王施施, 王文勝, 駱明旭
(杭州師范大學理學院,浙江 杭州 310036)
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ERV族分布下帶投資的雙險種風險模型的破產(chǎn)概率
王施施, 王文勝, 駱明旭
(杭州師范大學理學院,浙江 杭州 310036)
破產(chǎn)概率;雙險種風險模型;漸近關(guān)系式;風險投資策略
在實際生活中,保險公司業(yè)務(wù)種類日益增多,在索賠方面要考慮的因素也越來越復(fù)雜,因此經(jīng)典風險模型中單一險種的情形已不能滿足實際需要.為了更好地描述這些不確定因素,本文引入了帶投資的雙險種風險模型,利用此模型對破產(chǎn)概率進行深入研究.
我們假定保險公司拿出一部分盈余投資Black-Scholes型資本市場指數(shù),且假設(shè)該指數(shù)的價格過程由幾何布朗運動來表示,那么公司的盈余過程{Ui(t),t≥0}可表示為:
(1)
(2)
其中{Ni(t),t≥0,i=1,2}是第i險種到時刻t為止保單發(fā)生索賠次數(shù).假設(shè)它服從參數(shù)為λit的泊松分布,且{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互獨立,而且{Xik,k=1,2,…,i=1,2},{Bi(t),i=1,2,t≥0},{Ni(t),i=1,2,t≥0}都是相互獨立的.
在有限時間T(T>0),關(guān)于雙險種情形的破產(chǎn)時刻及破產(chǎn)概率有多種定義.本文主要研究其中的3種,它們具體定義為:
1)定義破產(chǎn)時刻Tmax(x)為:
Tmax(x)=inf{t≥0:max{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},
相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:
Ψmax(x,T)=P(Tmax(x)≤T)
(3)
2)定義破產(chǎn)時刻Tmin(x)為:
Tmin(x)=inf{t≥0:min{U1(t),U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},
相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:
Ψmin(x,T)=P(Tmin(x)≤T)
(4)
3)定義破產(chǎn)時刻Tsum(x)為:
Tsum(x)=inf{t≥0:U1(t)+U2(t)}<0|U1(0)=β1x,U2(0)=β2x},
相應(yīng)的破產(chǎn)概率為:
Ψsum(x,T)=P(Tsum(x)≤T)
(5)
在保險精算的應(yīng)用中破產(chǎn)概率的研究一直是熱門的話題.迄今,國內(nèi)外很多學者研究過連續(xù)或者離散時間風險模型的破產(chǎn)概率.例如,Asmussen和H?jgaard[1],Cossette[2],Chen[3]等.然而,這些都是對單一情形的研究,難免和實際不相符合.后來,二維風險模型逐漸被廣大學者探討和研究出來,如Avram[4],Li[5],Dang[6],Zhang和Wang[7].
本文主要集中研究帶投資的雙險種風險模型的破產(chǎn)概率,給出了破產(chǎn)概率主要結(jié)果和其他一些概率以及相應(yīng)的證明以及證明所需要的引理.
2.1相關(guān)概念
定義1對任意固定的實數(shù)α>0,如果分布F滿足
(6)
則稱F屬于R-α族.通常,R族是指所有R-α族關(guān)于α在其取值范圍上的并集.
定義2對任意固定的實數(shù)0<α≤β<∞,如果分布F滿足
(7)
則稱F屬于ERV-α,-β族.通常,ERV族指所有ERV{-α,-β}族關(guān)于α≤β在其取值范圍上的并集.
對于更新風險模型(2),全文假設(shè)索賠額分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且
(8)
假設(shè)該條件保證了公司盈余的隨機波動能被趨勢控制,否則公司將以概率1破產(chǎn).詳見文獻[8-9].
從現(xiàn)在開始除非特別指明,所有極限過程均指x→∞時情況,對于兩個正函數(shù)f(·)和g(·),如果limf(x)/g(x)=1,記為f(x)~g(x);如果liminff(x)/g(x)≥1,記為f(x)g(x);如果limsupf(x)/g(x)≤1,記為f(x)g(x);如果limsupf(x)/g(x)<∞,記為f(x)=○(g(x)).
2.2主要結(jié)果
定理1考慮更新風險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(3)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:
(9)
定理2考慮更新風險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(4)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:
(10)
定理3考慮更新風險模型(2),令LN(yi;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額{Xik,k=1,2,…,i=1,2}是獨立同分布且非負的隨機變量,其分布Fi∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立.則式(5)定義的破產(chǎn)概率具有如下漸近關(guān)系式:
(11)
3.1引理
引理1考慮單一險種情形下,具有共同分布F的獨立索賠額序列{Xk,k=1,2,…},如果F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,則
(12)
引理2設(shè)X和Y是兩個相互獨立的非負隨機變量,X的分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且存在0<δ<α,使得EYβ+δ<∞,則存在常數(shù)D>0,使得
(13)
證明參見文獻[11]中定理3.5.
(14)
證明參見文獻[11].
(15)
證明參見文獻[12]中引理3.1.
引理5對于單一險種情形下帶投資的風險模型,
其中LN(y;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立,則
(16)
證明在假設(shè)條件(8)下,由引理1式(12)得
引理6對于單一險種情形下帶投資的風險模型,
其中LN(y;a,b2)表示參數(shù)為a和b2的對數(shù)正態(tài)分布,如果索賠額分布F∈ERV(-α,-β),1<α≤β<∞,且式(8)成立,則
(17)
證明對?ε>0,
I1(x)-I2(x).
