王帥會(huì)，陳家奇，顧國超

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拉蓋爾-高斯光束在non-Kolmogorov湍流中傳輸?shù)臄?shù)值模擬

王帥會(huì)，陳家奇，顧國超

( 中國科學(xué)院長春光學(xué)精密機(jī)械與物理研究所，長春130033 )

針對大氣湍流對拉蓋爾-高斯光束的螺旋譜的影響，本文提出利用多相位屏法模擬拉蓋爾-高斯光束在大氣湍流中的傳輸。采用傅里葉變換法模擬符合non-Kolmogorov譜的大氣隨機(jī)相位屏，通過改變拓?fù)浜?、光束波長、指數(shù)參數(shù)、折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流內(nèi)尺度、外尺度等參數(shù)，對大氣湍流的影響進(jìn)行數(shù)值模擬。仿真結(jié)果表明，大氣湍流會(huì)導(dǎo)致拉蓋爾-高斯光束的螺旋譜的彌散。而且，螺旋譜彌散與拓?fù)浜伞⒉ㄩL、指數(shù)參數(shù)、折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)、內(nèi)尺度、外尺度密切相關(guān)。

non-Kolmogorov湍流；相位屏；拉蓋爾-高斯波束；拓?fù)浜?/p>

0 引 言

1992年，Allen等發(fā)現(xiàn)帶有相位因子的光束中每個(gè)光子具有的軌道角動(dòng)量[1]。這類光束稱為渦旋光束，獨(dú)特的相位結(jié)構(gòu)使其在生物醫(yī)學(xué)、信息傳輸領(lǐng)域得到了極大的重視[2-5]。與傳統(tǒng)通信相比，利用軌道角動(dòng)量進(jìn)行通信可以在不增加帶寬的情況下極大的提高數(shù)據(jù)傳輸容量，并且具有獨(dú)特的保密性[6]。然而在實(shí)際應(yīng)用中，由于大氣湍流的隨機(jī)性與不穩(wěn)定性，不可避免的會(huì)引起光束的強(qiáng)度以及相位變化，導(dǎo)致誤碼率的增加以及通信容量的降低[8-9]。研究影響光束螺旋譜的各種因素，對于提高基于軌道角動(dòng)量的通信系統(tǒng)性能具有重要的意義。研究大氣湍流對渦旋光束影響可以采用理論分析[9-10]與數(shù)值模擬的方法[11-13]。由于湍流介質(zhì)的復(fù)雜性，數(shù)值模擬方法已成為研究光束在大氣湍流中傳輸問題的一種重要手段。張慧敏、王立瑾等人對符合Kolmogorov譜的大氣隨機(jī)相位屏進(jìn)行了數(shù)值模擬，Anguita等人利用相位屏模擬的方法研究了拉蓋爾-高斯(Laguerre-Gaussian, LG)光束在Kolmogorov湍流中水平傳輸?shù)那闆r,Wen Cheng等人利用相位屏的方法研究了矢量渦旋光束在基于von Karman功率譜的大氣湍流中的傳輸[14]。而利用數(shù)值模擬法研究符合non-Kolmogorov譜的相位屏以及LG光束在其中傳輸?shù)那闆r，尚未有研究。

本文通過傅里葉變換法產(chǎn)生符合non-Kolmogorov譜的多相位屏，模擬LG光束在大氣湍流中的水平傳輸，并研究拓?fù)浜?、波長、指數(shù)參數(shù)、折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流內(nèi)尺度、外尺度等參數(shù)對LG光束的螺旋譜的影響。

1 拉蓋爾-高斯光束及螺旋譜

攜帶軌道角動(dòng)量的光束有貝塞爾光束、厄米特-貝塞爾光束、LG光束等，本文以典型的LG光束為例進(jìn)行研究。在柱坐標(biāo)系中，LG光束的表達(dá)式為

其中：，為束腰半徑，為瑞利距離，為拓?fù)浜?，為徑向指?shù)，為連帶拉蓋爾多項(xiàng)式，為光束的曲率半徑，為歸一化常數(shù)。當(dāng)拓?fù)浜刹粸?時(shí)，光束中心強(qiáng)度為零，相位為螺旋結(jié)構(gòu)。

Molina-Terriza認(rèn)為，任何一種光束都可以分解成一系列螺旋諧波的疊加[15]

