)p滿足(3,p-1)=1的情況而言,由于當(dāng)x通過模p的一個(gè)完全剩余系時(shí),x3也通過模p的一個(gè)完全剩余系,所以我們的問題轉(zhuǎn)化為同余方程k1x+k2y≡1modp的解,此時(shí)顯然有N(k1,k2;p)=p。

4)我們的另一個(gè)公開問題是:對(duì)于奇素?cái)?shù)p且5|(p-1),設(shè)k1和k2是滿足(k1k2,p)=1的整數(shù)。那么是否存在同余方程k1x5+k2y5≡1modp(0≤x,y≤p-1)解的個(gè)數(shù)的一個(gè)精確的計(jì)算公式?此外,把我們考慮的所有問題中的變量換成模p的原根,情況又會(huì)怎樣?這些都是值得考慮的研究問題。

1　幾個(gè)簡(jiǎn)單引理

這節(jié)我們給出幾個(gè)簡(jiǎn)單引理。其中用到初等數(shù)論及解析數(shù)論中的一些知識(shí)如高斯和的性質(zhì)等,可以在文獻(xiàn)[8-9]中找到,這里不再重復(fù)。首先有下面的引理。

引理1設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足3|(p-1)。那么對(duì)任意整數(shù)b且(b,p)=1以及模p的任意三階特征ψ,有恒等式

其中τ(ψ)表示高斯和，定義為

(1)

有

于是就證明了引理1。

引理2設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足3|(p-1),Ms表示方程

在有限域GF(p)中的解的個(gè)數(shù)。那么有

M3=p2+(p-1)d。

其中d是由4p=d2+27b2且d≡1mod3唯一確定的。

證 明參閱文獻(xiàn)[10]中定理3。

引理3設(shè)p為奇素?cái)?shù)且滿足3|(p-1)。那么對(duì)模p的任意三階特征ψ，有恒等式

其中d的定義見引理2。

p2+(p-1)d=

簡(jiǎn)化后即就是恒等式

于是證明了引理3。

2　定理的證明

這節(jié)我們來完成定理1的證明。事實(shí)上應(yīng)用三角和恒等式(1)、引理1以及高斯和的定義及性質(zhì)，有恒等式

N(k1,k2;p)=

(2)

下面將式(2)中的情況分3種形式討論:

p+d-2。

(3)

(4)

其中Re(z)表示復(fù)數(shù)z的實(shí)部。由此立刻推出

(5)

(6)

(7)

N(k1,k2;p)=p+1+d。

(8)

(9)

結(jié)合式(3),(6),(7),(8),(9)，并注意到相同表示式的合并，我們立刻完成定理的證明。

[1]SANDER J M. On the addition of units and nonunit modm[J].Journal of Number Theory, 2009，129：2260-2266.

[2]YANG Q H, TANG M.On the addition of squares of units and nonunits modulon[J].Journal of Number Theory,2015，155：1-12.

[3]GOLOMB S.On the algebraic construction for Constas arrays[J].Journal of Combinatoial Theory (Ser. A.), 1984，37：13-21.

[4]WANG Ju-ping. On Golomb′s conjecture[J].Science in China (Ser. A.), 1987，9：927-935.

[5]COHEN S D, ZHANG Wen-peng.Sums of two exact powers[J].Finite Fiels and Their Applications, 2002，8：471-477.

[6]COHEN S D, MULLEN G L.Primitive elements in Costas arrays[J].Applicalde Algebra in Engineering Communication and Computing, 1991，2：45-53; (Corrections)，1992，2：297-299.

[7]ZHANG Wen-peng.On the problem related to Golomb′s conjecture[J].Journal of Systems Science and Complexity, 2003，16：13-18.

[8]APOSTOL T M. Introduction to Analytic Number Theory[M].New York:Springer-Verlag, 1976.

[9]張文鵬, 李海龍.初等數(shù)論[M].西安：陜西師范大學(xué)出版社, 2008.

[10] CHOWLA S, COWLES J, COWLES M.On the number of zeros of diagonal cubic forms[J].Journal of Number Theory, 1977，9：502-506.

