彭凡　王樑　肖健

摘 要：研究質(zhì)量時變系統(tǒng)的動態(tài)載荷識別技術(shù)，引入廣義模態(tài)概念，在初瞬時的模態(tài)空間中利用模態(tài)疊加法得到部分解耦的動力學(xué)方程，結(jié)合考慮質(zhì)量變化效應(yīng)的虛擬變形法和Duhamel積分，構(gòu)建反演動態(tài)力的2種分析途徑.一種是基于加速度反演的連鎖遞推格式，另一種是基于位移和加速度反演的正則化求解格式.分析2個動載荷作用下的變質(zhì)量多自由度系統(tǒng)，利用Euler中點辛差分方法求得系統(tǒng)的響應(yīng)，將其疊加隨機噪聲以模擬測點響應(yīng)，然后，應(yīng)用2種模態(tài)力反求格式反演動載荷.研究結(jié)果表明，連鎖遞推格式計算效率高，但對加速度測量噪聲敏感；正則化求解格式的穩(wěn)健性較高.

關(guān)鍵詞：變質(zhì)量；動態(tài)載荷；反問題；遞歸計算；正則化

中圖分類號：O326；O347.1 文獻標(biāo)識碼：A

Abstract：The technique of the load identification of mass variable system was studied. The generalized modal concept applied on time-varying system was introduced， and the method of modal superposition was used to give dynamic equations with partially decoupled in initial modal space defined at initial instant. Based on both virtual distortion method （VDM） accounting for the effect of mass change and the Duhamel integration in initial modal space， two approaches to identify modal forces were constructed： one is the recursive calculation pattern formulated on the basis of modal acceleration， and the other is the regularized solution by the direct discretization of Duhamel integration with modal displacement and acceleration. A mass variable system with 16 degrees of freedom subjected to two external loads was analyzed. The responses were calculated by applying Euler midpoint symplectic difference method and added with random noise to simulate measured signals. Two dynamic loads were identified by two inversion approaches of modal forces. The comparison of results has indicated that regularized solution format has a higher numerical robust than the recursive calculation pattern， but the latter is sensitive to the noise of measurement.

Key words：time-varying mass；dynamic loads；inverse problems； recursive calculation； regularization

許多工程領(lǐng)域存在質(zhì)量等振動參數(shù)隨時間發(fā)生變化的動力學(xué)問題 [1-5].質(zhì)量時變系統(tǒng)的動力學(xué)響應(yīng)分析方法主要包括2類，一類是直接積分法，包括Newmark法和各類差分算法[6]；另一類是基于短時時不變假設(shè)的模態(tài)疊加法[7-8].與動力響應(yīng)分析相對應(yīng)的是質(zhì)量時變振動系統(tǒng)的載荷反求，如考慮質(zhì)量快速減少的運載工具的脈動推力反求，這在工程上也是非常有意義的課題.針對時不變結(jié)構(gòu)的動態(tài)載荷識別，已經(jīng)發(fā)展了較為豐富的方法與技術(shù)[9].然而，關(guān)于時變結(jié)構(gòu)的動態(tài)載荷識別方法的研究還較少，張青霞等[10]將車橋系統(tǒng)視為質(zhì)量時變系統(tǒng)，移動荷載的反求轉(zhuǎn)化為移動質(zhì)量的識別，基于虛擬變形法識別移動質(zhì)量.

本文研究質(zhì)量時變系統(tǒng)載荷識別方法，在初始模態(tài)空間中，結(jié)合模態(tài)疊加和虛擬變形技術(shù)，構(gòu)造模態(tài)力反求格式，經(jīng)模態(tài)轉(zhuǎn)換得到相應(yīng)的物理量.分析變質(zhì)量多自由度系統(tǒng)，首先由差分法計算受激振動響應(yīng)，將其疊加噪聲以模擬測量信號，然后，反求模態(tài)力得到動載荷，比較2種反求格式的有效性及優(yōu)劣.

1 初始模態(tài)空間中的模態(tài)力計算格式

1.1 基于初始模態(tài)求解時變質(zhì)量系統(tǒng)的動力學(xué)方程

3 結(jié) 論

在初始模態(tài)空間中建立變質(zhì)量系統(tǒng)動載荷識別途徑.以變質(zhì)量多自由度系統(tǒng)的動態(tài)激勵反演為算例，考察所構(gòu)造的2種模態(tài)力反求格式的穩(wěn)健性和耐噪性.1）利用離散Duhamel積分構(gòu)造的模態(tài)力連鎖遞推計算僅需加速度測量信號，且計算量小，但容易產(chǎn)生誤差累積導(dǎo)致反演結(jié)果對初值敏感.2）利用位移的Duhamel積分離散進行模態(tài)力的正則化求解格式需要位移、加速度測量信號，穩(wěn)健性較第1種方法強，計算量較大.