(18)
(19)
(20)
選取適當?shù)摩?0,使得β′(1-ρ)>β.根據(jù)定義2式(7)有
(21)
根據(jù)引理2,存在0<δ<α,和常數(shù)D>0,使得
(22)
易證式(22)中的積分是有限常數(shù).對于前面定義的β′,有β′(1-ρ)>β,在式(8)條件下,有
(23)
由式(22)、(23)和引理4的式(15)得
綜上所述
(24)
進一步,由式(19)(22)和引理4的式(15)得
(25)
所以由式(18)(24)(25)和ε>0的任意性得
3.2定理1的證明
首先證明式(3)定義破產(chǎn)概率的上界,由破產(chǎn)概率Ψmax(x,T)的定義及條件{N1(t),t≥0},{N2(t),t≥0}相互獨立,以及{Xik,k=1,2,…},(i=1,2)獨立可知
Ψmax(x,T)=P(Tmax(x)≤T)=P(Ui(t)<0,i=1,2,?0≤t≤T)=
由引理5得
Ψmax(x,T)
(26)
接著要證明破產(chǎn)概率的下界,根據(jù)其獨立性有
Ψmax(x,T)=P(Ui(t)<0,i=1,2,?0≤t≤T)=
由引理6得
Ψmax(x,T)
(27)
所以結(jié)合式(26)和(27)可知
3.3定理2的證明
根據(jù)破產(chǎn)概率Ψmin(x,T)的定義及在定理2條件下,令s(xi)=inf{t≥0,Ui(t)<0},則
3.4定理3的證明
和定理1的證明一樣,首先考慮式(5)定義破產(chǎn)概率的上界,由定理3的條件得
由引理3得
所以
(28)
下面考慮破產(chǎn)概率的下界.
由式(5)破產(chǎn)概率定義得
由引理3得
所以
Ψsum(x,T).
(29)
由式(28)和式(29)得
[1] ASMUSSEN S, H?JGAARD B. Approximations for finite horizon ruin probabilities in the renewal model[J]. Scand Actuar J,1999(2):106-119.
[2] COSSETTE H, LANDRIAULT D, MARCEAU E. Ruin probabilities in the discrete time renewal risk model[J]. Insurance Math Econom,2006,38(2):309-323.
[3] CHEN Y, NG K W. The ruin probabilities of the renewal model with constant intrest force and negatively dependent heavy-tailed claims[J]. Insurance Math Econom,2007,40(3):415-423.
[4] AVRAM F, PALMOWSKI Z, PISTORIVS M. A two-dimensional ruin problem on the positive quardrant[J]. Insurance:Mathematics and Economics,2008,42(1):227-234.
[5] LI J H, LIU Z M, TANG Q H. On the ruin probabilities of a bidimensional perturbed risk model[J]. Insurance:Mathematics and Economics,2007,41(1):185-195.
[6] DANG L F, ZHU N, ZHANG H M. Survival probability for a two-dimensional risk model[J]. Insurance:Mathematics and Economics,2009,44(3):491-496.
[7] ZHANG Y Y, WANG W S. Ruin probabilities of a bidimensional risk model with investment[J]. Statist Probab Lett,2012,82(1):130-138.
[8] FROLOVA A, KABANOV Y, PERGAMENSHCHIKOV S. In the insurance business risky investments are dangerous[J]. Finance Stoch,2002,6(2):227-235.
[9] DUFRESNE D. The distribution of a perpetuity, with applications to risk theory and pension funding[J]. Scnd Actuar J,1990(1):39-79.
[10] TANG Q, TSITSIASHVILI G. Finite-and infinite-time ruin probability in the presence of stochastic returns on investments[J]. Adv Appl Probab,2004,36(4):1278-1299.
[11] EMBRECHTS PAUL, KlüPPELBERG C, MIKOSCH T. Modelling extremal events[J]. Applications of Mathematics,2010,71(2):183-199.
[12] TANG Q, SU C, JIANG T, et al. Large deviations for heavy-tailed random sums in compound renewal model[J]. Statist Probab Lett,2001,52(1):91-100.
[13] GJESSING H K, PAULSEN J. Present value distributions with applications to ruin theory and stochastic equations[J]. Stochastic Process Appl,1997,71(1):123-144.
[14] CLINE D B H, SAMORODNITSKY G. Subexponentiality of the product of independent random variables[J]. Stochastic Process Appl,1994,49(1):75-98.
[15] WANG K Y, WANG Y B, GAO Q W. Uniform asymptotics for the finite-time ruin probability of a dependent risk model with a constant interest rate[J]. Methodol Comput Appl Probab,2013,15(1):109-124.
[16] YANG Y, LEIPUS R, SIAULYS J, et al. Uniform estimates for the finite-time ruin probability in the dependent renewal risk model[J]. J Math Anal Appl,2011,383(1):215-225.
[17] SHEN X M, ZHANG Y. Ruin probabilities of a two-dimensional risk model with dependent risks of heavy tail[J]. Statistics and Probability Letters,2013,83(7):1787-1799.
[18] WEI L. Ruin probability of the renewal model with risky investment and large claims[J]. Sci China SerA,2009,52(7):1539-1545.
Ruin Probability of Two-type-risk Insurance Risk Model under ERV Distribution
WANG Shishi, WANG Wensheng, LUO Mingxu
(College of Science, Hangzhou Normal University, Hangzhou 310036, China)
ruin probability; risk model for two-type-risk insurance; asymptotic relationship; venture capital strategy
2015-09-29
王文勝(1972—),男,教授,主要從事隨機過程,金融數(shù)學研究.E-mail:wswang@aliyun.com
10.3969/j.issn.1674-232X.2016.05.015
O211.9MSC2010:62P20
A
1674-232X(2016)05-0533-09