陳冰瑾,劉全慧
(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙 410082)
?
含時微擾論中的一個基本定理及其在分析非周期含時項的作用
陳冰瑾,劉全慧
(湖南大學(xué) 物理與微電子科學(xué)學(xué)院 理論物理研究所,湖南 長沙410082)
文獻常常在一般意義下認為含時微擾論僅僅在短時間內(nèi)成立,其實是不對的,其錯誤在于把一些非周期時間項直接計算對概率的貢獻所致.本文首先介紹了含時微擾論中的一個基本定理,進而發(fā)現(xiàn)很多非周期含時項,其實是相位因子的微擾展開的結(jié)果.
量子力學(xué);含時微擾論;相因子
含時微擾論中有如下基本問題:設(shè)系統(tǒng)在初始時刻處在原來未擾動系統(tǒng)某一個能量本征態(tài)上,初始時引入微擾,問這個系統(tǒng)處在這個本征態(tài)上狀態(tài)的改變.
本文從基本而簡單的角度討論這個問題.發(fā)現(xiàn)對于一大類系統(tǒng),時間的影響本質(zhì)來之相位,“擾動的效果依賴于(微擾)強度和延續(xù)時間的乘積”之類的觀點來自于我們在近似處理不當導(dǎo)致的錯覺.
接下來的第1節(jié)討論含時微擾論的一個基本定理,第2節(jié)利用該定理討論了一個典型的二能級系統(tǒng),第3節(jié)討論和結(jié)論.
考慮含有小擾動項的哈密頓量H=H0+H′(t),其中H0不含時間,而含時部分H′(t)為小量.零級近似哈密頓量H0可以嚴格處理,其本征函數(shù)集構(gòu)成Hilbert空間的一組完備基:
H0φm=Emφm
(1)
含時薛定諤方程:
(2)
的解ψ(t)可以用H0給出的完備集{φm}展開:
(3)
展開系數(shù)cm(t)其實就是在H0表象中的概率幅.
薛定諤方程(2)可以改寫為另外一種形式:
(4)
其中
(5)
方程(4)往往無法嚴格求解,需要求助于微擾近似方法.微擾近似的含義是cn(t)可以逐級展開:
(6)
(7)
這個方程的零級解即初始條件ψ(0):
(8)
需要處理的一個典型問題是,初始時刻系統(tǒng)處于H0的某個定態(tài),例如
(9)
然后再看t≥0加入微擾后系統(tǒng)躍遷到其他態(tài)的概率幅cm(t)(m≠n).準確到一級近似,有
(10)
此式又稱為躍遷概率幅,它表示從初態(tài)φn到末態(tài)φm(m≠n)的概率幅的主要部分.
對這一典型問題,有如下基本定理.
定理:t時刻系統(tǒng)處于初始能量本征態(tài)φn上概率幅相位因子,其主要貢獻來自第1、2級修正.
證明:
注意到態(tài)矢量的歸一化條件:
1=〈ψ(t)|ψ(t)〉=
(11)
由于式(10)中的矩陣元〈n|H′|m〉中的非對角部分不可能全都為零,即cm(t) (m≠n)不可能全都為零.于是有
(12)
即
(13)
注意這個結(jié)果可以從兩個角度來分析.第一,問題的出發(fā)點不是展開到二級,而是說cn(t)的主要部分一定來自二級修正.第二,從展開到二級的角度看,相位必須也要展開到二級,也就是
(14)
證畢.
下面給出兩個推論.
推論一:t時刻系統(tǒng)處于初始定態(tài)的一級修正只可能是一個相位因子,其明顯形式是
(15)
其中
(16)
推論二:一般而言,如果在全部時間范圍內(nèi)總是滿足
(17)
則|cn(t)|在全部時間范圍內(nèi)都不會發(fā)散.
這個推論看似平庸,其實極不平凡.關(guān)鍵是,如果全部時間范圍內(nèi),式(17)成立,則cn(t)中的非周期貢獻要么本質(zhì)來自周期性要么是來自相因子.可參考后面[式(24)]對含時項ωt的處理.
(18)
也就是
(19)
國內(nèi)的量子力學(xué)教科書常編有如下一道習(xí)題或者其變形[4-8],這道題目也經(jīng)常出現(xiàn)在高校和科研院的碩博研究生的《量子力學(xué)》考題中.
下面利用含時微擾論的標準理論計算試求t時刻系統(tǒng)依然處在基態(tài)上的概率,準確到第二級近似.
零級近似哈密頓量H0的本征函數(shù)可以記為
(20)
它張開了一個完備的Hilbert空間,在這個空間中,可以在任意精度上,求得這個問題的解.ω≡(E2-E1)/h.
