張曉光，王新霞，王春，任秋萍，張亞平

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浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的極限概念案例教學(xué)

張曉光，王新霞，王春，任秋萍，張亞平

（黑龍江科技大學(xué) 理學(xué)院，黑龍江 哈爾濱 150022）

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)中浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化是培養(yǎng)大學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效手段．將詩(shī)歌、數(shù)學(xué)史以及具有數(shù)學(xué)文化背景的具體案例引入數(shù)列極限概念教學(xué)，再應(yīng)用類比法進(jìn)行函數(shù)極限概念教學(xué)，有利于降低極限概念的抽象度，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

數(shù)學(xué)素養(yǎng)；數(shù)學(xué)文化；極限；案例教學(xué)；類比法

高素質(zhì)、創(chuàng)新型和復(fù)合型人才是21世紀(jì)高等學(xué)校的人才培養(yǎng)目標(biāo)，而良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)是高素質(zhì)、創(chuàng)新型和復(fù)合型人才必備的基礎(chǔ)．?dāng)?shù)學(xué)素養(yǎng)主要包括5個(gè)方面的基本素質(zhì)：主動(dòng)探尋并善于抓住數(shù)學(xué)問(wèn)題中的背景和本質(zhì)的素養(yǎng)；熟練地用準(zhǔn)確、簡(jiǎn)明、規(guī)范的數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己數(shù)學(xué)思想的素養(yǎng)；具有良好的科學(xué)態(tài)度和創(chuàng)新精神，合理地提出新思想、新概念和新方法的素養(yǎng)；對(duì)各種問(wèn)題以數(shù)學(xué)方式的理性思維，從多角度探尋解決問(wèn)題的道路的素養(yǎng)；善于對(duì)現(xiàn)實(shí)世界中的現(xiàn)象和過(guò)程進(jìn)行合理的簡(jiǎn)化和量化，建立數(shù)學(xué)模型的素養(yǎng)[1]．

在高等數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化，是培養(yǎng)大學(xué)生良好數(shù)學(xué)素養(yǎng)的有效手段．?dāng)?shù)學(xué)文化有狹義和廣義的2種解釋[2]．狹義的數(shù)學(xué)文化，是指數(shù)學(xué)的思想、精神、方法、觀點(diǎn)、語(yǔ)言，以及它們的形成和發(fā)展；廣義的數(shù)學(xué)文化，則是除這些以外，還包含數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)美、數(shù)學(xué)與人文的交叉、數(shù)學(xué)與各種文化的關(guān)系．高等數(shù)學(xué)的案例教學(xué)，是指教師以案例為基本素材，創(chuàng)設(shè)（問(wèn)題）情境，通過(guò)師生及學(xué)生間多向互動(dòng)，激發(fā)學(xué)生有意義的學(xué)習(xí)，使其加深對(duì)基本原理和概念的理解，以達(dá)到建構(gòu)知識(shí)與提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題能力的一種特定教學(xué)方法，是一種理論與實(shí)際有機(jī)結(jié)合的重要教學(xué)形式．在高等數(shù)學(xué)的教學(xué)過(guò)程中融入數(shù)學(xué)文化，并結(jié)合專業(yè)以及生產(chǎn)、生活中的案例進(jìn)行教學(xué)，不僅使學(xué)生更加明確學(xué)習(xí)和生活的目標(biāo)和意義，還可以使學(xué)生受到數(shù)學(xué)文化的熏陶、感染和激勵(lì)，從而達(dá)到提高高等數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的．

極限思想是高等數(shù)學(xué)的基本思想，高等數(shù)學(xué)就是用極限來(lái)研究函數(shù)的一門學(xué)科．極限作為一條主線，貫穿于高等數(shù)學(xué)的始終．學(xué)生對(duì)極限理論的理解與掌握，直接影響到其對(duì)微積分理論和級(jí)數(shù)理論的學(xué)習(xí)效果，進(jìn)而間接影響到數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升．?dāng)?shù)列極限的定義、函數(shù)極限的定義與定義具有高度抽象性和深刻性，這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)即使對(duì)于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生而言都是非常困難的，更何況其他非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生．本文結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，對(duì)極限理論浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的案例教學(xué)進(jìn)行探討，希冀對(duì)各專業(yè)大學(xué)一年級(jí)的極限理論教學(xué)有所助益．

