陳素根 吳小俊

?

基于特征值分解的中心支持向量機算法

陳素根①②吳小俊*①

①(江南大學物聯網工程學院 無錫 214122)②(安慶師范學院數學與計算科學學院 安慶 246133)

針對廣義特征值中心支持向量機(GEPSVM)訓練和決策過程不一致問題，該文提出一類改進的基于特征值分解的中心支持向量機，簡稱為IGEPSVM。首先針對二分類問題提出了基于特征值分解的中心支持向量機，然后基于“一類對余類”策略將其推廣到多類分類問題。將GEPSVM求解廣義特征值問題轉化為求解標準特征值問題，降低了計算復雜度。引入了一個新的參數，可以調節(jié)模型的性能，提高了GEPSVM的分類精度。提出了基于IGEPSVM的多類分類算法。實驗結果表明，與GEPSVM算法相比較，IGEPSVM不僅提高了分類精度，而且縮短了訓練時間。

支持向量機；廣義特征值中心支持向量機；兩類分類；多類分類；特征值分解

1 引言

支持向量機(SVM)算法是經典的分類算法[1]，鑒于其堅實的理論基礎和良好的泛化性能而被廣泛使用于各個領域中[2,3]。SVM在解決小樣本、非線性和高維模式問題中表現出了許多特有的優(yōu)勢，標準的SVM算法問題可歸結為求解一個受約束的二次規(guī)劃(QP)問題，對于小規(guī)模的QP問題，它表現出了非常優(yōu)秀的學習能力，但當訓練集樣本規(guī)模巨大時，就會出現訓練速度慢、算法復雜和效率低下等問題。為了解決這些問題，一方面，許多學者對SVM求解算法進行了廣泛研究，并取得了很多優(yōu)秀成果，如Chunking算法[4]、分解算法[5]、SMO算法[6]和FD- SVM[7]等；另一方面，新型的SVM算法被大量研究，其中非平行平面支持向量機算法是代表性成果之一。關于非平行平面支持向量機算法的研究開始于2006年，文獻[8]提出了廣義特征值中心支持向量機算法(GEPSVM)來處理兩類分類問題，考慮了最大化類間距離和最小化類內距離，對每一類樣本訓練一個分類超平面，開辟了新的決策思路。2007年，文獻[9]在GEPSVM算法的基礎上提出了孿生支持向量機算法(TWSVM)，與GEPSVM求解兩個規(guī)模較小的廣義特征值問題有所不同，TWSVM求解兩個規(guī)模較小的QP問題，訓練速度相當于傳統(tǒng)SVM的1/4。然而，許多實際問題都可歸結為多類分類問題，傳統(tǒng)SVM的多類分類算法大致分為“分解重構法”和“整體法”兩大類，代表性研究成果有：“一類對余類”[17]、“一類對一類”[18]和C&S (Crammer and Singer)方法[19]等。近年來，非平行平面支持向量機多類分類算法也開始受到很多學者的關注，涌現了一些優(yōu)秀成果[20,21]。

GEPSVM算法是最早被提出的非平行平面支持向量機算法，雖然它開辟了新的決策思路，但它依然有一些不足之處。首先，GEPSVM在訓練過程和決策過程中出現了不一致性，即：在訓練過程中，是通過比較每一個超平面和兩類訓練樣本之間的距離來尋求每一類的最優(yōu)超平面的；在決策過程中，是通過比較測試樣本和兩個超平面的距離來實現分類的。因此，這一種不一致性，在一定程度上可能會影響GEPSVM的性能。其次，GEPSVM算法是通過求解兩個廣義特征值問題來實現的，但求解廣義特征值問題的算法復雜度是，從而可能會影響模型的訓練速度。最后，GEPSVM算法本身是針對兩類分類問題提出的，不能直接處理多類分類問題。針對以上問題，本文首先針對兩類分類問題提出一類改進的基于特征分解的中心支持向量機算法(Improved GEPSVM, IGEPSVM)；然后在IGEPSVM的基礎上進一步研究多類分類問題，提出多類分類IGEPSVM算法。與GEPSVM算法相比較，IGEPSVM有如下優(yōu)點：(1)將求解廣義特征值問題轉化為求解標準特征值問題，降低了算法的復雜度；(2)引入一個新的參數，可以更好地調節(jié)模型的性能，提高了GEPSVM算法的分類精度。最后，在標準的UCI分類數據集上驗證了本文算法的有效性。

