張　淼，于　瀾

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，長春 130012)

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基于實(shí)測振型阻尼比的有限元模型仿真算法研究

張淼，于瀾

(長春工程學(xué)院理學(xué)院，長春 130012)

阻尼是個(gè)復(fù)雜的問題，需要假設(shè)的阻尼更接近于真實(shí)結(jié)構(gòu)，且合理又易于有限元建模。在工程實(shí)際中，質(zhì)量和剛度矩陣可以通過模型修正技術(shù)來得到較好的仿真，但在結(jié)構(gòu)模型中能否適當(dāng)?shù)啬M阻尼仍是個(gè)問題。在僅考慮經(jīng)典阻尼系統(tǒng)的情況下，提出了一種在有限元模型修正后得到的高仿真質(zhì)量和剛度矩陣的基礎(chǔ)上，結(jié)合實(shí)測模態(tài)參數(shù)的數(shù)據(jù)獲得阻尼矩陣的技術(shù)，從而建立環(huán)境激勵(lì)下基于實(shí)測模態(tài)參數(shù)的有限元仿真模型方法。數(shù)值算例說明了所提出方法的有效性與實(shí)用性。

環(huán)境激勵(lì)；模態(tài)參數(shù)；振型阻尼比；峰值拾取法

由于實(shí)施人工激勵(lì)可能對(duì)在役結(jié)構(gòu)造成不必要的損傷，因此，在對(duì)一些大型結(jié)構(gòu)的整體動(dòng)態(tài)行為進(jìn)行監(jiān)測時(shí)，往往采用環(huán)境激勵(lì)下的脈動(dòng)信號(hào)的識(shí)別，利用頻響應(yīng)函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)來確定模態(tài)參數(shù)[1-3]。在測量輸入極其困難的情況下，僅由環(huán)境激勵(lì)響應(yīng)無法估算出系統(tǒng)的頻響函數(shù)或脈沖響應(yīng)函數(shù)，所以，往往采用一些頻域或時(shí)域的模態(tài)參數(shù)識(shí)別方法。對(duì)弱阻尼系統(tǒng)識(shí)別其固有頻率及模態(tài)的一個(gè)很好的方法就是峰值拾取法[4-6]。它的3個(gè)模態(tài)參數(shù)的測量方法可以簡單地概括為：根據(jù)給定方向上的測量，第i階振型在r個(gè)測量離散點(diǎn)上的相對(duì)形狀可以用(1)式近似為:

(1)

式中Syjyj(fi)是第i階振型頻率在第j個(gè)位置上的輸出自譜密度值。第i階振型的等價(jià)黏性阻尼比可以根據(jù)下式計(jì)算，即

(2)

1結(jié)合實(shí)測模態(tài)參數(shù)及有限元分析提取阻尼陣

有限元建模是土木工程結(jié)構(gòu)分析與控制的基本手段。在通常情況下，結(jié)構(gòu)有限元模型是根據(jù)圖紙建立的，常包含很多理想化的假定與簡化，稱為基線模型?；诨€模型進(jìn)行有限元分析及預(yù)測的結(jié)構(gòu)響應(yīng)不可避免地將會(huì)與在實(shí)際結(jié)構(gòu)上測得的結(jié)構(gòu)動(dòng)態(tài)行為之間存在一些偏差。如果能充分利用結(jié)構(gòu)實(shí)測的振動(dòng)信息來修正結(jié)構(gòu)的基線模型，使修正后的結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)與試驗(yàn)值趨于一致，這就是有限元模型修正。有限元模型修正的對(duì)象可以分成兩類：一類是有限元模型的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、甚至阻尼矩陣中的元素，另一類則是有限元模型的設(shè)計(jì)參數(shù)，包括物理參數(shù)與幾何參數(shù)。應(yīng)用實(shí)測的實(shí)模態(tài)參數(shù)(不包含阻尼比)及無阻尼特征方程進(jìn)行有限元模型修正是目前主要的研究方向，本文的目標(biāo)在于同樣是利用實(shí)測實(shí)模態(tài)參數(shù)數(shù)據(jù)(包含阻尼比)，再結(jié)合有限元仿真的質(zhì)量和剛度陣來提取阻尼陣，就能確立良好的有限元仿真模型，再結(jié)合使用阻尼特征方程，用于進(jìn)一步的動(dòng)力修改和分析中。

對(duì)N自由度的線性振動(dòng)系統(tǒng)

(3)

式中M，C和K∈RN×N分別為系統(tǒng)的質(zhì)量、阻尼和剛度矩陣；x(t)∈RN是廣義坐標(biāo)向量；t∈R+代表時(shí)間。結(jié)構(gòu)有限元分析時(shí)的無阻尼固有頻率與實(shí)模態(tài)對(duì)(ωi，φi)(i=1，2，…，N)滿足特征方程

(4)

記Φ=[φ1，…，φN]，aiφi=vi，則V=[v1，…，vN]為無阻尼正則固有振型矩陣，記A=diag(a1，…，aN)，則有

ΦA(chǔ)=V。

(5)

那么此時(shí)模態(tài)質(zhì)量、模態(tài)剛度和模態(tài)阻尼矩陣分別為

VTMV=E=diag(m1，…，mN)，

(6)

VTKV=diag(k1，…，kN)，

(7)

VTCV=diag(c1，…，cN)。

(8)

因?yàn)橐竽B(tài)阻尼矩陣為對(duì)角陣，所以本文的算法只針對(duì)經(jīng)典阻尼系統(tǒng)[7]。引入坐標(biāo)變換

x(t)=Vq(t)，

式中q(t)=(q1(t)，q2(t)，…，qN(t))T，代入式(3)可得

上式左乘VT可得

再由式(6)～(8)可得

(r=1，2，…，N)，

上式可化為

為了求解微分方程，令qr(t)=esrt，則

(9)