其中：且。拓?fù)浜傻哪芰靠梢杂杀硎?，光束的總能量為，為真空中的介電常?shù)。因此，任一光束的螺旋諧波的權(quán)重可以表示為

假定發(fā)送端拓?fù)浜蔀?，接收端拓?fù)浜蔀?；為發(fā)送端拓?fù)浜蔀闀r(shí)，接收端接收到拓?fù)浜?)的概率。當(dāng)光束在大氣湍流中傳輸時(shí)，渦旋光束的螺旋譜就會(huì)發(fā)生彌散，原本只集中于一個(gè)或某幾個(gè)分量上的能量會(huì)發(fā)散到其它分量上，造成碼間串?dāng)_。而利用軌道角動(dòng)量進(jìn)行通信可以極大的提高系統(tǒng)的保密性和系統(tǒng)容量。因此，研究大氣湍流對渦旋光束的螺旋譜的影響具有重要的意義。

2 相位屏的產(chǎn)生

數(shù)值模擬的方法是產(chǎn)生相位屏來模擬大氣湍流。產(chǎn)生相位屏的方法可以分成兩類：一種是根據(jù)大氣湍流的功率譜密度函數(shù)得到大氣畸變相位分布，稱為傅里葉變換法[16]；另一種是用正交的Zernike多項(xiàng)式作為展開函數(shù)來描述波前相位，稱為Zernike多項(xiàng)式展開法[17]。本文采用傅里葉變換法。傅里葉變換法的基本思想是用一個(gè)復(fù)高斯矩陣對大氣湍流的功率譜進(jìn)行濾波，然后通過逆傅里葉變換得到大氣導(dǎo)致的畸變相位：

式中：是大氣畸變相位，為頻率域里的零均值、單位方差的復(fù)高斯隨機(jī)矩陣，是大氣折射率起伏引起的大氣湍流的功率譜函數(shù)。對于non-Kolmogorov功率譜：

其中：為廣義振幅且。指數(shù)的變化范圍為。，且。為外湍流尺度，為內(nèi)湍流尺度。為廣義的大氣湍流的折射率結(jié)構(gòu)參數(shù)，表征大氣湍流的強(qiáng)度，單位為。在水平傳輸時(shí)，為一固定值。那么沿方向傳播的功率譜可以表示為

而大氣相干長度0的表達(dá)式為

將式(7)代入式(6)可得，功率譜為

將式(8)代入式(4)并進(jìn)行離散化后，得到：

其中：，,分別為抽樣點(diǎn)數(shù)。

3 仿真結(jié)果與分析

結(jié)合non-Kolmogorov譜模擬生成的相位屏以及利用Huygens-Fresnel原理，就LG光束在大氣湍流中水平傳輸進(jìn)行數(shù)值模擬。這里，相關(guān)參數(shù)的選擇為：相位屏大小70 cm×70 cm，網(wǎng)格數(shù)為256×256，傳播路徑上相位屏間隔距離為50 m。由于徑向指數(shù)不影響拓?fù)浜?，?0。

當(dāng)=11/3，，時(shí)，non-Kolmogrov湍流退化為Kolmogorov湍流。此時(shí)，波長取1 550 nm，，0=0.01 m，，=1 km。LG光束在non-Kolmogorov湍流中傳輸?shù)穆菪V模擬值與文獻(xiàn)[10]的理論值對比如圖1所示，驗(yàn)證了仿真的正確性。

圖1 LG 光束在non-Kolmogorov 湍流中傳輸?shù)穆菪V模擬值與光束在Kolmogorov 湍流中傳輸理論值對比

當(dāng)波長分別取632.8 nm，850 nm，1 550 nm時(shí)，=3.8，其它參數(shù)保持不變，螺旋譜與激光波長的關(guān)系如圖2所示。當(dāng)其它條件相同時(shí)，波長越大，螺旋譜彌散得越輕微。對于同一波長，隨著拓?fù)浜傻脑龃?，螺旋譜彌散逐漸嚴(yán)重。因此，雖然理論上拓?fù)浜煽梢匀∪我庹麛?shù)，拓?fù)浜傻娜≈凳怯邢拗频摹?/p>

圖2 不同波長的LG 光束在non-Kolmogorv湍流中傳輸時(shí)的螺旋譜分布

LG光束的螺旋譜與指數(shù)參數(shù)的關(guān)系如圖3所示。由圖可知，螺旋譜的彌散情況隨著指數(shù)參數(shù)的改變而改變。首先隨著指數(shù)參數(shù)的增大，螺旋譜彌散加重。當(dāng)達(dá)到最低點(diǎn)后，螺旋譜的彌散隨著的增大而減輕。這與湍流干擾項(xiàng)密切相關(guān)，湍流干擾項(xiàng)表征大氣湍流的大小。