2 廣義特征值中心支持向量機(GEPSVM)

對于兩類分類問題，給定訓練樣本集：

顯然，問題式(4)的目標函數是Rayleigh商。故，優(yōu)化問題式(4)的最優(yōu)解就是廣義特征值問題：

3 基于特征值分解的中心支持向量機(IGEPSVM)

仔細分析GEPSVM算法，我們不難發(fā)現，GEPSVM算法在訓練過程和決策過程具有一定的不一致性，這可能會影響GEPSVM算法的性能。為此，我們提出一種改進的基于特征值分解的中心支持向量機算法。

3.1 兩類分類IGEPSVM

首先考慮線性情形，對于訓練樣本集式(1)，我們考察優(yōu)化模型[13]：

顯然，直接觀察式(7)是比較難以理解的。然而，式(7)有很好的幾何解釋。假設IGEPSVM尋求的兩個非平行超平面也為式(2)，那么在空間中訓練樣本點到超平面的距離為

這樣，結合式(8)，我們分別定義正類和負類訓練樣本點到正類和負類兩個超平面的4個距離：

于是，優(yōu)化模型式(7)轉化為

通過構造Lagrange函數并結合KKT條件，求解模型式(12)可以轉化為求解標準特征值問題式(13)：

因此，優(yōu)化問題式(12)的第1部分可表示為

由Rayleigh定理[22]可知，當且僅當是矩陣最小特征值時，優(yōu)化問題式(12)的第1部分的目標函數取得全局極小值。此時，最小特征值對應的單位特征向量是優(yōu)化問題式(12)的第1部分的最優(yōu)解。同理可證，優(yōu)化問題式(12)的第2部分的最優(yōu)解是矩陣的最小特征值所對應的單位特征向量。 證畢于是，當被求出后，對于新的測試樣本，它將根據式(16)，被分類到正類或負類。即

類似地，我們也可以分別定義正類和負類訓練樣本點到正類和負類兩個非線性超曲面的4個距離：

于是，建立非線性情形的優(yōu)化模型為

類似于線性情形，求解模型式(18)可以轉化為求解模型式(19)：

通過構造Lagrange函數并結合KKT條件，求解模型式(19)可以轉化為求解標準特征值問題式(20)：

類似于線性情形，關于非線性模型，我們可以得定理2。

定理2的證明過程類似于定理1，簡單起見，此處省略。于是，當被求出后，對于新的測試樣本，它將根據式(21)，被分類到正類或負類。即：

總結上述過程，可以得到兩類分類IGEPSVM算法如下：

算法1 兩類分類IGEPSVM算法

步驟1 給定訓練集式(1)；

步驟3 利用模型式(12)或式(19)訓練，求解特征值問題式(13)或式(20)得到最小特征值對應的單位特征向量；

步驟4 利用決策函數式(16)或式(21)進行分類。

3.2 多類分類IGEPSVM

這樣，對于線性多類分類問題，基于線性IGEPSVM就可以構造個相互不平行的超平面：

并構造決策函數如下：

的最小特征值對應的單位特征向量。

對于非線性多類分類問題，基于非線性IGEPSVM可以構造個超曲面：

并構造決策函數：

的最小特征值對應的單位特征向量。

總結上述過程，可以得到多類分類IGEPSVM算法如下：

算法2 多類分類IGEPSVM算法

(2)利用模型式(24)或式(28)訓練，求解特征值問題式(25)或式(29)得到最小特征值對應的單位特征向量；

End

步驟3 利用決策函數式(23)或式(27)進行分類。

3.3 計算復雜度分析

綜上可知，對于兩類分類問題，線性IGEPSVM僅需要求解兩個標準的特征值問題，其計算復雜度為，其中為訓練樣本點的特征維數，而線性GEPSVM則需要求解兩個廣義特征值問題，其計算復雜度為。對于非線性情形，我們的非線性IGEPSVM的計算復雜度為，其中為訓練樣本點的規(guī)模，而非線性GEPSVM的計算復雜度為。對于類多分類問題，IGEPSVM算法無論對線性還是非線性都需要求解個特征值問題，它們的計算復雜度分別為和。因此，由理論分析可知，IGEPSVM訓練速度要比GEPSVM快。