1極限概念教學(xué)前的文化浸潤(rùn)

1.1有限與無(wú)限

有限和無(wú)限是相互對(duì)立的2個(gè)概念．直覺上講，無(wú)限就是數(shù)不完．極限理論是以無(wú)限概念為基礎(chǔ)的[3]147．

有限與無(wú)限，具有很多美好的詩(shī)歌意境．適當(dāng)利用詩(shī)歌營(yíng)造數(shù)學(xué)文化氛圍，從教育心理學(xué)的角度，可以引發(fā)無(wú)意注意，激發(fā)有意注意．

1.1.1有限的詩(shī)歌意境南宋抗金名將岳飛的《滿江紅》中“三十功名塵與土，八千里路云和月”，“三十”與“八千”刻畫的是有限，言簡(jiǎn)而意賅；北宋詞人李之儀的《卜算子》中“我住長(zhǎng)江頭，君住長(zhǎng)江尾，日日思君不見君，共飲長(zhǎng)江水”，“頭”與“尾”描述的也是有限，言短而情長(zhǎng)．

1.1.2無(wú)限的詩(shī)歌意境唐代詩(shī)人陳子昂著樂(lè)府詩(shī)名篇《登幽州臺(tái)歌》：“前不見古人，后不見來(lái)者，念天地之悠悠，獨(dú)愴然而涕下”．其中，“前不見古人，后不見來(lái)者”二句，生動(dòng)描繪出時(shí)間的無(wú)限，即時(shí)間的正負(fù)無(wú)窮．德國(guó)18世紀(jì)著名詩(shī)人席勒曾寫過(guò)這樣的詩(shī)：“空間有三個(gè)維度．它的長(zhǎng)度綿延無(wú)窮，永無(wú)間斷；它的寬度遼闊廣遠(yuǎn)，沒有盡頭；它的深度，下降至不可知處”[3]150．該詩(shī)從長(zhǎng)度、寬度和深度3個(gè)維度直觀地刻畫了空間的無(wú)限．

1.2極限簡(jiǎn)史

因?yàn)闃O限是微積分的理論基礎(chǔ)，因而高等數(shù)學(xué)教材基本上都是按著極限——連續(xù)——微分學(xué)——積分學(xué)——微分方程——無(wú)窮級(jí)數(shù)這樣的邏輯順序來(lái)組織教學(xué)內(nèi)容的．但事實(shí)上，微積分誕生于17世紀(jì)，而嚴(yán)格的極限理論卻是到19世紀(jì)才建立起來(lái)的．讓學(xué)生知曉這種數(shù)學(xué)理論的學(xué)術(shù)形態(tài)與歷史形態(tài)的巨大差異，能給他們帶來(lái)很大的震撼與觸動(dòng)，有助于打破僵化、固化的思維，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

從古至今，人們對(duì)極限概念的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了2 000多年的漫長(zhǎng)歷程．

1.2.1樸素的極限觀古希臘的安蒂豐最早表述了“窮竭法”，他在研究“化圓為方”問(wèn)題時(shí)，提出了使用圓內(nèi)接正多邊形的面積“窮竭”圓面積的思想，這是世界上最早的極限思想．古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯改進(jìn)了安蒂豐的窮竭法，將其定義為：任意給定2個(gè)正的量，在一個(gè)量中減去比其一半還大的量，不斷重復(fù)這個(gè)過(guò)程，可以使剩下的量變得任意小．微積分學(xué)的先驅(qū)——阿基米德進(jìn)一步完善了“窮竭法”，并將其廣泛應(yīng)用于求解曲面面積與旋轉(zhuǎn)體體積．

