供電線路的數(shù)學建模

馬興旺 李廣勝 王全智

對供電線路進行模擬分析和計算時，必須知道其各元件的等值電路和電氣參數(shù)。電力線路的電氣參數(shù)是指線路的電阻r、電抗x、電導g和電納b。

一、輸電線路的電阻

有色金屬導線每單位長度的電阻可引用電路課程中導體的電阻與長度、導體電阻率成正比，與橫截面積成反比，而且還與溫度有關，計算式：，式中，r20為20℃時的電阻值，a為電阻溫度系數(shù)，對于銅a=0.00382（1/℃），鋁a=0.0036（1/℃）。

二、輸電線路的電抗

電力線路電抗是由于導線中通過三相對稱交流電流時，在導線周圍產生交變磁場而形成的。對于三相輸電線路，每相線路都存在有自感和互感三相輸電線路通以交流電流時，導體周圍產生電磁場，該電磁場沿線做均勻分布，電磁能轉變?yōu)闊崮芤彩茄厝€進行的，故三相輸電線路是一分布參數(shù)的電路。三相輸電線路正常運行時，三相電壓、電流處于對稱情況，分析時就以其中一相即可。輸電線路的單相等值電路為：，式中r為導線的半徑；為導線材料的相對導磁系數(shù)，對于鋁和銅 =1；Dm為三相導線幾何均距。

三、輸電線路的電導

架空輸電線路的電導主要與線路電暈損耗以及絕緣子的泄漏電阻有關。通常前者起主要作用，而后者因線路的絕緣水平較高，往往可以忽略不計，只有在雨天或嚴重污穢等情況下，泄漏電阻才會有所增加。在一般的電力系統(tǒng)計算中可以忽略電暈損耗。

四、輸電線路的電納

在輸電線路中，導線之間和導線對地都存在電容，當三相交流電源加在線路上時隨著電容的充放電就產生了電流，這就是輸電線路的充電電流或空載電流。反映電容效應的參數(shù)就是電容。三相對稱排列或經完整循環(huán)換位后輸電線路單位長度電納可按公式計算。單導線單位長度電納為b，式中Dm、r的代表的物理意義分別為三相導線幾何均距、導線的半徑。顯然由于電納與幾何均距、導線半徑也有對數(shù)關系，所以架空線路的電納變化也不大，其值一般在左右。

五、電力線路的數(shù)學模型

三相輸電線路通以交流電流時，導體周圍產生電磁場，該電磁場沿線做均勻分布，電磁能轉變?yōu)闊崮芤彩茄厝€進行的，故三相輸電線路是一分布參數(shù)的電路。三相輸電線路正常運行時，三相電壓、電流處于對稱情況，分析時就以其中一相即可。輸電線路的單相等值電路如右圖。

如圖所示的分布參數(shù)等值電路進行輸電線的電氣計算是比較復雜的，為了簡化計算，工程上一般根據(jù)線路的長短采用以下幾種等值電路。

（一）短電力線路的一字形等值電路

對于線路長度不超過100km的短架空線路和不長的電纜線路，稱短電力線路；當電壓不高時線路電納及電導可忽略不計。這樣就得到了只有電阻和電抗兩個參數(shù)表示的一字形等值電路（下圖右），Z=R+jX，如圖所示。

由圖可得：，將式上式與電路理論課程中介紹的雙端口網絡方程式相比較，，可得這種等值電路的通用常數(shù)A、B、C、D ，其中A=1，B=Z，C=0，D=1。

（二）中等長度線路的П型和Τ型等值電路

對于長度在100-300km的架空線路或不超過100km的電纜線路，稱中等長度電力線路，其電納的影響已不能忽略，故通常采用П型（下圖右）和Τ型（下圖左）等值電路。如圖所示，其中，常用的是∏型等值電路。

在П型等值電路中，除串聯(lián)的線路總阻抗Z=R+jX之外，還將線路的總導納Y=jB分為兩半，分別并聯(lián)在線路的始末端。在Τ型等值電路中，線路的總導納集中在中間，而線路的總阻抗則分為兩半，分別串聯(lián)在它的兩側。因此，這兩種電路都是近似的等值電路，而且，相互間并不等值，即它們不能用△-Y變換公式相互變換。

（三）遠距離輸電線路的等值電路

若線路是長度超過300km的架空線路和超過100km的電纜線路，屬于遠距離輸電線路，這種線路等值電路也可采用П型或Τ型等值電路：，γ為傳播常數(shù)，Zc為線路特征阻抗，也稱為波阻抗，式中，α為行波振幅衰減系數(shù)，β表征行波相位的變化情況，稱為相位系數(shù)，z，y為線路單位長度阻抗和導納。遠距離輸電線路的П型（下圖右）或Τ型（下圖左）等值電路如圖所示，實際應用時大多采用П型等值電路。

根據(jù)上述的A、B、C、D參數(shù)，可推導出遠距離輸電線路П型等值電路中的各參數(shù)與傳輸參數(shù)的關系，對于遠距離輸電線路，若不考慮其分布參數(shù)，將給計算結果帶來較大的誤差，電阻誤差大于10%，電抗次之，電納更次之。