趙　潔,邱　菊,崔麗彬,張蔭民,薛紅玲

(1.北京工業(yè)大學(xué) 實(shí)驗(yàn)學(xué)院，北京　101101;2.北京信息科技大學(xué) 光電信息與儀器北京市工程研究中心，北京　100192)

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聲速測(cè)定實(shí)驗(yàn)中次極大現(xiàn)象的次頻因素定量探討

趙潔1,邱菊1,崔麗彬1,張蔭民2,薛紅玲1

(1.北京工業(yè)大學(xué) 實(shí)驗(yàn)學(xué)院，北京101101;2.北京信息科技大學(xué) 光電信息與儀器北京市工程研究中心，北京100192)

大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)中的聲速測(cè)定實(shí)驗(yàn)，對(duì)理解波疊加和駐波的知識(shí)有重要作用.但共振干涉法中出現(xiàn)的“次極大”現(xiàn)象，極易造成實(shí)驗(yàn)操作的誤判.本文針對(duì)這一現(xiàn)象進(jìn)行了定量探討.通過(guò)Matlab數(shù)值仿真和信號(hào)發(fā)生器信號(hào)的傅里葉頻譜分析，并與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)對(duì)照，得出結(jié)論：“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起.

超聲波;駐波;聲速測(cè)定;次極大;定量

聲波是在彈性媒質(zhì)中傳播的機(jī)械波，為了描述該機(jī)械波在媒質(zhì)中的傳播特性，聲速是基本物理量之一.而且聲速與媒質(zhì)的性質(zhì)及狀態(tài)有關(guān)，因此測(cè)定聲速就可以了解被測(cè)媒質(zhì)的性質(zhì)、狀態(tài)及其變化，所以對(duì)聲速的測(cè)定是非常重要的.根據(jù)頻率范圍的不同，聲波可以分為可聞聲波和超聲波，前者的頻率范圍在20～20 000 Hz，后者在20 000 Hz以上.由于超聲波具有波長(zhǎng)短，易于定向發(fā)射等優(yōu)點(diǎn)，因此在超聲波段測(cè)聲速是比較方便的.

聲速測(cè)定實(shí)驗(yàn)是綜合的大學(xué)物理實(shí)驗(yàn)之一，其中使用了共振干涉和相位比較兩種方法測(cè)量超聲波的波長(zhǎng)，再與信號(hào)發(fā)生器發(fā)出信號(hào)的頻率相乘，則可得到超聲波的傳播速度.這個(gè)實(shí)驗(yàn)對(duì)于學(xué)生理解波的疊加、駐波知識(shí)具有重要的作用.但是由于實(shí)驗(yàn)在原理分析中作了近似，假設(shè)只有兩列振幅不衰減的相向傳播的波疊加形成駐波，因此實(shí)驗(yàn)中觀察到與理論不符的現(xiàn)象.這些現(xiàn)象包括：主極大的振幅隨接收端與發(fā)射端之間距離的增大而減小；當(dāng)接收端和發(fā)射端之間的距離較小時(shí)，出現(xiàn)“次極大”現(xiàn)象，即在駐波相鄰波腹之間存在次極大振幅.對(duì)第一種現(xiàn)象的研究包括：文獻(xiàn)[1]—文獻(xiàn)[9]考慮了波的能量損耗和波形(平面波/球面波)，推導(dǎo)出兩個(gè)壓電陶瓷片之間復(fù)雜的波動(dòng)方程，并指出示波器所顯示波形非位移波形，為聲壓波形，當(dāng)發(fā)射端和接收端之間的距離滿足半波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，示波器顯示極大的振幅.第二種現(xiàn)象在換能器之間的距離大于10 mm時(shí)是可以避免的[10].而對(duì)“次極大”現(xiàn)象的產(chǎn)生主要有兩種解釋?zhuān)阂环N是由于信號(hào)源頻率不純引起的“次頻”共振現(xiàn)象[5,6,11]，這種方法考慮能量損耗進(jìn)行多次反射疊加計(jì)算，沒(méi)有發(fā)現(xiàn)“次極大”現(xiàn)象，因此認(rèn)為“次極大”現(xiàn)象是由“次頻”共振引起的；另一種是由于超聲波在界面多次反射疊加的結(jié)果[8,12]，也沒(méi)有定量說(shuō)明.最近，還有一種解釋認(rèn)為是換能器中鋁冠厚度引起的相位延遲導(dǎo)致“次極大”出現(xiàn)[13].