樸素直觀的極限觀在我國(guó)古代的文獻(xiàn)中就有記載．《莊子·天下篇》中記載了惠施的一段話，將其稱為“截杖問(wèn)題”：一尺之棰，日取其半，萬(wàn)世不竭[4]．意思是說(shuō)，一尺長(zhǎng)的木棒，每天截下去它的一半，這個(gè)過(guò)程可以永遠(yuǎn)進(jìn)行下去．這里“棰”是木字旁，意思是木棒，有人將其誤寫為“錘”，就不對(duì)了．當(dāng)然，這段話的正確性要建立在物質(zhì)無(wú)限可分的前提條件下．我國(guó)三國(guó)時(shí)期魏國(guó)數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中用“割圓術(shù)”求圓的面積，即作圓的內(nèi)接正六邊形，然后逐漸倍增邊數(shù)，依次算出內(nèi)接正6邊形、正12邊形、……、正192邊形的面積．“割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓合體而無(wú)所失矣”——這是“割圓術(shù)”所反映的樸素的極限思想．劉徽的“割圓術(shù)”與安蒂豐的“窮竭法”不謀而合[5]41．

1.2.2神秘的極限觀——第2次數(shù)學(xué)危機(jī)17世紀(jì)，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何學(xué)，將變量和函數(shù)引入數(shù)學(xué)，使描述運(yùn)動(dòng)和變化成為可能．17世紀(jì)下半葉，英國(guó)的數(shù)學(xué)家牛頓和德國(guó)數(shù)學(xué)家萊布尼茲在前人大量工作的基礎(chǔ)上，分別在研究力學(xué)與幾何學(xué)的過(guò)程中創(chuàng)立了微積分．然而，他們的微積分中涉及的極限概念十分含糊不清，常常不能自圓其說(shuō)．如牛頓在1704年發(fā)表了《曲線的求積》一文，其中確定了的導(dǎo)數(shù)（他當(dāng)時(shí)稱為流數(shù)），牛頓的方法意譯如下：當(dāng)增長(zhǎng)為時(shí)，冪成為，即，它們的增量分別為和，這2個(gè)增量與的增量的比分別為1與．然后讓增量消失，則它們的最后比將為1∶，從而對(duì)的變化率為．其中：叫作“瞬”，表示的無(wú)窮小增量．這里既可以做分母，又可忽略，即既不等于零，又等于零．這一缺陷被英國(guó)著名的唯心主義哲學(xué)家貝克萊主教抓住，他在《分析學(xué)家》中對(duì)微積分的基礎(chǔ)進(jìn)行了強(qiáng)有力的批評(píng)，嘲笑是“消失的量的幽靈”，從而引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第二次危機(jī)．直到19世紀(jì)嚴(yán)格的極限理論建立，第二次數(shù)學(xué)危機(jī)才消除．

1.2.3嚴(yán)格的極限理論為了克服無(wú)窮小帶來(lái)的困難，在18~19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家提出了許多方案．第1個(gè)為補(bǔ)救第2次數(shù)學(xué)危機(jī)提出真正有見地的意見的是法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾，他給出了極限的較明確的定義：一個(gè)變量趨于一個(gè)固定量，趨于程度小于任何給定量，且變量永遠(yuǎn)達(dá)不到固定量．可惜的是達(dá)朗貝爾也沒有把它公式化，這就使得他的極限概念仍是描述性的、通俗的．但是他所定義的極限已初步擺脫了幾何和力學(xué)的直觀原型．因此，達(dá)朗貝爾的極限概念被看作是現(xiàn)代嚴(yán)格極限理論的先導(dǎo)．

