王晉茹，張慶慶

（北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124）

帶零點噪聲密度函數(shù)的小波估計

王晉茹，張慶慶

（北京工業(yè)大學(xué)應(yīng)用數(shù)理學(xué)院，北京 100124）

利用小波方法研究含零點噪聲的密度去卷積問題，構(gòu)造了密度函數(shù)的小波估計器，并給出其在Besov空間中的上界估計.結(jié)果表明:本文的估計器是自適應(yīng)的，且推廣了文獻［4，6］的結(jié)論.

Besov空間；小波估計器；自適應(yīng)；收斂率

本文主要考慮如下模型:假設(shè)隨機變量為觀測數(shù)據(jù)，且滿足

式中:Xl與εl為相互獨立的隨機變量；g（t）為隨機噪聲｛εl｝l∈｛1，2，…，n｝所對應(yīng)的已知密度函數(shù).研究目標是估計隨機變量X的密度函數(shù)fX（t）.

設(shè)p≥1，Lp（ RR）表示實直線 RR上的Lp可測空間，F(xiàn)［f］（ξ）表示函數(shù)f（t）∈L1（ RR）的Fourier變換.一般地，隨機噪聲的密度函數(shù)滿足

式中:ξ∈ RR；c＞0；b＞0；α≥0；γ∈ RR為常數(shù).若α= 0，γ＞0，則稱噪聲為適度病態(tài)噪聲；若α＞0，則稱噪聲為嚴重病態(tài)噪聲.在式（2）的條件下，許多作者利用小波方法構(gòu)造未知密度函數(shù)的估計器，并研究其在Besov空間的最優(yōu)收斂性［1-3］.

然而在某些實際問題中，例如均勻分布隨機變量密度函數(shù)的特征函數(shù)有零點，故不滿足式（2）.為此，2011年Delaigle等［4］將條件（2）推廣為含零點情形，即

式中:常數(shù)c＞0；b＞0；T＞0；ν≥0；α≥0；γ∈ RR（如果α=0，則假設(shè)γ＞0）.在式（3）條件下，Delaigle等［4］利用核估計方法構(gòu)造Sobolev空間中密度函數(shù)的估計器，并研究其MISE收斂性.2014年，Guo等［5］利用小波方法構(gòu)造估計器，并研究其在適度病態(tài)噪聲（即α=0）下Besov空間中的Lp風(fēng)險估計.由于Besov空間包含分數(shù)階Sobolev空間受 Delaigle等［4］和Guo等［5］工作的啟發(fā)，本文將構(gòu)造嚴重病態(tài)噪聲（即α＞0）情形下的小波估計器，并研究其在Besov空間中Lp風(fēng)險意義下的收斂性.特別地，當p=q=r=2時，有故本文結(jié)果可以看成文獻［4］的推廣.另外，當γ=0時，本文結(jié)論退回到文獻［6］中不含零點的情形.

1　小波及Besov空間

2　小波估計器及其收斂性

3　結(jié)論

1）本文利用小波方法，針對一類帶零點隨機噪聲的密度函數(shù)，構(gòu)造小波估計器，并給出其Lp風(fēng)險估計.

2）由于Besov空間包含了經(jīng)典的Sobolev空間，即當r=q=p=2時，本文結(jié)論退回到有關(guān)Sobolev空間的結(jié)論，故本文推廣了已有結(jié)果，且包含了已有不含零點的結(jié)論.

［1］LI R，LIU Y.Wavelet optimal estimations for a density with some additive noises［J］.Applied and Computational Harmonic Analysis，2014，36（3）:416-433.

［2］LI R，LIU Y.Wavelet optimal estimations for density functions under severely ill-posed noises［J/OL］.Abstract and Applied Analysis，2013，2013:1-7［2016-03-06］.http://dx.doi.org/10.1155/2013/260573.

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（責(zé)任編輯 呂小紅）

Wavelet Estimation of the Density Functions Under Fourier-oscillating Situation

WANG Jin-ru，ZHANG Qing-qing
（College of Applied Sciences，Beijing University of Technology，Beijing 100124，China）

In this paper，a wavelet method was used to deal with the density deconvolution problems under Fourier-oscillating situation.Wavelet estimators of the density function were constructed and upper bound over Besov spacewas provided.Result shows that the estimator is adaptive and extends the theorems of paper［4，6］.

Besov space；wavelet estimator；adaptive；convergence rate

O 174.2

A

0254-0037（2016）10-1597-04

10.11936/bjutxb2016040010

2016-04-06

國家自然科學(xué)基金面上資助項目（11271038）；國家留學(xué)基金委資助項目（201308110227）

王晉茹（1969—），女，副教授，主要從事小波分析及其應(yīng)用方面的研究.E-mail:wangjinru@bjut.edu.cn