4 實驗結果與分析

為了驗證IGEPSVM算法的有效性，分別在8個兩類分類和6個多類分類UCI數據集上[23]進行實驗，并分別與傳統(tǒng)SVM, GEPSVM和TWSVM方法進行對比。所有實驗均以Matlab R2013a為實驗環(huán)境，以Intel P4(3.40 GHz)處理器、4 GB內存的PC為硬件平臺。在實驗過程中，使用LIBSVM工具包[24]實現傳統(tǒng)SVM，使用逐次超松弛技術(SOR)[10]來求解TWSVM中的QPP問題，使用Matlab的“eig”函數求解GEPSVM和IGEPSVM分別對應的廣義特征值問題和標準特征值問題。對于非線性情形，選擇RBF核為核函數，其中為核參數。參數選擇對于各算法性能有一定的影響，因此，對于不同的數據集，使用10-折交叉驗證方法為算法選擇最優(yōu)參數，所有算法中的參數選取范圍均為。

針對兩類分類問題，我們選擇了8個UCI數據集來驗證本文算法的有效性，表1和表2分別給出了4種算法在線性和非線性情形下的10-折交叉驗證結果和訓練時間。針對多類分類問題，我們選擇了6個UCI數據集來驗證本文算法的有效性，表3和表4分別給出了4種算法在線性和非線性情形下的10-折交叉驗證結果和訓練時間。在表1至表4中，為了更好地體現算法的優(yōu)越性，用黑體數字代表特定數據集下獲得的最高分類精度。同時，我們在表的倒數第2行給出了所有算法的平均分類精度和訓練時間，并在表的最后一行用“W-T-L”(win-tie-loss)概括了IGEPSVM算法與其它算法的性能。

對于兩類分類問題，從表1和表2中可以發(fā)現，從分類精度來說，IGEPSVM算法比GEPSVM和傳統(tǒng)的SVM表現出了更好的性能，同時也獲得了與TWSVM算法非常類似的性能；但從訓練時間上來說，本文算法表現出了更好的優(yōu)勢，雖然在非線性情形下SVM也有較好的結果，那可能是因為LIBSVM工具包實現SVM利用了SMO算法的原因。容易看出，本文方法IGEPSVM在絕大多數的數據集上訓練時間相對較少，尤其與GEPSVM方法相比較，訓練時間明顯減少，進一步驗證了本文方法是對GEPSVM方法的一種有效改進。

對于多類分類問題而言，觀察表3和表4不難發(fā)現，一方面，無論在分類精度還是訓練時間，本文IGEPSVM算法比GEPSVM算法都有所提高。另一方面，本文IGEPSVM算法與SVM和TWSVM相比較，從表3和表4的最后兩行看出，本文方法在分類精度上要稍微低一點，但也取得了較好的效果；然而，本文方法在訓練時間上總體上是有一定

表1 線性IGEPSVM與幾種算法在兩類分類UCI數據集上性能比較

數據集

IGEPSVM

GEPSVM

SVM

TWSVM

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

Australian(690×14)

86.52±3.21, 3.8563e-04

85.80±4.67, 5.1659e-04

85.51±3.86, 0.0185

86.10±4.55, 0.0381

House votes(435×16)

94.26±2.68, 2.6548e-04

94.03±2.88, 4.4901e-04

94.73±3.77, 0.0033

95.87±3.21, 0.0063

Heart-c(303×14)

84.87±5.85, 2.2177e-04

84.49±7.40, 5.4313e-04

84.83±5.41, 0.0029

85.13±5.07, 0.0277

Heart-Statlog(270×13)

84.70±4.68, 2.2044e-04

84.59±8.20, 3.5033e-04

84.44±4.88, 0.0023

84.81±4.77, 0.0333

Monk3(432×7)

83.47±5.66, 1.3137e-04

80.76±7.00, 2.2355e-04

82.59±6.03, 0.0027

85.91±3.96, 0.0464

Sonar(208×60)

81.98±7.96, 0.0032

79.31±5.59, 0.0052

81.69±6.88, 0.0035

81.93±7.28, 0.0371

Spect(267×44)