參考文獻

[1] JOSHI A. Free vibration characteristics of variable rockets having large axial thrust/acceleration[J].Journal of Sound and Vibration，1995，187（4）：727 -736.

[2] VAN DER BURGH A H P，HARTONO， ABRAMIAN A K. A new model for the study of rain-wind-induced vibrations of a simple oscillator[J].International Journal of Non-Linear Mechanics， 2006， 41（3）： 345-358.

[3] 沈國輝，徐曉斌，樓文娟，等.導(dǎo)線覆冰脫冰有限元模擬方法的適用性分析[J]. 工程力學(xué)， 2011， 28（10）：9-15.

SHEN Guo-hui， XU Xiao-bin， LOU Wen-juan，et al.Applicability analysis of finite element methodologies to stimulate the ice-accreting and ice-shedding on transmission lines[J].Engineering Mechanics， 2011， 28（10）：9-15.（In Chinese）

[4] 曹國華，朱真才，彭維紅，等.變質(zhì)量提升系統(tǒng)鋼絲繩軸向-扭轉(zhuǎn)耦合振動特性[J]. 振動與沖擊， 2010， 29（2）：64-68.

CAO Guo-hua， ZHU Zhen-cai，PENG Wei-hong，et al.Axial-torsion coupling vibration characteristics in elevate system with variable mass[J]. Journal of Vibration and Shock， 2010， 29（2）：64-68. （In Chinese）

[5] 廖劍暉，由小川，呂海波，等.發(fā)展時變附加質(zhì)量方法模擬飛行器出水過程[J]. 工程力學(xué)，2012， 29（4）：202-223.

LIAO Jian-hui，YOU Xiao-chuan， LV Hai-bo， et al. Development of a time-varying added mass method in the simulations of the water-exit process of underwater vehicle[J]. Engineering Mechanics， 2012， 29（4）：202-223.（In Chinese）

[6] 邢譽峰，楊蓉.動力學(xué)平衡方程的Euler中點辛差分求解格式[J]. 力學(xué)學(xué)報， 2007， 39（1）： 100-105.

XING Yu-feng，YANG Rong.Application of Euler midpoint symplectic integration method for the solution of dynamic equilibrium equations[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2007， 39（1）： 100-105.（In Chinese）

[7] 邢譽峰，謝珂，潘忠文.變質(zhì)量系統(tǒng)振動分析的兩種方法[J]. 北京航空航天大學(xué)學(xué)報，2013， 39（7）：858-862.

XING Yu-feng， XIE Ke， PAN Zhong-wen.Two methods for vibration analysis of variable-mass systems[J]. Journal of Beijing University of Aeronautics and Astronautics， 2013， 39（7）：858-862.（In Chinese）

[8] 于開平， 龐世偉， 趙婕. 時變線性/非線性結(jié)構(gòu)參數(shù)識別及系統(tǒng)辨識方法研究進展[J]. 科學(xué)通報， 2009，54（20）：3147-3156.

YU Kai-ping， PANG Shi-wei， ZHAO Jie. Advances in method of time-varying linear/nonlinear structural system identification and parameter estimate[J]. Chinese Science Bulletin， 2009， 54（20）： 3147-3156.（In Chinese）

[9] SANCHEZ J， BENAROYA H . Review of force reconstruction techniques[J]. Journal of Sound and Vibration， 2014，333（14）：2999-3018.

[10]張青霞，段忠東，JANKOWSK L.基于虛擬變形法的車-橋耦合系統(tǒng)移動質(zhì)量識別[J].力學(xué)學(xué)報， 2011， 43（3）：598-610.

ZHANG Qing-xia， DUAN Zhong-dong， JANKOWSK L. Moving mass identification of vehicle-bridge coupled system based on virtual distortion method[J]. Chinese Journal of Theoretical and Applied Mechanics， 2011， 43 （3）： 598-610.（In Chinese）

[11]KOLAKOWSKI P，WIKLO M， HOLNICKI-SZULC J. The virtual distortion method—a versatile reanalysis tool for structures and systems[J]. Structural and Multidisciplinary Optimization， 2008， 36（2）：217-234.

[12]HANSEN P C.Truncated SVD solutions to discrete ill-posed problems with ill-determined numerical rank[J]. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing，1990，11（3）：503-518.

[13]GOLUB G H， HEATH M， WAHBA G. Generalized cross-validation as a method for choosing a good ridge parameter[J].Technometrics， 1979，21（2）：215-223.