到了19世紀(jì)，數(shù)學(xué)家開始轉(zhuǎn)向微積分基礎(chǔ)的重建．許多微積分中的重要概念，如極限、函數(shù)的連續(xù)性和級(jí)數(shù)的收斂性等都被重新考慮．1817年，捷克數(shù)學(xué)家波爾查諾首先拋棄無(wú)窮小概念，用極限觀念給出導(dǎo)數(shù)和連續(xù)性的定義，并得到判別級(jí)數(shù)收斂的一般準(zhǔn)則，還建立了確界存在原理，可惜他的工作被長(zhǎng)期埋沒．

嚴(yán)格的極限理論是由法國(guó)數(shù)學(xué)家柯西初建，由德國(guó)數(shù)學(xué)家魏爾斯特拉斯完成的．

1821年，柯西在《分析教程》中寫道：當(dāng)一個(gè)變量逐次所取的值無(wú)限趨于一個(gè)定值，最終使變量的值和該定值之差要多小有多小，這個(gè)定值叫做所有其它值的極限．可見，柯西使極限概念明確地成為算術(shù)的，而擺脫了長(zhǎng)期以來(lái)的幾何說(shuō)明．他提出了極限理論的方法，把整個(gè)極限用不等式來(lái)刻畫．他引入“l(fā)im”來(lái)表示極限，并且用希臘字母表示任意小的差，但更多時(shí)候用表示任意小的差．以極限定義為基礎(chǔ)，柯西給出了無(wú)窮小和無(wú)窮大定義，澄清了無(wú)窮小的概念，把無(wú)窮小量從難圓其說(shuō)的尷尬境地中解脫出來(lái)[5]42．

在19世紀(jì)末，魏爾斯特拉斯完成了數(shù)學(xué)分析算數(shù)化的2個(gè)規(guī)劃：（1）邏輯地構(gòu)造實(shí)數(shù)系；（2）從實(shí)數(shù)系出發(fā)去定義極限概念、連續(xù)性、可微性、收斂和發(fā)散．規(guī)劃的第2部分是由引進(jìn)精確的語(yǔ)言而完成的，現(xiàn)今的高等數(shù)學(xué)教材上函數(shù)在有限點(diǎn)處的極限定義正是同樣的語(yǔ)言．這一語(yǔ)言給出了極限的準(zhǔn)確描述，消除了歷史上各種模糊的用語(yǔ)，諸如“最終比”、“無(wú)限地趨近于”等．

以上即是極限理論的簡(jiǎn)史．極限理論的嚴(yán)格化對(duì)微積分基礎(chǔ)的建立有著十分重大的意義，它使微積分的發(fā)展達(dá)到了一個(gè)全新的、廣闊的境界．

上官星雨小心翼翼地唱，她有著天籟一般的好嗓子，李離聽著，不由得上前一步，將她空出來(lái)的左手拉起來(lái)。這個(gè)可憐的姑娘，她的姓氏，會(huì)給她帶來(lái)才華天分，也會(huì)帶來(lái)血光劍影吧，誰(shuí)知道，她在逃出長(zhǎng)安之前，經(jīng)受過(guò)多少孤單與恐懼。她歌聲甫歇，余音纏繞在山洞里，久久不散，等最后一絲歌聲消失掉的時(shí)候，她手中的火把也燒到了盡頭，李離趕緊松開她的手，將自己滅掉的火把又重新點(diǎn)燃起來(lái)。

2浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的極限案例教學(xué)

極限理論是高等數(shù)學(xué)學(xué)科體系建立的基石，而數(shù)列的極限是極限知識(shí)結(jié)構(gòu)體系中最為簡(jiǎn)單的部分．因此，高等數(shù)學(xué)教材中極限定義都是先數(shù)列而后函數(shù)．雖然現(xiàn)在的大一新生在高中都學(xué)習(xí)過(guò)簡(jiǎn)單的極限定義和極限計(jì)算，但高等數(shù)學(xué)中的極限定義具有高度抽象性和深刻性，這部分內(nèi)容對(duì)于各個(gè)學(xué)科專業(yè)的學(xué)生而言都是非常難于理解的．因而，數(shù)列極限的定義為極限理論教學(xué)的重中之重，只要學(xué)生理解了數(shù)列極限，函數(shù)極限的理解自然迎刃而解．

