一類對偶平坦球?qū)ΨQFinsler度量的構(gòu)造

李璐璐, 宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

?

一類對偶平坦球?qū)ΨQFinsler度量的構(gòu)造

李璐璐, 宋衛(wèi)東

(安徽師范大學(xué)數(shù)學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，安徽 蕪湖 241000)

研究對偶平坦球?qū)ΨQFinsler度量,通過構(gòu)造對偶平坦方程的解,獲得了一類對偶平坦的球?qū)ΨQFinsler度量.

局部對偶平坦；球?qū)ΨQ；Finsler度量

1　引言與預(yù)備知識

對偶平坦的流形是微分幾何中一類重要的研究對象,應(yīng)用非常廣泛.在信息幾何、相對論、超弦理論中有重要的應(yīng)用[1-2].沈忠民[2]曾經(jīng)從Finsler幾何的角度研究信息幾何, 發(fā)現(xiàn)對偶平坦的Finsler度量在研究信息幾何中有著重要的作用.在文獻(xiàn)[3] 中將沒有二次型限制的對偶平坦的概念應(yīng)用到Finsler度量中.近些年來, 對偶平坦球?qū)ΨQFinsler度量引起了很多人的注意,文獻(xiàn)[3-5] 中構(gòu)造了大量的對偶平坦球?qū)ΨQFinsler度量.

開區(qū)間U?Rn上的Finsler度量F=F(x,y)稱為對偶平坦，如果F滿足下列的PDE:

[F2]xiyjyi=2[F2]xj.

(1)

第一個非黎曼的對偶平坦的Finsler度量是單位球Bn(1)?Rn上的Funk度量

構(gòu)造非黎曼的對偶平坦的Finsler度量成為Finsler幾何研究的一個重要問題.最近莫小歡等[6-8]構(gòu)造了一系列對偶平坦的球?qū)ΨQFinsler度量. 所謂球?qū)ΨQFinsler度量F=F(x,y),如果F滿足

F(Ax,Ay)=F(x,y).

(2)

其中A是正交矩陣.這些度量最早是由S.Rutz[9]提出.

命題1[6]設(shè)F是Bn(r)?Rn上的Finsler度量,則F是球?qū)ΨQFinsler度量當(dāng)且僅當(dāng)存在光滑函數(shù)φ:[0,r)×R→R使得

(3)

式(3)也可表示為下列形式[6]

(4)

命題2[6]球?qū)ΨQFinsler度量(4)是對偶平坦方程(1)的解,當(dāng)且僅當(dāng)f滿足下列的PDE:

sfts+fss-2ft=0,

(5)

本文通過構(gòu)造式(5)的解獲得如下結(jié)果.

定理1函數(shù)f(t,s)定義為

(6)

該函數(shù)是出現(xiàn)在概率論、統(tǒng)計(jì)學(xué)[10]和部分微分方程中的一種特殊函數(shù).

定理2函數(shù)f(t,s)定義為

(7)

2　PDE的解

在本節(jié)構(gòu)造下列PDE:sfts+fss-2ft=0的解,這個方程類似于著名的動力學(xué)中的Tricomi方程[11].

形式1設(shè)f(t,s)=φ(t)ψ(s)是式(5)的解,則滿足sfts+fss-2ft=0,進(jìn)而

sφ′(t)ψ′(s)+φ(t)ψ″(s)-2φ′(t)ψ(s)=0.

(8)

于是

(9)

由式(9)可得

(10)

和

(11)

式(10)的通解為

φ(t)=ceλt.

(12)

方程(11)解得

(13)

根據(jù)式(12)和式(13)得

(14)

其中c1,c2,c3均為常數(shù).

(15)

根據(jù)式(5)和式(15)得到

這是關(guān)于s偶次冪的多項(xiàng)式,因而

(16)

由此可得f2=36ct2,f4=12ct,f6=c,其中c為常數(shù).因此式(5)的解為

(17)

3　定理的證明

(18)

(19)

(20)

(21)

因此由式(18)-(21)得

(22)

進(jìn)而

(23)

所以

(24)

又因?yàn)閟fts+fss-2ft=0,則

2〈x,y〉yjft+2fsyj|y|+2ftxj|y|2-2sftyj|y|.

(25)

(26)

則滿足對偶平坦方程(1)，即定理1得證.

定理2的證明完全類似于定理1的證明.

[1] AMARI S, NAGAOKA H. Methods of Information Geometry[M]. New York : American Mathematical Society,Oxford University Press,2000:206.

[2] SHEN Z. Riemann-Finsler geometry with applications to information geometry[J]. Chinese Annals of Mathematics, Series B,2006,27(1):73-94.

[3] MO X, ZHOU L. The curvatures of spherically symmetric Finsler metrics inRn[J].Journal of Urban Planning & Development,2012,139(2):94-103.

[4] MO X, ZHU H. On a class of projectively flat Finsler metrics of negative constant flag curvature[J]. International Journal of Mathematics,2012,23(8):84-85.

[5] ZHOU L. Projective spherically symmetric Finsler metrics with constant flag curvature inRn[J]. Geometriae Dedicata,2012,158(1):353-364.

[6] HUANG L, MO X. On some explicit constructions of dually flat Finsler metrics[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications,2013,405(2):565-573.

[7] LI B. On dually flat Finsler metrics[J]. Differential Geometry and its Applications,2013,31(6):718-724.

[8] CHENG X, SHEN Z, ZHOU Y. On locally dually flat Finsler metrics[J]. International Journal of Mathematics,2010,21(11):1531-1543.

[9] RUTZ S. Symmetry in Finsler spaces[J]. Contem Math,1996,196:289-300.

[10] ALZER H. Error function inequalities[J]. Advances in Computational Mathematics,2010,33(3):349-379.

[11] K?NIGL A. Relativistic gasdynamics in two dimensions[J]. Physics of Fluids,2008,23(6):1083-1090.

[12] YU C, ZHU H. On a new class of Finsler metrics[J]. Differential Geometry and Its Applications,2011,29(2):244-254.

On the Construction of One-class Dually Flat Spherically Symmetric Finsler Metrics

LI Lulu, SONG Weidong

(College of Mathematics and Computer Science, Anhui Normal University, Wuhu 241000, China)

This paper studied the dually flat spherically symmetric Finsler metrics, and obtained one-class dually flat spherically symmetric Finsler metrics by constructing the solutions of dually flat equations.

locally dually flat; spherically symmetric; Finsler metric

2015-11-24

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11671005).

宋衛(wèi)東 (1958—), 男, 教授,主要從事微分幾何研究. E-mail：swd56@sina.com

10.3969/j.issn.1674-232X.2016.05.013

O186.12MSC2000:53B40；53C20

A

1674-232X(2016)05-0522-04