雙換元法求二元變量的最值問題

李東進

(江蘇省蘇州市蘇州新草橋中學 215011)

?

○短文集錦○

雙換元法求二元變量的最值問題

李東進

(江蘇省蘇州市蘇州新草橋中學 215011)

最值問題,特別是二元變量的最值問題是教學的難點,同時也是各級各類調(diào)研考試、高考的熱點．縱觀一些高考、模擬試題,這類最值問題由于結(jié)構(gòu)復雜,難以將問題轉(zhuǎn)化為一元問題,導致處理難度大．筆者發(fā)現(xiàn)對這類最值問題采取雙換元的方法,可以收到意想不到的效果．本文結(jié)合教學實踐略作探討,供大家參考．

一、分式求和型的最值

簡解設2a+b=x,b+1=y，

則x>0,y>1,

此類問題的求解方法很多,考慮到和式的分母較為復雜,分子簡單,所以可以對分母進行雙換元再化簡,變?yōu)殛P于新變量的簡單式子,再利用基本不等式求解,這樣的化歸大大減少了思維量．

二、旋轉(zhuǎn)雙曲線條件下的最值

簡解2x2+xy-y2=1,即

(2x-y)(x+y)=1.

設2x-y=m,x+y=n,則mn=1，

且x-2y=(2x-y)-(x+y)=m-n,

5x2-2xy+2y2=(2x-y)2+(x+y)2

=m2+n2.

本例中的方程2x2+xy-y2=1對應的曲線,其實是旋轉(zhuǎn)后的雙曲線.對于此類最值的求解可以將條件進行因式分解再對兩個因式雙換元,將所求表達式利用待定系數(shù)法表示為換元后的雙元表達式,結(jié)合基本不等式知