80.51±5.78, 0.0016

79.46±7.54, 0.0025

80.45±7.46, 0.0030

80.24±6.21, 0.0691

Wpbc(198×34)

80.32±2.26, 0.0010

78.18±6.88, 0.0015

80.14±6.90, 0.0022

79.89±5.23, 0.0431

平均精度/平均時間

84.58/0.0009

83.33/0.0014

84.30/0.0048

84.99/0.0376

W-T-L(勝-平-負)

8-0-0

7-0-1

4-0-4

表2 非線性IGEPSVM與幾種算法在兩類分類UCI數據集上性能比較

數據集

IGEPSVM

GEPSVM

SVM

TWSVM

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

Australian(690×14)

86.67±5.19, 0.7215

86.10±2.51, 5.2741

86.23±4.70, 0.5162

86.96±4.27, 0.7381

House votes(435×16)

95.42±2.85, 0.1356

94.12±5.05, 0.8937

95.24±4.07, 0.1112

96.32±2.49, 0.1641

Heart-c(303×14)

84.86±5.20, 0.0810

82.52±7.49, 0.2952

83.19±8.27, 0.0652

85.13±2.47, 0.0834

Heart-Statlog(270×13)

84.07±4.64, 0.0165

83.33±7.25, 0.2023

83.59±7.21, 0.0140

84.81±7.08, 0.0184

Monk3(432×7)

98.72±4.80, 0.2135

95.84±3.29, 0.8769

97.25±3.18, 0.1045

98.26±1.32, 0.2450

Sonar(208×60)

87.24±6.33, 0.0153

86.55±8.08, 0.1533

86.10±8.51, 0.0257

89.26±7.19, 0.0289

Spect(267×44)

82.71±8.96, 0.0675

80.48±8.09, 0.3178

82.46±8.54, 0.0549

82.07±5.91, 0.0709

Wpbc(198×34)

82.76±6.33, 0.0353

81.26±8.24, 0.1137

82.56±5.38, 0.0534

82.74±5.23, 0.0504

平均精度/平均時間

87.81/0.1608

86.28/1.0159

87.08/0.1181

88.19/0.1749

W-T-L(勝-平-負)

8-0-0

8-0-0

3-0-5

表3 線性IGEPSVM與幾種算法在多類分類UCI數據集上性能比較

數據集

IGEPSVM

GEPSVM

SVM

TWSVM

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

Iris(150×4×3)

96.67±5.67, 0.0012

95.33±4.66, 0.0028

95.33±4.50, 0.0034

96.53±5.84, 0.0209

Wine(178×13×3)

96.76±5.17, 0.0017

94.71±7.92, 0.0042

97.78±3.88, 0.0028

98.33±2.68, 0.0669

Seeds(210×7×3)

93.71±1.23, 0.0015

89.05±5.96, 0.0018

92.86±5.14, 0.0027

95.71±4.74, 0.0474

Dermatology(358×34×6)

95.03±6.79, 0.0080

94.14±4.97, 0.0099

95.83±3.00, 0.0121

95.25±2.63, 0.2177

Balance(625×4×3)

88.48±3.77, 0.0017

89.69±3.72, 0.0020

87.52±3.54, 0.0031

87.66±3.18, 0.2026

Car(1278×6×4)

77.78±2.85, 0.0045

73.59±2.84, 0.0068

84.78±4.13, 0.0329

77.26±4.27, 2.1232

平均精度/平均時間

91.41/0.0031

89.42/0.0046

92.35/0.0095

91.79/0.4465

W-T-L(勝-平-負)

5-0-1

3-0-3

3-0-3

表4 非線性IGEPSVM與幾種算法在多類分類UCI數據集上性能比較

數據集

IGEPSVM

GEPSVM

SVM

TWSVM

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

精度±方差(%)時間(s)

Iris(150×4×3)

97.33±3.51, 0.0100

96.67±4.71, 0.0399

96.67±3.51, 0.0121

97.33±3.44, 0.0162

Wine(178×13×3)

97.78±2.87, 0.0444

95.49±5.20, 0.0766

98.30±2.74, 0.0463

99.44±1.76, 0.1237

Seeds(210×7×3)