圖3 LG 光束的螺旋譜與指數(shù)參數(shù)a 的關(guān)系

螺旋譜與折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流內(nèi)尺度、外尺度的關(guān)系如圖4所示。當(dāng)折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)越大、內(nèi)尺度越小、外尺度越大時(shí)，螺旋譜彌散越嚴(yán)重。這是因?yàn)檎凵渎式Y(jié)構(gòu)常數(shù)越大，湍流強(qiáng)度越大；更小的內(nèi)尺度、更大的外尺度意味著湍流中有更多的湍流塊。LG光束的螺旋譜隨著湍流強(qiáng)大的增大而彌散加重。

圖4 螺旋譜與結(jié)構(gòu)常數(shù)、內(nèi)尺度、外尺度的關(guān)系曲線

(a) 結(jié)構(gòu)常數(shù)不同；(b) 內(nèi)尺度0 不同；(c) 外尺度0 不同

Fig.4 Curve of spiral spectrum of LG beam with structure constant, inner scale and outer scale

(a) Different; (b) Different0; (c) Different0

4 結(jié) 論

本文通過傅里葉變換法產(chǎn)生多相位屏，數(shù)值模擬了LG光束在non-Kolmogorov湍流時(shí)各種因素對LG光束的螺旋譜的影響。仿真結(jié)果表明，螺旋譜隨著拓?fù)浜?、折射率結(jié)構(gòu)常數(shù)、湍流外尺度的增大，光束波長、湍流內(nèi)尺度的減小而彌散加重。螺旋譜彌散首先隨著指數(shù)參數(shù)的增大而加重。當(dāng)達(dá)到最低點(diǎn)后，螺旋譜的彌散隨著指數(shù)參數(shù)的增大而減輕。仿真結(jié)果可以為激光軌道角動(dòng)量通信提供一定的指導(dǎo)。

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（三）產(chǎn)業(yè)化生產(chǎn)階段財(cái)稅激勵(lì)政策的作用。這一階段企業(yè)需要做大量工作，如需要為新技術(shù)、新產(chǎn)品尋找市場，需要給企業(yè)進(jìn)行大批量生產(chǎn)提供保障。政府在這一階段的地位比較微妙，政府直接支持固然能直接減輕企業(yè)負(fù)擔(dān)，但要避免過度干預(yù)影響市場資源配置，影響市場自身調(diào)節(jié)作用的發(fā)揮。因此，這一階段，政府一般會(huì)采用間接手段給企業(yè)提供支持，如采用稅收優(yōu)惠政策或采用政府采購政策等鼓勵(lì)企業(yè)進(jìn)行產(chǎn)業(yè)化生產(chǎn)，通過稅收優(yōu)惠降低企業(yè)產(chǎn)業(yè)化生產(chǎn)成本，提高企業(yè)成本優(yōu)勢，或者鼓勵(lì)引導(dǎo)社會(huì)資金進(jìn)入，刺激市場對產(chǎn)品的需求，幫助企業(yè)回籠資金，縮短企業(yè)資本循環(huán)周期，降低企業(yè)產(chǎn)業(yè)化生產(chǎn)的風(fēng)險(xiǎn)。

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Numerical Simulation of Laguerre-Gaussian Beam Propagation in non-Kolmogorov Turbulence

WANG Shuaihui，CHEN Jiaqi，GU Guochao

( Changchun Institute of Optics, Fine Mechanics and Physics, Chinese Academy of Sciences, Changchun 130033, China )

In order to study spiral spectrum spread after Laguerre-Gassian (LG) beam propagating through atmospheric turbulence, the method of multiple phase screen is proposed to simulate the transmission of LG beams carrying Orbital Angular Momentum (OAM) in atmospheric turbulence. Propagation of Laguerre-Gaussian beam through atmospheric turbulence is simulated using phase screen based on Fourier transform following the non-Kolmogorov spectrum and the effect induced by atmospheric turbulence is computed quantitatively for different topological charges, wavelengths, exponent parameters, structure constant of the refractive-index fluctuations, inner scales and outer scales. The simulation results show that atmospheric turbulence deteriorates spiral spectrum of LG beam. It is also shown that system performance is closely related to topological charge, wavelength, exponent parameters, structure constant of the refractive-index fluctuations, inner scales and outer scales.

non-Kolmogorov turbulence; phase screen; Laguerre-Gaussian beam; topological charge

TN929.12

A

10.3969/j.issn.1003-501X.2016.04.004

2015-05-25；

2015-08-11

王帥會(huì)(1988-)，男(漢族)，吉林長春人。研究實(shí)習(xí)員，碩士，主要從事激光及毫米波軌道角動(dòng)量方面的研究。

E-mail: wshcan912@hotmail.com。