本文主要針對(duì)可能引起“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振展開(kāi)討論.首先在理論上推導(dǎo)了兩列波疊加的振幅和聲壓的表達(dá)式；然后，應(yīng)用示波器的頻譜分析功能研究了信號(hào)發(fā)生器發(fā)射信號(hào)的頻譜，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真；最后，測(cè)量了聲速測(cè)定儀對(duì)不同頻率信號(hào)的響應(yīng)曲線，從振幅的角度說(shuō)明“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起的.通過(guò)把Matlab軟件和頻譜分析的概念引入到物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)中，有利于提高大學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

1　“次極大”現(xiàn)象的定量描述

在聲速測(cè)定實(shí)驗(yàn)中，當(dāng)聲速測(cè)定儀的發(fā)射端和反射端之間的距離是半波長(zhǎng)整數(shù)倍時(shí)，其間形成穩(wěn)定的駐波，移動(dòng)反射端的位置，就能依次探測(cè)到波腹和波節(jié)，對(duì)應(yīng)示波器上的振幅從最大到最小的周期性變化.但當(dāng)發(fā)射端和反射端之間的距離較小時(shí)，在兩個(gè)相鄰的波腹對(duì)應(yīng)極大振幅之間存在次極大振幅，次極大的振幅比極大振幅小，但比極小的振幅大.且觀察次極大的振幅和出現(xiàn)的位置，還存在一定的規(guī)律性，下面用實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明.

此時(shí)，信號(hào)發(fā)生器的頻率為40 kHz，表1為共振干涉法中接收端位置與示波器接收信號(hào)振幅的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖1是對(duì)應(yīng)表1數(shù)據(jù)的曲線，其上標(biāo)示了極大和次極大所在的位置，分析振幅和間距：

間距(次極大1—極大1)=0.849 mm，

振幅比(極大1/次極大1)=5

間距(次極大2—極大2)=1.643 mm，

振幅比(極大2/次極大2)=5.8

間距(次極大3—極大3)=2.14 mm，

振幅比(極大3/次極大3)=4.9

可見(jiàn)，次極大到相鄰的極大之間的間距近似滿足1∶2∶3的關(guān)系，而次極大與相鄰極大之間的振幅比近似為1∶5的關(guān)系.下面定量分析可能產(chǎn)生“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振.

表1　共振干涉法中接收端位置與信號(hào)振幅關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖1　共振干涉法中接收端位置與信號(hào)振幅的關(guān)系曲線

2　超聲波反射疊加理論基礎(chǔ)

分析超聲波在兩個(gè)壓電陶瓷片之間反射疊加的情況.為了簡(jiǎn)單起見(jiàn)，采用平面波模型，忽略波在傳播過(guò)程中的損耗和反射造成的能量損失，且只計(jì)算兩列波疊加的情況.與實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)一致，超聲波的頻率ν=40 kHz，波長(zhǎng)λ=9 mm，發(fā)射和反射的壓電陶瓷面之間的距離為l，建立如圖2所示的坐標(biāo)系.則沿x軸正向傳播A的波函數(shù)可表達(dá)為

圖2　超聲波在發(fā)射和反射端兩列波疊加原理圖及坐標(biāo)系

(1)

假設(shè)A的振幅為1 mm，初相位為0.被反射端反射后，沿x軸負(fù)向B傳播的波函數(shù)可表達(dá)為

(2)

式中π是由于存在半波損失.

合成的波函數(shù)S為A、B之和，即

S(x,t)=A(x,t)+B(x,t)

(3)

實(shí)驗(yàn)中，接收器接收到的是聲壓p，可表示為[14]

(4)

K是空氣的體積模量，假設(shè)為“1”.該式不容易作進(jìn)一步簡(jiǎn)化來(lái)分析“次極大”現(xiàn)象，可以采用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值仿真研究.

3　“次頻”共振研究

針對(duì)“次極大”可能是由于信號(hào)發(fā)生器頻率不純而產(chǎn)生“次頻”共振現(xiàn)象，應(yīng)用美國(guó)力科LeCroy WaveRunner 610Zi示波器的頻譜分析功能，對(duì)信號(hào)發(fā)生器發(fā)出信號(hào)的頻譜進(jìn)行研究.假設(shè)信號(hào)發(fā)生器發(fā)出的信號(hào)為g(t)，其頻譜G(f)可用下式表示為：

(5)

其中f是連續(xù)的頻率變量.分析G(f)即可判斷信號(hào)的頻率組成.

這里，信號(hào)發(fā)生器的頻率輸出為40 kHz，圖3(a)顯示了不同頻率信號(hào)的頻率和振幅，圖3(b)是信號(hào)的頻譜圖.可見(jiàn)，除了40 kHz以外，確實(shí)存在其它的頻率成分，在28.678 kHz、51.317 kHz、79.997 kHz、119.995 kHz等處也有信號(hào).