為避免不必要的重復(fù)，以下略去教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)施中的多數(shù)常規(guī)部分，而重點(diǎn)對(duì)浸潤(rùn)到極限概念教學(xué)中的數(shù)學(xué)文化以及案例教學(xué)部分作以簡(jiǎn)要介紹．

2.1數(shù)列的極限

列舉幾個(gè)有代表性的數(shù)列，學(xué)生觀察、判斷它們的斂散性以及收斂數(shù)列的極限：（1）

數(shù)列（3）的數(shù)學(xué)文化背景為分形幾何中的Koch雪花（見圖1）[6]．在分形幾何中，Koch雪花可通過(guò)遞歸的方法生成．設(shè)正三角形的周長(zhǎng)為，即周長(zhǎng)（見圖2）．將每邊三等分，以中間三分之一段為邊向外做正三角形，每一條邊生成４條新邊，新邊長(zhǎng)為原來(lái)連長(zhǎng)的，故六角星總周長(zhǎng)（見圖3），依次進(jìn)行下去，得，…．

本節(jié)課的目的是要尋求精確的、定量化的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)刻畫數(shù)列極限的定義，關(guān)鍵問(wèn)題是如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫“無(wú)限接近”．按照由特殊到一般的研究問(wèn)題的方向，以數(shù)列（5）為例，令，借助刻畫與接近的程度，再引入任意小的正數(shù)來(lái)限制與接近的程度，進(jìn)而通過(guò)歸納得到數(shù)列極限的語(yǔ)言．

定義1[7]20若存在，對(duì)于任意（無(wú)論它多么?。偞嬖?，當(dāng)時(shí)，恒有成立，則稱收斂于，或稱為的極限，記作或（）．

表1　極限定義中自變量變化趨勢(shì)與因變量變化趨勢(shì)的刻畫

此外，數(shù)列極限的唯一性、收斂數(shù)列的有界性以及收斂數(shù)列的局部保號(hào)性的證明，都采用了化一般為特殊的解決問(wèn)題的方式，即構(gòu)造與性質(zhì)和命題有關(guān)的特殊的．

2.2函數(shù)的極限

簡(jiǎn)單地說(shuō)，通常的函數(shù)與數(shù)列相比，不同之處在于函數(shù)的自變量在數(shù)軸上是連續(xù)取值的，而數(shù)列的自

變量是在數(shù)軸上的正整數(shù)點(diǎn)處離散取值的．函數(shù)的極限分自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限與自變量趨于無(wú)

窮大時(shí)函數(shù)的極限２種，通常的高等數(shù)學(xué)教材都是先介紹自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限定義，而后才是自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義．為了利于將抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言所代表的新知識(shí)與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的語(yǔ)言建立非人為和實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系，激發(fā)有意義的學(xué)習(xí)，在實(shí)踐中調(diào)整了2種極限的教學(xué)順序，采用類比法進(jìn)行函數(shù)極限概念的教學(xué)．

定義2[7]20若存在，對(duì)于任意，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為時(shí)的極限，記作或（）．

定義3[7]23若存在，對(duì)于任意，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為時(shí)的極限，記作或（）．

定義4[7]26若存在，對(duì)于任意，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為時(shí)的極限，記作或（）．

將定義2與定義4合并起來(lái)，即可得到自變量趨于無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義．

定義5[7]28若存在，對(duì)于任意，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為時(shí)的極限，記作或（）．

2.2.2自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)的極限依舊從特例出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生應(yīng)用類比思維，依據(jù)因變量的刻畫方式自行探究與發(fā)現(xiàn)自變量的刻畫方式：．由于的過(guò)程中≠，因而自變量的精確刻畫方式為（見表1），得到自變量趨于有限值時(shí)函數(shù)極限的定義．

