兩個帶同性電荷導(dǎo)體球之間一直保持排斥力的條件

李　多, 李蘭秀, 陳家偉

(1.北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京　100875； 2. 北京師范大學(xué) 系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京　100875)

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兩個帶同性電荷導(dǎo)體球之間一直保持排斥力的條件

李多1, 李蘭秀1, 陳家偉2

(1.北京師范大學(xué) 物理學(xué)系，北京100875； 2. 北京師范大學(xué) 系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院，北京100875)

兩個帶同性電荷導(dǎo)體球之間的相互作用是大學(xué)物理教學(xué)中的重要問題.已有研究結(jié)果表明：在一般情況下兩球之間會存在吸引力，但在兩球電荷與半徑比值相關(guān)的特殊條件下，兩球之間會一直是排斥力.本文首先通過相互作用的定性討論，推廣了兩球之間一直是排斥力的條件，拓展了兩球之間一直是排斥力的參數(shù)區(qū)間.然后利用由系列電象法求出的兩導(dǎo)體球的電容系數(shù)，用數(shù)值計算方法驗證了定性分析的結(jié)論，發(fā)現(xiàn)兩個帶同性電荷的導(dǎo)體球確實可以在更寬泛的參數(shù)條件下一直保持排斥力.

導(dǎo)體；電勢能；電容系數(shù)；相互作用

兩個同性帶電導(dǎo)體球之間的相互作用，是大學(xué)物理教學(xué)中一個非常令人感興趣的問題，《大學(xué)物理》雜志已發(fā)表多篇文章對此作過討論[1-4].已有研究指出，在一般情況下，作用力可以有斥力、為零和吸引力的復(fù)雜情況[5-7]，國內(nèi)外學(xué)者使用不同方法也給出了類似的研究結(jié)論[8-12].在關(guān)于這一問題的研究中，一個有趣的問題是：什么條件下兩球?qū)⑹冀K為斥力呢？文獻(xiàn)[4]指出，兩個同性導(dǎo)體球始終表現(xiàn)為斥力，并不僅僅限于R1=R2、Q1=Q2的情況.給定兩導(dǎo)體球的半徑R1≠R2時，只要導(dǎo)體球帶同性電荷且電量Q1和Q2滿足一定的比例關(guān)系，則兩球始終表現(xiàn)為斥力，為回答這一問題做出了可貴的貢獻(xiàn).國外學(xué)者的研究也有類似的結(jié)論，例如John Lekner教授就在2012年的研究結(jié)論中指出：除非兩球的電荷比例和半徑比例滿足一定的條件(電荷按照兩球接觸后達(dá)到靜電平衡時的比例分配)，兩球的相互作用不會是始終排斥的[9].以上研究結(jié)果加深了我們對同性帶電導(dǎo)體球之間相互作用的認(rèn)識.接下來的問題是：特定的比例關(guān)系是兩同性帶電導(dǎo)體球始終排斥的充分必要條件嗎？兩個帶同性電荷的導(dǎo)體球之間，能否在更寬泛的參數(shù)條件下，一直保持相互排斥的作用力呢？在本文中，我們首先通過對兩個半徑相等的帶電導(dǎo)體球之間相互作用的定性討論，論證兩個導(dǎo)體球可以在更寬泛的電荷比例條件下始終保持相互排斥，然后利用系列電象法獲得解析結(jié)果[8]，通過計算機(jī)數(shù)值計算方法，針對半徑相等以及半徑不等的更一般的情形，從數(shù)值上驗證了以上結(jié)論，對兩個帶同性電荷導(dǎo)體球之間的相互作用給出了更完整的物理圖像.

1　電容、電勢系數(shù)，電勢能與作用力

設(shè)有兩個導(dǎo)體球Ⅰ和Ⅱ，半徑分別為R1和R2，球心間的距離為d(d=R1+R2+x，x>0).則兩個導(dǎo)體球上的電荷量Q1、Q2和電位V1、V2滿足以下關(guān)系：

Q1=C11V1+C12V2，

Q2=C21V1+C22V2

(1)

或

V1=P11Q1+P12Q2，

V2=P21Q1+P22Q2

(2)

其中C和P分別是電容系數(shù)和電勢系數(shù)，由兩球大小及相對位置決定，系數(shù)之間有以下關(guān)系：

(3)

導(dǎo)體球系統(tǒng)的電勢能為

(4)

而兩球之間的相互作用力則為

(5)

本文中我們只關(guān)心兩帶同性電荷導(dǎo)體球的相互作用，所以在以下討論中Q1和Q2為同號電荷.

