高　瑾，羅　飛，金渝光

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

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高瑾，羅飛，金渝光*

(重慶師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院，重慶 401331)

1　基本概念

定義3[7]設(shè)(X,V)是鄰域空間，如果X的任意兩個隔離子集A,B分別有開鄰域U和V使得U∩V=?,則稱鄰域空間是一個完全正規(guī)鄰域空間.完全正規(guī)的T1-型鄰域空間稱為T5-型鄰域空間.

定義4[7]設(shè)(X,V)是鄰域空間，對任意非空閉集F,存在連續(xù)映射f:X→[0,1],使x∈F,f(x)=0和x∈Fc,f(x)≠0,則稱鄰域空間是一個完備正規(guī)鄰域空間.完備正規(guī)的T1-型鄰域空間稱為T6-型鄰域空間.

定義5[8]若鄰域空間(X,V)是正規(guī)空間并且每一個閉子集為一個Gδ集, 則稱(X,V)為完備正規(guī)鄰域空間, 完備正規(guī)鄰域空間的T1稱為T6-型鄰域空間.

關(guān)于鄰域、開集、閉集的定義與文獻(xiàn)[7]中相同,這里不一一列出.

引理1[6]設(shè)X,Y是鄰域空間，f:X→Y是映射，則f連續(xù)?鄰域、開集、閉集的逆象分別是鄰域、開集、閉集.

定理1完備正規(guī)的鄰域空間一定是擬完備正規(guī)的鄰域空間.

從而對任意的隔離集A,B,存在連續(xù)映射

g:X→[0,1].

使得g(x)=0,x∈A;g(x)=1,x∈B,故X是擬完備正規(guī)鄰域空間.

因?yàn)閄擬完備正規(guī)，故存在連續(xù)映射h，令g=h°f-1:Y→[0,1]是連續(xù)映射且

g(A)=h°f-1(A)=0,g(B)=h°f-1(B)=1.因此(Y,V)是擬完備正規(guī)型鄰域空間.

推論：

注：定理4反之是不成立的，下面將作出反例.

設(shè)X為一不可數(shù)集，p∈X.命X的非空開集為XC，其中C或含有點(diǎn)p，或?yàn)橛邢藜?

對X任意的兩點(diǎn)x1,x2(x1≠x2)，若該兩點(diǎn)都不等于點(diǎn)p，則x1,x2任意小的鄰域都是開集，并且有x1?V(x1),x2?V(x2).若該兩點(diǎn)中有一點(diǎn)等于點(diǎn)p，假設(shè)點(diǎn)x1=p，則x1存在鄰域在C里，x2存在鄰域在XC里，有x1?XC,x2?C.故(X,V)是T1-型鄰域空間.

(3)(X，V)不是T6-型鄰域空間的.

設(shè)X為實(shí)直線，令(a,b)=∪{(α,b)|a<α

(1)

則有OA是包含A的開集，類似的可以定義

(2)

由(1)(2)可以知道，對任意隔離集A和B都不存在連續(xù)映射f，使得f(A)=0,f(B)=1.故X不是擬完備正規(guī)的鄰域空間.

[4]陳祥平.T3和T4—型鄰域空間[J].吉林大學(xué)學(xué)報(bào)，1999,20(3):54-56

[5]陳祥平. T5和T6-型鄰域空間[J]. 洛陽師范學(xué)院學(xué)報(bào),2002(2)：11-13.

[6]熊金城.點(diǎn)集拓?fù)渲v義 [M ].4版.北京:高等教育出版社,2011.

[7]朱培勇,雷銀彬.拓?fù)鋵W(xué)導(dǎo)引[M].北京:科學(xué)出版社,2009.

[8]曼克勒斯J R.拓?fù)鋵W(xué)基本教程[M].北京:科學(xué)出版社,1995.

GAO Jin，LUO Fei，JIN Yuguang*

(School of Mathematics, Chongqing Normal University, Chongqing 401331, China)

2016-03-17;

2016-04-20

國家自然科學(xué)基金(No.11471061)；2013年重慶高校創(chuàng)新團(tuán)隊(duì)建設(shè)計(jì)劃資助項(xiàng)目(No.KJPB201308)

高瑾(1990- )，女，陜西禮泉，碩士研究生，研究方向：拓?fù)鋭恿ο到y(tǒng)，E-mail：1015750544@qq.com

簡介：金渝光( 1956- ), 男, 浙江樂清人, 教授, 碩士研究生導(dǎo)師，E-mail：tsgjyg@aliyun.com

O189.1

A

1671-9476(2016)05-0030-03

10.13450/j.cnki.jzknu.2016.05.007