定義6[7]30若存在，對(duì)于任意，存在，當(dāng)時(shí)，恒有，則稱為當(dāng)時(shí)的極限，簡(jiǎn)稱在點(diǎn)的極限，記作或（）．

3結(jié)語(yǔ)

極限思想是人們?cè)谡J(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)世界過(guò)程中逐步形成的，它使人們對(duì)數(shù)學(xué)世界的認(rèn)識(shí)實(shí)現(xiàn)了由有限到無(wú)限的質(zhì)的飛躍．高等數(shù)學(xué)教學(xué)的首要任務(wù)是培養(yǎng)學(xué)生的極限思想，從而為進(jìn)一步培養(yǎng)微積分思想打下基礎(chǔ)．

浸潤(rùn)數(shù)學(xué)文化的極限概念案例教學(xué)，通過(guò)有限與無(wú)限的詩(shī)歌意境、極限簡(jiǎn)史的介紹和具有數(shù)學(xué)文化背景的具體案例的引入，引起學(xué)生的無(wú)意注意，激發(fā)有意注意與有意后注意[8]．進(jìn)行數(shù)列極限概念教學(xué)，并以此為基礎(chǔ)，通過(guò)類比法進(jìn)行函數(shù)極限概念教學(xué)，化難為易，使學(xué)生在理解抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言的同時(shí)，將數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法和文化背景內(nèi)化為自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．

[1] 包長(zhǎng)明．如何培養(yǎng)中學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)[J]．吉林省教育學(xué)院學(xué)報(bào)：中學(xué)教研版，2009（6）：59-59

[2] 顧沛．?dāng)?shù)學(xué)文化課中的素質(zhì)教育[C]//大學(xué)數(shù)學(xué)課程報(bào)告論壇2006年論文集．北京：高等教育出版社，2007：58-63

[3] 張順燕．?dāng)?shù)學(xué)的美與理[M]．北京：北京大學(xué)出版社，2004：147-150

[4] 湯炳興．在概念教學(xué)中“學(xué)數(shù)學(xué) 做數(shù)學(xué) 用數(shù)學(xué)”[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2002，11（4）：38-41

[5] 王曉碩．極限概念發(fā)展的幾個(gè)歷史階段[J]．高等數(shù)學(xué)研究，2001（9）：40-43

[6] 李心燦．高等數(shù)學(xué)應(yīng)用205例[M]．北京：高等教育出版社，1997：31-33

[7] 同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系．高等數(shù)學(xué)（上冊(cè)）[M]．7版．北京：高等教育出版社，2014：20-31

[8] 夏鳳琴．教育心理學(xué)[M]．北京：高等教育出版社，2013：80-83

The case teaching of limit concept infiltrated with mathematical culture

ZHANG Xiao-guang，WANG Xin-xia，WANG Chun，REN Qiu-ping，ZHANG Ya-ping

（School of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin 150022，China）

Infiltrating mathematical culture into the teaching of higher mathematics is an effective means to cultivate students' good mathematical accomplishment. Introducing poetry，mathematics history into the sequence limit concept teaching together with specific cases with mathematical culture background，then using analogy method for the function limit concept teaching，will help to reduce the abstract degree of limit concept，and enhance students' mathematical accomplishment.

mathematical accomplishment；mathematical culture；limit；case teaching；analogism

O171∶G642.0

A

10.3969/j.issn.1007-9831.2016.04.015

2016-01-03

黑龍江省高等教育教學(xué)改革項(xiàng)目（JG2013010493）；黑龍江省高等教育學(xué)會(huì)“十二五”高等教育科研項(xiàng)目（14G106）；黑龍江科技大學(xué)教學(xué)研究項(xiàng)目（JY14-133）

張曉光（1974-），女，黑龍江哈爾濱人，副教授，碩士，從事數(shù)學(xué)教學(xué)論研究．E-mail：zxgwwm@sohu.com

1007-9831（2016）04-0053-06