王春生

（廣州大學華軟軟件學院　管理系，廣東　廣州　510990）

Volterra型積分微分動力系統(tǒng)的穩(wěn)定性

王春生

（廣州大學華軟軟件學院管理系，廣東廣州510990）

采用Banach不動點方法研究一類Volterra型積分微分動力系統(tǒng)零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，得出該系統(tǒng)零解指數(shù)漸近穩(wěn)定性定理，并對該定理給出嚴格證明.結(jié)論改進了相關(guān)文獻的結(jié)果.

Banach不動點方法；Volterra型積分微分動力系統(tǒng)；指數(shù)漸近穩(wěn)定性.

很多專家學者都利用Lyapunov法研究過確定型和隨機微分方程周期解的存在性、有界性和零解的穩(wěn)定性.然而，一百多年來，人們在利用此方法時遇到了一些困難，如在研究變時滯微分方程的穩(wěn)定性時，Lyapunov條件往往要求時滯有界等.近年來，Burton及其合作者第一次嘗試應(yīng)用不動點方法研究了確定性微分方程周期解的存在性、有界性和零解的穩(wěn)定性［1-6］，一定程度上克服了上述出現(xiàn)的困難，得到了很好的結(jié)論.最后，Burton在文獻［6］中采用Lyapunov方法和不動點方法研究同一種微分動力系統(tǒng)，得出了使得該系統(tǒng)零解穩(wěn)定的兩個結(jié)論，文章最后還對兩個結(jié)果進行了分析比較，得出不動點方法在一定程度上較Lyapunov方法優(yōu)越，如不動點方法得出的結(jié)論不需要時滯有界等.作為不動點方法的推廣，文獻［7-10］中利用不動點方法研究了隨機積分微分、中立型隨機積分微分和中立型多變時滯隨機動力系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性.本文將繼續(xù)采用Banach不動點方法研究一類非卷積型線性Volterra積分微分方程的指數(shù)漸近穩(wěn)定性.

1　一類非卷積型線性Volterra積分微分動力系統(tǒng)

初始條件x0=ξ.其中，a（t）∈C（+，），c（t，s）∈C（+×+，）.

2　主要結(jié)果

定義1如果存在λ＞0和任意的ε＞0，都存在δ=δ（ε）使得當，則稱系統(tǒng)（1）零解指數(shù)漸近穩(wěn)定.

Tadayuki Hara在文獻［11］中利用Lyapunov方法研究了系統(tǒng)（1）零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，得到定理1.

定理1假設(shè)存在正常數(shù)μ使得

則系統(tǒng)（1）的零解指數(shù)漸近穩(wěn)定.

本文將采用Banach方法研究系統(tǒng)（1）零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，得到如下結(jié)論：

定理2假設(shè)存在正的常數(shù)M，M0，γ，κ，β和η∈（0，1）以及連續(xù)函數(shù)h（s）:［0，∞］→，使得對t≥0，

設(shè)算子Ψ:S→S：

1）（Ψφ）（0）=ξ；

易證，Ψ是連續(xù)的.下面將說明Ψ（S）?S.即當t→∞時，.因為，由條件（ii），易證當t→∞時，

此外，由條件（ii）知，

對任意φ（t）∈S和ε＞0，存在t1＞0使得當s≥t1時，.所以由式（2）得

由于當t→∞時，e-（κ-α）t→0.所以存在t2≥t1使得對任意的s≥t2都有，當t→∞時，

再者，有條件（iii）知，

最后，證明Ψ是壓縮的，由條件（iv）易知，對任意φ，ξ∈S有

所以，Ψ是壓縮映射.由壓縮映射定理知，Ψ在空間S上存在唯一不動點x（t）.滿足x（0）=ξ，且存在滿足0＜α＜min｛κ，γ，β｝的正常數(shù)α，使得當t→∞時，.所以系統(tǒng)（1）的零解指數(shù)漸近穩(wěn)定.故得證.

3　實例

前面在研究系統(tǒng)（1）穩(wěn)定性時，本文通過選取合適的h（s），一定程度上改進文獻［11］的結(jié)論.下面將以實例說明在某些情況下，本文的結(jié)論即定理2優(yōu)于文獻［11］.

例考慮如下非卷積型線性Volterra積分微分動力系統(tǒng)

但是在文獻［11］的結(jié)論中，找不到滿足條件的μ＞0，使得

所以，由文獻［11］得不出系統(tǒng)（3）零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性.

3　結(jié)論

1）文章利用Banach不動點定理研究了一類非卷積型Volterra積分微分動力系統(tǒng)零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，所得結(jié)論改進了文獻［11］的結(jié)果.

2）不動點方法通過引入合適的h（s）函數(shù)構(gòu)造算子，并判斷模型穩(wěn)定性，使得系統(tǒng)穩(wěn)定性研究簡單易行.

總之，本文利用Banach不動點方法討論一類非卷積型Volterra積分微分動力系統(tǒng)零解的指數(shù)漸近穩(wěn)定性，有其特定優(yōu)越性.

［1］BURTON T A.Fixed points and stability of a non-convolution equation［J］.Proceedings of the American Mathematical Society，2004，132（2）: 3679-3687.

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Stability of Volterra Integro-differential Dynamic System

WANG Chunsheng

（School of Management，South China Institute of Software Engineering，Guangzhou University，Guangzhou 510990，China）

In this paper，the exponential asymptotic stability for a kind of Volterra integro-differential dynamic system zerosolution has been studied by using the method of Banach fixed point，with drawing the conclusion of zero solution exponential asymptotic stability for this system.At the same time，the strict evidence has been given in this article for the achieved stability.The conclusion has improved the results of relative articles，with the detailed example in the following.

Banach fixed point method；Volterra integro-differential dynamic system；Exponential asymptotic stability.

O231.1

A

2095-4476（2016）08-0005-03

2016-07-07；

2016-08-10

廣東省自然科學基金資助項目（2016A030313542）；廣東省普通高校青年創(chuàng)新人才項目（自然科學）資助項目（2015KQNCX200）；廣州大學華軟軟件學院教學、科學研究項目資助項目（ky201402）

王春生（1982—），男，安徽桐城人，廣州大學華軟軟件學院管理系講師.

（責任編輯：饒超）