(編輯亢小玉)

On the number of the solutions of one kind congruence equation modp

ZHANG Wen-peng

(School of Mathematics, Northwest University, Xi′an 710127， China)

Letpbe an odd prime with 3|(p-1). For any integersk1andk2with (k1k2,p)=1, letN(k1,k2;p) denotes the number of the solutions of the congruence equationk1x3+k2y3≡1modpwith 0≤x,y≤p-1. The main purpose of this paper is using the analytic method, the properties of Gauss sums and S. Chowla and others′ important work to study the computational problem ofN(k1,k2;p), and giving an exact calculating formula for it. At the same time, several open problems are also proposed.

Prime; cubic congruence equation; the number of the solutions; computational formula; analytic method; Gauss sums

2016-03-11

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11371291)

O156.7

A

10.16152/j.cnki.xdxbzr.2016-03-001

張文鵬，男，1958年8月出生于陜西禮泉。主要從事基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的教學(xué)與研究，發(fā)表學(xué)術(shù)論文300余篇，其中被SCI檢索200余篇；出版教材及專著4部；獨(dú)立獲得陜西省科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)及三等獎(jiǎng)各一次；獨(dú)立獲得教育部科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)一次；作為第一完成人獲得陜西省科技進(jìn)步二等獎(jiǎng)二次；獲得霍英東教育基金會(huì)第四屆全國(guó)高校優(yōu)秀教師研究類獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)一次；主持國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目6次；主持國(guó)家教委第四次重點(diǎn)跟蹤支持人員基金項(xiàng)目一次；主持陜西省自然科學(xué)基金項(xiàng)目4次；教育部博士點(diǎn)基金項(xiàng)目1次；香港王寬誠(chéng)教育基金項(xiàng)目1次，主持國(guó)家基金委國(guó)際交流與合作項(xiàng)目1次；曾擔(dān)任陜西省數(shù)學(xué)會(huì)副理事長(zhǎng)、美國(guó)Scientia Magna雜志主編；1993年享受政府特殊津貼；1995年被評(píng)為首屆陜西省科技新星；1997年被評(píng)為西省有突出貢獻(xiàn)的中青年專家、陜西省優(yōu)秀留學(xué)回國(guó)人員；同年入選國(guó)家人事部“百千萬人才”及陜西省“三五人才”第一層；2000年被評(píng)為陜西省有突出貢獻(xiàn)專家。

【主持人語】數(shù)論是數(shù)學(xué)中最古老而又年輕的學(xué)科，這一看起來似乎矛盾的說法并不奇怪，因?yàn)檫@是從數(shù)論的兩個(gè)不同角度來說明這一獨(dú)特的數(shù)學(xué)學(xué)科！一方面說它最古老是因?yàn)樽詮挠辛巳祟惖奈拿?，就有了?shù)論內(nèi)容, 也就是當(dāng)時(shí)的自然數(shù)，所以說它是最古老的數(shù)學(xué)分支；其次，我們說數(shù)論是一門年輕的數(shù)學(xué)學(xué)科，這是因?yàn)閿?shù)論中未解決的問題非常多， 從一開始學(xué)習(xí)初等數(shù)論課程起，每一節(jié)課都可能遇到不少數(shù)論難題，我們大家所熟知的哥德巴赫猜想、孿生素?cái)?shù)問題等也只是眾多未解決的數(shù)論難題中的幾個(gè)特例！ 事實(shí)上許多古老的數(shù)論難題至今沒有解決，同時(shí)又出現(xiàn)了一大批新的數(shù)論難題，而且新問題的出現(xiàn)往往要比老問題解決的速度快得多，這樣就使得未解決的數(shù)論難題越來越多，因而顯得這一學(xué)科很不成熟，很年輕！

本次數(shù)論專輯欄目主要針對(duì)數(shù)論中的一些經(jīng)典問題進(jìn)行了研究， 其中包括特殊同余方程解數(shù)個(gè)數(shù)的計(jì)算問題、奇完全數(shù)的素因數(shù)指標(biāo)問題、二次高斯和的四次均值公式以及著名數(shù)列倒數(shù)積的恒等式等四個(gè)內(nèi)容，這些問題雖然不是數(shù)論中的著名難題，但是它們也具有代表性，特別是在“關(guān)于模p的一類同余方程解的個(gè)數(shù)”一文中，作者提出了許多有待于讀者進(jìn)一步研究的新問題，這些內(nèi)容無疑對(duì)有關(guān)內(nèi)容的進(jìn)一步研究將起到十分積極的促進(jìn)作用！

主持人：張文鵬，西北大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院二級(jí)教授，博士生導(dǎo)師。