利用微擾法,很容易得一級近似的解為
(21)
所以,系統(tǒng)處于激發(fā)態(tài)的概率(準確到一級近似)是
(22)
從式(19)可知,c1(t)不會出現(xiàn)和時間的整數(shù)冪增長的項.可是,微擾論的一般理論給出的c1(t)的二級近似是
(23)
最后得到c1(t)(準確到二級近似)
(24)
(25)
和式(19)相比較,完全符合基本定理.
下面和嚴格結(jié)果比較.
嚴格結(jié)果是[4-8]
(26)
(27)
由于只對處在基態(tài)上的二級近似感興趣,故需要對Ω展開到二級近似:
(28)
(29)
(30)
得二級近似,
(31)
(32)
設(shè)一個系統(tǒng)沒有簡并,在初始時刻處在原來未擾動系統(tǒng)某一個能量本征態(tài)上,初始時引入微擾.如果微擾不大,系統(tǒng)在足夠長的時間內(nèi)躍遷到其他態(tài)的概率還是周期性的.系統(tǒng)會處在原來的能量本征態(tài),和初始態(tài)的主要差別應(yīng)當體現(xiàn)在相位因子上.
為了證明這一點,本文首先證明了一個定理,然后發(fā)現(xiàn)了文獻中普遍忽視了非周期時間項本質(zhì)來自相位,“擾動的效果依賴于(微擾)強度和延續(xù)時間的乘積”之類的觀點的確來自于我們在近似處理導(dǎo)致的錯覺.
注意到這個含時因子exp(i(γ/(hω)2ωt)其實導(dǎo)致了對能級的改變即重整化.這個重整化過程的一般性方法應(yīng)該是微擾論中的Poincaré-Lindstedt方法.[9]在今后的研究中,我們將更深入研究這個問題.
有文獻注意到含時相因子的一級修正,但是幾乎沒有文獻注意到相因子中的二級修正.也有文獻[10]分析了簡并系統(tǒng)中,非周期時間項對概率的非周期貢獻,這個問題不在本文的主題之內(nèi).
還有一些問題值得進一步研究,這些問題包括:問題更一般的討論,周期性擾動,非簡并系統(tǒng)等等.
[1]BallentineLE.QuantumMechanicsAModernDevelopment[M].Singapore:WorldScientific, 1998:354.
[2]Cohen-TannoudjiC,DiuBLaloeF.QuantumMechanics(Volume2)[M],NewYork:JohnWiley,1977:1290.
[3]張永德.量子力學(xué)[M].北京:科學(xué)出版社,2006:336.
[4]曾謹言.量子力學(xué)(卷Ⅰ) [M].5版.北京:科學(xué)出版社,2013:410, 習(xí)題12.4.
[5]曾謹言.量子力學(xué)教程[M].3版.北京:科學(xué)出版社,2014:226, 習(xí)題11.3.
[6]錢伯初.量子力學(xué)[M].北京:高等教育出版社,2006:295, 習(xí)題11.3.
[7]錢伯初,曾謹言.量子力學(xué)習(xí)題精選與剖析 [M].3版.北京:科學(xué)出版社 2008:382, 習(xí)題13.4.
[8]張鵬飛,阮圖南,朱棟培,等.量子力學(xué)習(xí)題指導(dǎo)[M].中國科技大學(xué)出版社,2009:235,習(xí)題11.3.
[9]https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré-Lindstedt_method
[10]SakuraiJJ,NapolitanoJ.ModernQuantumMechanics(SecondEdition) [M].NewYork:AddisonWesley, 2011:360.
Afundamentaltheoremintime-dependentquantumtheoryanditsapplicationtoanalysisofnon-periodicalterms
CHENBing-jin,LIUQuan-hui
(InstituteofTheoreticalPhysics,SchoolofPhysicsandMicroelectronicScience,HunanUniversity,Changsha,Hunan410082,China)
Textbooksonquantummechanicsusuallyassertthatperturbationtheoryholdstrueonlyforsufficientshorttime.Thismistakeresultsfromdirectcontributionofthenon-periodicaltimetermintoprobabilities.Wefirstintroduceafundamentaltheoreminthetime-dependentquantumtheory,thenpointoutthatthenon-periodicaltimetermsareinfactperturbationexpansionsoftime-dependentphasefactor.
quantummechanics;time-dependentquantumtheory;phasefactor
2015-11-16;
2016-01-30
國家自然科學(xué)基金資助課題(11175063);湖南大學(xué)教改基金資助課題
陳冰瑾(1992—),女,山東青島人,電子科學(xué)與技術(shù)學(xué)士,湖南大學(xué)理論物理研究所研究助理.
O413.1
A
1000- 0712(2016)08- 0014- 04