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      含時微擾論中的一個基本定理及其在分析非周期含時項的作用

      2016-10-15 03:31:31陳冰瑾劉全慧
      大學(xué)物理 2016年8期
      關(guān)鍵詞:微擾湖南大學(xué)科學(xué)出版社

      陳冰瑾,劉全慧

      (湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙 410082)

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      含時微擾論中的一個基本定理及其在分析非周期含時項的作用

      陳冰瑾,劉全慧

      (湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)

      文獻常常在一般意義下認為含時微擾論僅僅在短時間內(nèi)成立,其實是不對的,其錯誤在于把一些非周期時間項直接計算對概率的貢獻所致.本文首先介紹了含時微擾論中的一個基本定理,進而發(fā)現(xiàn)很多非周期含時項,其實是相位因子的微擾展開的結(jié)果.

      量子力學(xué);含時微擾論;相因子

      含時微擾論中有如下基本問題:設(shè)系統(tǒng)在初始時刻處在原來未擾動系統(tǒng)某一個能量本征態(tài)上,初始時引入微擾,問這個系統(tǒng)處在這個本征態(tài)上狀態(tài)的改變.

      本文從基本而簡單的角度討論這個問題.發(fā)現(xiàn)對于一大類系統(tǒng),時間的影響本質(zhì)來之相位,“擾動的效果依賴于(微擾)強度和延續(xù)時間的乘積”之類的觀點來自于我們在近似處理不當導(dǎo)致的錯覺.

      接下來的第1節(jié)討論含時微擾論的一個基本定理,第2節(jié)利用該定理討論了一個典型的二能級系統(tǒng),第3節(jié)討論和結(jié)論.

      1 含時微擾論的一個基本定理

      考慮含有小擾動項的哈密頓量H=H0+H′(t),其中H0不含時間,而含時部分H′(t)為小量.零級近似哈密頓量H0可以嚴格處理,其本征函數(shù)集構(gòu)成Hilbert空間的一組完備基:

      H0φm=Emφm

      (1)

      含時薛定諤方程:

      (2)

      的解ψ(t)可以用H0給出的完備集{φm}展開:

      (3)

      展開系數(shù)cm(t)其實就是在H0表象中的概率幅.

      薛定諤方程(2)可以改寫為另外一種形式:

      (4)

      其中

      (5)

      方程(4)往往無法嚴格求解,需要求助于微擾近似方法.微擾近似的含義是cn(t)可以逐級展開:

      (6)

      (7)

      這個方程的零級解即初始條件ψ(0):

      (8)

      需要處理的一個典型問題是,初始時刻系統(tǒng)處于H0的某個定態(tài),例如

      (9)

      然后再看t≥0加入微擾后系統(tǒng)躍遷到其他態(tài)的概率幅cm(t)(m≠n).準確到一級近似,有

      (10)

      此式又稱為躍遷概率幅,它表示從初態(tài)φn到末態(tài)φm(m≠n)的概率幅的主要部分.

      對這一典型問題,有如下基本定理.

      定理:t時刻系統(tǒng)處于初始能量本征態(tài)φn上概率幅相位因子,其主要貢獻來自第1、2級修正.

      證明:

      注意到態(tài)矢量的歸一化條件:

      1=〈ψ(t)|ψ(t)〉=

      (11)

      由于式(10)中的矩陣元〈n|H′|m〉中的非對角部分不可能全都為零,即cm(t) (m≠n)不可能全都為零.于是有

      (12)

      (13)

      注意這個結(jié)果可以從兩個角度來分析.第一,問題的出發(fā)點不是展開到二級,而是說cn(t)的主要部分一定來自二級修正.第二,從展開到二級的角度看,相位必須也要展開到二級,也就是

      (14)

      證畢.

      下面給出兩個推論.

      推論一:t時刻系統(tǒng)處于初始定態(tài)的一級修正只可能是一個相位因子,其明顯形式是

      (15)

      其中

      (16)

      推論二:一般而言,如果在全部時間范圍內(nèi)總是滿足

      (17)

      則|cn(t)|在全部時間范圍內(nèi)都不會發(fā)散.

      這個推論看似平庸,其實極不平凡.關(guān)鍵是,如果全部時間范圍內(nèi),式(17)成立,則cn(t)中的非周期貢獻要么本質(zhì)來自周期性要么是來自相因子.可參考后面[式(24)]對含時項ωt的處理.

      (18)

      也就是

      (19)

      2 對含時微擾論的一個典型問題的討論

      國內(nèi)的量子力學(xué)教科書常編有如下一道習(xí)題或者其變形[4-8],這道題目也經(jīng)常出現(xiàn)在高校和科研院的碩博研究生的《量子力學(xué)》考題中.

      下面利用含時微擾論的標準理論計算試求t時刻系統(tǒng)依然處在基態(tài)上的概率,準確到第二級近似.