94.33±6.02, 0.0546

92.38±7.17, 0.1377

93.86±4.63, 0.0510

96.67±3.21, 0.1508

Dermatology(358×34×6)

96.23±4.22, 0.3165

96.39±2.64, 1.0836

96.01±5.19, 0.2205

96.65±4.11, 0.6842

Balance(625×4×3)

94.25±2.26, 0.5918

96.65±2.74, 3.7493

93.97±4.11, 0.3067

99.20±1.13, 1.2449

Car(1278×6×4)

96.20±1.47, 3.8730

94.04±1.07, 18.4988

98.67±1.22, 0.8437

98.44±0.67, 7.8442

平均精度/平均時間

96.02/0.8150

95.27/3.9310

96.25/0.2467

97.96/1.6773

W-T-L(勝-平-負)

4-0-2

4-0-2

0-1-5

優(yōu)勢的，只有在與非線性SVM比較時稍微差一些，主要原因可能是SVM采取了LIBSVM工具包和“一類對一類”的策略實現多類分類?？偠灾?，本文IGEPSVM算法是對GEPSVM算法的一種改進，無論在分類精度還是在訓練時間上都取得了比GEPSVM較好的實驗效果。

5 結束語

本文針對兩類分類問題提出了一類改進的基于特征值分解的中心支持向量機算法(IGEPSVM)，并將其推廣到多類分類問題。與GEPSVM算法相比較，本文的主要貢獻在于：首先，解決了GEPSVM模型訓練過程和決策過程不一致的問題；其次，將GEPSVM求解廣義特征值問題轉化為求解標準的特征值問題，降低了計算復雜度；最后，通過引入新的參數，可以方便調節(jié)IGEPSVM模型的性能，提高了分類精度。在UCI數據集上的實驗結果表明，本文算法比GEPSVM算法更優(yōu)越，但與SVM或TWSVM算法相比較，它們各有優(yōu)勢。近幾年來，非平行平面支持向量機已經逐漸成為模式識別和機器學習領域新的研究熱點之一，將已有的針對兩類分類問題所提出的非平行平面支持向量機算法推廣到多類分類問題以及在不同領域的應用是今后研究的重點。

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陳素根： 男，1982年生，副教授，博士生，研究方向為模式識別與智能系統(tǒng).

吳小?。?男，1967年生，教授，博士生導師，研究方向為模式識別、人工智能與計算機視覺.

Foundation Items: The National Natural Science Foundation of China (61373055, 61103128), 111 Project of Chinese Ministry of Education (B12018), Industrial Support Program of Jiangsu Province (BE2012031)

Eigenvalue Proximal Support Vector Machine Algorithm Based on Eigenvalue Decoposition

CHEN Sugen①②WU Xiaojun①

①(School of IoT Engineering, Jiangnan University, Wuxi 214122, China)②(School of Mathematics & Computational Science, Anqing Normal University, Anqing 246133, China)

To deal with the consistency problem of training process and decision process in Generalized Eigenvalue Proximal Support Vector Machine (GEPSVM), an improved version of eigenvalue proximal support vector machine, called IGEPSVM for short is proposed. At first, IGEPSVM for binary classification problem is proposed, and then Multi-IGEPSVM is also presented for multi-class classification problem based on “one-versus-rest” strategy. The main contributions of this paper are as follows. The generalized eigenvalue decomposition problems are replaced by the standard eigenvalue decomposition problems, leading to simpler optimization problems. An extra parameter is introduced, which can adjust the performance of the model and improve the classification accuracy of GEPSVM. A corresponding multi-class classification algorithm is proposed, which is not studied in GEPSVM. Experimental results on several datasets illustrate that IGEPSVM is superior to GEPSVM in both classification accuracy and training speed.

Support Vector Machine (SVM); Generalized Eigenvalue Proximal SVM (GEPSVM); Binary classification; Multi-class classification; Eigenvalue decoposition

TP391

A

1009-5896(2016)03-0557-08

10.11999/JEIT150693

2015-06-08；改回日期：2015-09-17；網絡出版：2015-11-19

吳小俊 wu_xiaojun@jiangnan.edu.cn

國家自然科學基金(61373055, 61103128), 111引智計劃項目(B12018)，江蘇省工業(yè)支持計劃項目(BE2012031)