圖3　信號(hào)發(fā)生器發(fā)出40 kHz信號(hào)的頻譜圖

如果是由于“次頻”共振現(xiàn)象導(dǎo)致的“次極大”，以40 kHz和次頻28.678 kHz為例，應(yīng)用Matlab軟件根據(jù)式(4)進(jìn)行數(shù)值仿真，距離l為1.5λ，觀察形成駐波的聲壓情況如圖4所示.其中，40 kHz形成主極大，28.678 kHz形成次極大，分析可知相鄰的極大和次極大不是等間距的，間距分別是1.775 mm、3.55 mm、5.325 mm，為1:2:3的關(guān)系.這與本文第1部分“次極大”現(xiàn)象的定量描述中所分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的比例關(guān)系吻合，但間距的具體值不符，可能由于實(shí)驗(yàn)中存在著測(cè)量誤差.

圖4　40 kHz(實(shí)線)和28.678 kHz(虛線)信號(hào)形成駐波的聲壓情況

下面從極大與次極大振幅比的角度進(jìn)行分析.實(shí)驗(yàn)中測(cè)量了聲速測(cè)定儀對(duì)不同頻率信號(hào)的響應(yīng)曲線，表2是信號(hào)頻率與第一極大振幅關(guān)系的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，圖5是對(duì)應(yīng)表2數(shù)據(jù)的曲線.

表2　聲速測(cè)定儀頻率響應(yīng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)

圖5　聲速測(cè)定儀頻率響應(yīng)曲線

由數(shù)據(jù)可知，聲速測(cè)定儀對(duì)39.998 kHz和28.678 kHz兩個(gè)頻率信號(hào)響應(yīng)的振幅比約為1000:1.再結(jié)合圖3(a)的數(shù)據(jù)，39.998 kHz振幅為29.87 dBm，28.678 kHz振幅僅為-40.27 dBm，其中1 dBm的定義為

(8)

因此兩信號(hào)的振幅比約為107/2.所以，極大和次極大的振幅之比應(yīng)為1013/2.但由第2部分的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)可知，相鄰的極大和次極大振幅之比為5左右，相去甚遠(yuǎn).因此，“次極大”不是由“次頻”共振引起的.

4　結(jié)論

針對(duì)聲速測(cè)量實(shí)驗(yàn)中可能引起“次極大”現(xiàn)象的“次頻”共振解釋?zhuān)紫仍诶碚撋贤茖?dǎo)了兩列波疊加的振幅和聲壓；然后，應(yīng)用示波器的頻譜分析功能研究了信號(hào)發(fā)生器發(fā)射信號(hào)的頻譜，并應(yīng)用Matlab軟件進(jìn)行數(shù)值模擬；最后測(cè)量了聲速測(cè)定儀對(duì)不同頻率信號(hào)的響應(yīng)曲線，從振幅的角度說(shuō)明“次極大”現(xiàn)象不是由“次頻”共振引起的.由于理論分析方法與大學(xué)物理非常接近，因此便于工科學(xué)生理解，且把Matlab軟件和頻譜分析的概念引入到物理實(shí)驗(yàn)的教學(xué)中，有利于提高大學(xué)生分析和解決問(wèn)題的能力.

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Quantitatively discussion of the sub-maximum phenomenon in sound velocity experiment

ZHAO Jie1,QIU Ju1,CUI Li-bin1,ZHANG Yin-min2,XUE Hong-ling1

(1. The Pilot College,Beijing University of Technology,Beijing 101101,Chian;2. Beijing Engineering Research Center of Optoelectronic and Instrument,Beijing Information Science &Technology University,Beijing 100192,China)

The experiment of measuring sound velocity in university plays the important role in comprehending the knowledge of wave superposition and standing wave.However,the sub-maximum phenomenon existing in the resonance interference method usually results in mistakes during experiment.This paper discusses quantitatively this phenomenon.Based on the numerical simulation of Matlab software,Fourier spectrum analysis of the information produced by signal generator,and compared with the experiment data,the conclusion is that the sub-maximum phenomenon is not related with the sub-frequency signal.

ultrasonic;standing wave;sound velocity measurement;sub-maximum;quantity

2014-08-07；

2015-06-10

北京市工程研究中心開(kāi)放課題(Q5024000201301)、北京工業(yè)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)院教研項(xiàng)目資助

趙潔(1982—)，女，河北保定人，北京工業(yè)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)院講師，博士，主要從事大學(xué)物理和物理實(shí)驗(yàn)教學(xué)、數(shù)字全息和光學(xué)信息處理科研工作.

O 422.1

A

1000- 0712(2016)01- 0035- 04