      零級近似哈密頓量H0的本征函數(shù)可以記為

      (20)

      它張開了一個完備的Hilbert空間,在這個空間中,可以在任意精度上,求得這個問題的解.ω≡(E2-E1)/h.

      利用微擾法,很容易得一級近似的解為

      (21)

      所以,系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的概率(準確到一級近似)是

      (22)

      從式(19)可知,c1(t)不會出現(xiàn)和時間的整數(shù)冪增長的項.可是,微擾論的一般理論給出的c1(t)的二級近似是

      (23)

      最后得到c1(t)(準確到二級近似)

      (24)

      (25)

      和式(19)相比較,完全符合基本定理.

      下面和嚴格結(jié)果比較.

      嚴格結(jié)果是[4-8]

      (26)

      (27)

      由于只對處在基態(tài)上的二級近似感興趣,故需要對Ω展開到二級近似:

      (28)

      (29)

      (30)

      得二級近似,

      (31)

      (32)

      3 討論和結(jié)論

      設(shè)一個系統(tǒng)沒有簡并,在初始時刻處在原來未擾動系統(tǒng)某一個能量本征態(tài)上,初始時引入微擾.如果微擾不大,系統(tǒng)在足夠長的時間內(nèi)躍遷到其他態(tài)的概率還是周期性的.系統(tǒng)會處在原來的能量本征態(tài),和初始態(tài)的主要差別應(yīng)當體現(xiàn)在相位因子上.

      為了證明這一點,本文首先證明了一個定理,然后發(fā)現(xiàn)了文獻中普遍忽視了非周期時間項本質(zhì)來自相位,“擾動的效果依賴于(微擾)強度和延續(xù)時間的乘積”之類的觀點的確來自于我們在近似處理導(dǎo)致的錯覺.

      注意到這個含時因子exp(i(γ/(hω)2ωt)其實導(dǎo)致了對能級的改變即重整化.這個重整化過程的一般性方法應(yīng)該是微擾論中的Poincaré-Lindstedt方法.[9]在今后的研究中,我們將更深入研究這個問題.

      有文獻注意到含時相因子的一級修正,但是幾乎沒有文獻注意到相因子中的二級修正.也有文獻[10]分析了簡并系統(tǒng)中,非周期時間項對概率的非周期貢獻,這個問題不在本文的主題之內(nèi).

      還有一些問題值得進一步研究,這些問題包括:問題更一般的討論,周期性擾動,非簡并系統(tǒng)等等.

      [1]BallentineLE.QuantumMechanicsAModernDevelopment[M].Singapore:WorldScientific, 1998:354.

      [2]Cohen-TannoudjiC,DiuBLaloeF.QuantumMechanics(Volume2)[M],NewYork:JohnWiley,1977:1290.

      [3]張永德.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2006:336.

      [4]曾謹言.量子力學(xué)(卷Ⅰ) [M].5版.北京:科學(xué)出版社,2013:410, 習(xí)題12.4.

      [5]曾謹言.量子力學(xué)教程[M].3版.北京:科學(xué)出版社,2014:226, 習(xí)題11.3.

      [6]錢伯初.量子力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006:295, 習(xí)題11.3.

      [7]錢伯初,曾謹言.量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析 [M].3版.北京:科學(xué)出版社 2008:382, 習(xí)題13.4.

      [8]張鵬飛,阮圖南,朱棟培,等.量子力學(xué)習(xí)題指導(dǎo)[M].中國科技大學(xué)出版社,2009:235,習(xí)題11.3.

      [9]https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Lindstedt_method

      [10]SakuraiJJ,NapolitanoJ.ModernQuantumMechanics(SecondEdition) [M].NewYork:AddisonWesley, 2011:360.

      Afundamentaltheoremintime-dependentquantumtheoryanditsapplicationtoanalysisofnon-periodicalterms

      CHENBing-jin,LIUQuan-hui

      (InstituteofTheoreticalPhysics,SchoolofPhysicsandMicroelectronicScience,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)

      Textbooksonquantummechanicsusuallyassertthatperturbationtheoryholdstrueonlyforsufficientshorttime.Thismistakeresultsfromdirectcontributionofthenon-periodicaltimetermintoprobabilities.Wefirstintroduceafundamentaltheoreminthetime-dependentquantumtheory,thenpointoutthatthenon-periodicaltimetermsareinfactperturbationexpansionsoftime-dependentphasefactor.

      quantummechanics;time-dependentquantumtheory;phasefactor

      2015-11-16;

      2016-01-30

      國家自然科學(xué)基金資助課題(11175063);湖南大學(xué)教改基金資助課題

      陳冰瑾(1992—),女,山東青島人,電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)士,湖南大學(xué)理論物理研究所研究助理.

      O413.1

      A

      1000- 0712(2016)08- 0014- 04

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