上式中只需要解

即可。此方程的解為

(10)

使式(10)根號(hào)內(nèi)的項(xiàng)等于0，亦即sr1與sr2為等值時(shí)的阻尼系數(shù)值，稱為臨界阻尼系數(shù)，記為cc，即

(11)

且有

此時(shí)sr1，r2為無阻尼固有頻率ωr，則

(12)

引進(jìn)振型阻尼比為

(13)

cr=2ξrωr，

(14)

再由式(8)可得

C=(VT)-1diag(c1，…，cN)V-1。

(15)

由式(5)可得

(VT)-1=(ATΦT)-1=(ΦT)-1(AT)-1，

(V)-1=(ΦA(chǔ))-1=A-1Φ-1。

則由式(15)可得

C=(ΦT)-1(AT)-1diag(c1，…，cN)A-1Φ-1，

(16)

其中i表示研究個(gè)體即西部12個(gè)省(區(qū)市)，t表示時(shí)間即從2003年到2016年，xit表示除了金融發(fā)展因素外對(duì)地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長有較大影響的控制變量,包括消費(fèi)、投資、政府支出、對(duì)外依存度和社會(huì)勞動(dòng)力。FDit是與區(qū)間相關(guān)的依賴變量即金融發(fā)展水平。HCit是門檻變量即人力資本存量，因?yàn)槿肆Y本水平對(duì)地區(qū)經(jīng)濟(jì)增長也有重要影響，在這里也把它加入控制變量之中。γ是研究中待估計(jì)的門檻值。I(°)為指標(biāo)函數(shù)，其相應(yīng)的括號(hào)內(nèi)條件成立時(shí)取值為1，否則取值為0。μi為不隨時(shí)間變化的個(gè)體效應(yīng)，eit為隨機(jī)干擾項(xiàng)。進(jìn)一步地，(1)式可以轉(zhuǎn)化為：

2　數(shù)值算例

考慮一個(gè)如圖1所示的二自度阻尼振動(dòng)系統(tǒng)[8]

圖1　2—自由度阻尼系統(tǒng)

該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為

其中

式中m，k，c分別為質(zhì)量、剛度和阻尼。f1(t)為作用于m1上的激勵(lì)。其中m1=0.08，m2=0.08，k1=23.12，k2=6.08，k3=23.12。實(shí)測模態(tài)參數(shù)為

根據(jù)式(4)、式(14)和式(16)可得阻尼矩陣為

3　結(jié)語

本文主要考慮大型結(jié)構(gòu)在線服役條件下，提出使用環(huán)境激勵(lì)下的脈動(dòng)信號(hào)，選用峰值拾取法實(shí)測得到無阻尼實(shí)模態(tài)參數(shù)，再結(jié)合有限元分析中得到的質(zhì)量和剛度矩陣，還原阻尼陣，充分利用了有限元計(jì)算結(jié)果和實(shí)測數(shù)據(jù)的優(yōu)點(diǎn)，建立環(huán)境激勵(lì)下基于實(shí)測模態(tài)參數(shù)的有限元仿真模型方法。數(shù)值算例證明了本文提出的方法的有效性及實(shí)用性。

[1] 楊鷗，劉洋，李惠，等.時(shí)變環(huán)境與損傷耦合下橋梁結(jié)構(gòu)頻率及阻尼比的統(tǒng)計(jì)分析[J].計(jì)算力學(xué)學(xué)報(bào)，2010，27(3):457-463.

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[4] 李惠彬.大型工程結(jié)構(gòu)模態(tài)參數(shù)識(shí)別技術(shù)[M].北京：北京理工大學(xué)出版社，2007:79-113.

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[7] 張淼，于瀾，鞠偉.基于頻響函數(shù)矩陣計(jì)算阻尼系統(tǒng)動(dòng)力響應(yīng)的新方法[J].振動(dòng)與沖擊，2014，33(4)：161-166.

[8] 張淼，王震，曹方瑞.虧損阻尼系統(tǒng)的模態(tài)靈敏度分析算法[J].長春理工大學(xué)學(xué)報(bào)，2013，36(6)：111-115.

The Study on Finite Element Simulation Model Algorithm Based on Measured Modal Damping Ratio

ZHANG Miao，etc.

(SchoolofScience，ChangchunInstituteofTechnology，Changchun130012，China)

Damping is a complex problem.The assumed damping is needed to be coincident to the real structure.And it is to be reasonable and easy to be used in setting up finite element model.In the construction practice，the quality and stiffness matrix can be simulated better by model recover technology.However，whether it is to simulate damping in model structure is still a problem by now.On the condition of only consider about typical damping system，on the basis of getting high simulation quality and stiffness matrix after the finite element recovery，the technology of damping matrix combined with the measured mode parameter has been proposed in this article，in order to build finite element simulation model algorithm based on measured model parameter.The numerical examples show this algorithm proposed in the article has the efficiency and applicability.

ambient vibration；mode parameter；modal damping ratio；peak picking technique

10.3969/j.issn.1009-8984.2016.03.027

2016-06-13

吉林省科技發(fā)展計(jì)劃項(xiàng)目(20160101277JC)

張淼(1972-)，男(漢)，長春，博士，教授

主要研究結(jié)構(gòu)優(yōu)化及振動(dòng)控制。

O321

A

1009-8984(2016)03-0122-03

吉林省教育廳“十三五”科學(xué)技術(shù)研究項(xiàng)目(2016302)