2　兩個半徑相等的帶同性電荷導(dǎo)體球之間的相互作用

(6)

已知當(dāng)兩球電量相等時，即Q1=Q2=Q時，兩球間將始終為排斥力，所以有

(7)

(8)

3　利用電容系數(shù)級數(shù)解的數(shù)值計算結(jié)果

為了驗證以上結(jié)果，同時得到兩球間相互作用的全面圖像，我們利用電容系數(shù)的解析結(jié)果進(jìn)行了數(shù)值計算.為了使數(shù)值結(jié)果準(zhǔn)確可信，我們使用了文獻(xiàn)[3]和文獻(xiàn)[5]中提供的兩種電容系數(shù)解析表達(dá)式，文獻(xiàn)[3]給出：

(9)

其中

(10)

文獻(xiàn)[5]給出：

(11)

其中

(12)

數(shù)值計算中取R1=R2=1.0，最小距離單位為110-8，求和項數(shù)為1000項，全部使用雙精度運(yùn)算，結(jié)果發(fā)現(xiàn)兩個表達(dá)式所給出的結(jié)果基本一致，并與文獻(xiàn)[3]中相應(yīng)結(jié)果相同.計算的基本程序是：首先按照電容系數(shù)的級數(shù)解得到電容系數(shù)與兩球心間距的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)定義計算電勢系數(shù)P11、P12及其對兩球球心間距的偏導(dǎo)數(shù)和，進(jìn)而根據(jù)式(8)得到在給定參數(shù)m的情況下兩球間的相互作用力跟兩球間距之間的函數(shù)關(guān)系.

表1　數(shù)值計算結(jié)果

通過決定兩球體系電勢能式(4)以及相互作用力的式(8)，我們可以計算出導(dǎo)體球體系電勢能曲線和相應(yīng)的相互作用力曲線，圖1就是在不同電荷比例下相互作用力的變化曲線.不失一般性，我們只給出了m>1的結(jié)果，m的取值標(biāo)注在相應(yīng)的曲線旁.從相應(yīng)曲線變化中可以看出，當(dāng)電荷比在m=1.0附近時(數(shù)值計算結(jié)果為m在1.0～1.043 8之間)，體系的電勢能單調(diào)下降，兩個導(dǎo)體球之間只存在排斥力；而當(dāng)電荷比大于1.0438時，兩導(dǎo)體球之間才會出現(xiàn)吸引力.因此，當(dāng)兩個導(dǎo)體球半徑相等時，Q1=Q2只是兩個導(dǎo)體球一直僅僅存在排斥相互作用的充分條件，并不是必要條件.

圖1　給定不同電荷比例m值時，相互作用力隨兩球間距的變化.可以發(fā)現(xiàn)，在m=1(虛線)和m=1.04(實線)時，兩導(dǎo)體球之間都會一直保持排斥力

在更一般的情形下，任意給定兩導(dǎo)體球的半徑R1和R2，文獻(xiàn)[4]證明了在如下的電荷比例關(guān)系下，兩球?qū)⑹冀K保持為斥力：

(13)

其中d=R1+R2. 取R1=1.0，Q10=1.0，且R2=R1/2.0，則滿足式(13)要求的電荷比例為Q20=0.290 072，在此基礎(chǔ)上，我們改變導(dǎo)體球Ⅱ的電荷使Q2=mQ20，可以得到與第二節(jié)中定性一致的電勢能和作用力變化曲線，說明我們的相關(guān)結(jié)果具有一般意義.也就是說，嚴(yán)格的比例關(guān)系，僅僅是使得同性導(dǎo)體球之間一直保持為斥力的充分條件，并不必要.在一個更為寬泛的參數(shù)條件下，同性導(dǎo)體球之間仍然可以一直保持為斥力.

4　小結(jié)

以上定性分析和數(shù)值計算結(jié)果，使我們對兩同性帶電導(dǎo)體球之間的相互作用有了一個更為完整的理解，特別是關(guān)于兩個同性導(dǎo)體球一直保持為斥力的條件.給定兩個導(dǎo)體球半徑，由式(13)可以確定兩球的標(biāo)準(zhǔn)電荷比，研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)兩球的電荷滿足這一標(biāo)準(zhǔn)比例關(guān)系或僅僅與之相差一個小的比例系數(shù)時，兩球?qū)⑹冀K保持相互排斥.嚴(yán)格的比例關(guān)系，僅僅是使同性導(dǎo)體球之間一直保持為斥力的充分條件，并不必要.在一個更為寬泛的參數(shù)條件下，同性導(dǎo)體球之間仍然可以一直保持為斥力.

[1]丁銳猛，陳乃強(qiáng).關(guān)于兩個帶電導(dǎo)體球相互作用力問題的討論[J].大學(xué)物理，1983(4)：17-21.

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[12]Kiril Kolikov, Dragia Ivanov, Georgi Krastev, et al.Electrostatic interaction between two conducting spheres[J]. Journal of Electrostatics,2012,70:91-96.

The condition for two conductor spheres with the same charge always keep repel

LI Duo1, LI Lan-xiu1, CHEN Jia-wei2

(1. Department of Physics, Beijing Normal University, Beijing 100875, China;2. School of System Science, Beijing Normal University, Beijing 100875, China)

When two conductor spheres are charged with the same charge, their interaction is an interesting problem for both research and teaching. Through the qualitative discussion and the numerical simulation, the condition for the two spheres with the same charge always keep repel is extended. Based on the relationship of the electric potential energy and the distance between two spheres, the general condition for two spheres are always repelling is given. It is found that the previous condition with exactly ratio of radius and charges is actually the sufficient condition. In more general conditions, two spheres with the same charges can keep repel all along.

conductor; electric potential energy; electric capacity coefficient; interaction

2015-05-25；

2015-10-09

國家社會科學(xué)基金項目(14BSH024)資助

李多(1978—)，女，黑龍江伊春市人，北京師范大學(xué)物理學(xué)系高級實驗師，碩士，主要從事大學(xué)物理演示實驗的研究工作.

O 441.6

A

1000- 0712(2016)02- 0017- 04