基于孔隙率累積增長(zhǎng)的閉孔泡沫材料三維隨機(jī)建模*

虞跨海，劉　奮

(河南科技大學(xué) 工程力學(xué)系，河南 洛陽(yáng) 471023)

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基于孔隙率累積增長(zhǎng)的閉孔泡沫材料三維隨機(jī)建模*

虞跨海，劉奮

(河南科技大學(xué) 工程力學(xué)系，河南 洛陽(yáng) 471023)

提出了1種基于隨機(jī)造型的橢球空腔閉孔泡沫材料三維幾何建模方法?；趲缀慰臻g均勻分割得到層疊胞元空間，每個(gè)胞元空間內(nèi)隨機(jī)生成一個(gè)球體以形成基礎(chǔ)孔隙造型，球體空腔均勻度因子控制基礎(chǔ)造型隨機(jī)性；胞元空間逐次隨機(jī)生成若干球體空腔并通過(guò)相交特性判定，累積得到有效空腔造型，結(jié)合基于優(yōu)化搜索的孔隙率自適應(yīng)增長(zhǎng)算法，提高空腔造型效率，實(shí)現(xiàn)目標(biāo)孔隙率控制建模；考慮泡沫材料工藝及其真實(shí)幾何特性，實(shí)現(xiàn)泡沫材料大空腔和連通缺陷建模。

閉孔泡沫材料；隨機(jī)造型；橢球相交；孔隙率累積增長(zhǎng)

0　引　言

泡沫材料多孔細(xì)觀結(jié)構(gòu)特性決定其變形、失效、破壞機(jī)制，進(jìn)而決定材料的本構(gòu)關(guān)系、失效模型和疲勞壽命等，表現(xiàn)為泡沫材料在緩沖、吸能、傳熱等宏觀性能的差異[1]；更由于多孔材料結(jié)構(gòu)孔形、分布的隨機(jī)性和細(xì)觀不均勻性，表現(xiàn)為性能參數(shù)對(duì)于細(xì)觀特性的敏感性和實(shí)驗(yàn)結(jié)果的高分散性[2-3]。有限元方法研究細(xì)觀特性對(duì)泡沫材料性能的影響是材料設(shè)計(jì)和工程應(yīng)用的有效手段，但完美構(gòu)造泡沫材料細(xì)觀特征的幾何模型困難，造成數(shù)值方法預(yù)測(cè)泡沫材料力學(xué)、傳熱等性能困難。

泡沫材料數(shù)值計(jì)算理論經(jīng)歷了從單孔模型到排列模型，從二維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)到三維模型的研究。早期研究主要基于單孔模型及其規(guī)則模型，Kadkhodapour等開(kāi)展了圓球、橢球和金字塔中心結(jié)構(gòu)規(guī)則排列泡沫鋁模型的細(xì)微觀變形失效模式研究，但壁面厚度是均勻的[4]。近期，又提出了多孔組合排列規(guī)則模型，采用多種孔形結(jié)構(gòu)規(guī)則排列用以預(yù)測(cè)泡沫材料應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系，如Pinto等利用3D打印模芯制造了均勻和雙尺寸泡沫鋁材料，并開(kāi)展了壓縮實(shí)驗(yàn)，認(rèn)為雙尺寸細(xì)觀結(jié)構(gòu)模型具有更高的吸能效率[5]，Nammi等提出了四面體十一面體閉孔泡沫鋁規(guī)則排列模型，開(kāi)展了應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的準(zhǔn)靜態(tài)有限元仿真分析[6]。

本文擬針對(duì)閉孔泡沫材料隨機(jī)幾何模型建模和力學(xué)性能分析展開(kāi)研究，考慮閉孔泡沫材料制備工藝的內(nèi)部空腔均勻性和隨機(jī)特性，認(rèn)為在材料制備過(guò)程中發(fā)泡劑與基體材料充分混合后是均勻的，但由于加熱不均、工藝、發(fā)泡劑不穩(wěn)定性等因素，造成內(nèi)部空腔結(jié)構(gòu)成型時(shí)又具有隨機(jī)性。因此，本文從閉孔泡沫材料造型是在一定均勻性基礎(chǔ)上的隨機(jī)結(jié)構(gòu)基本思路出發(fā)，提出了閉孔泡沫材料空腔結(jié)構(gòu)的隨機(jī)模型造型方法和理論，研究結(jié)果有助于開(kāi)展泡沫材料的力學(xué)性能預(yù)測(cè)，有利于揭示孔隙、缺陷及其分布等對(duì)多孔材料力學(xué)行為的影響機(jī)制。

1　閉孔泡沫材料隨機(jī)幾何建模算法

本文提出了基于廣義均勻分布的閉孔泡沫材料幾何建模方法，在各向同性胞元空間層疊的基礎(chǔ)上，融合隨機(jī)方法開(kāi)展閉孔泡沫材料結(jié)構(gòu)的建模，符合閉孔泡沫材料制備工藝特性。理想狀態(tài)下泡沫材料空腔為圓球體，但由于發(fā)泡工藝控制等隨機(jī)性因素，空腔將發(fā)生不同程度的變異，認(rèn)為主要為球體圓度的變異、空腔的連通與大空腔形成等。因此，本文針對(duì)空腔為圓球體和橢圓球體兩種模型及缺陷隨機(jī)構(gòu)造，開(kāi)展了閉孔泡沫材料的隨機(jī)建模方法研究。

1.1基于胞元層疊的造型空間

采用胞元空間層疊方法構(gòu)造分布均勻的初始空腔分布模型，若胞元空間為長(zhǎng)方體，其空間造型三維尺寸(l1，l2，l3)將在一定程度上影響材料各個(gè)方向的空腔分布，胞元尺寸的不同將使材料表現(xiàn)出各向異性。

考慮泡沫材料的各向同性，定義胞元空間3個(gè)方向尺寸相同，即l1=l2=l3=l以坐標(biāo)原點(diǎn)為整體造型空間起點(diǎn)，定義胞元沿坐標(biāo)正向的層疊數(shù)量(n1，n2，n3)，建立泡沫材料造型空間，每個(gè)方向胞元層疊數(shù)量一般不少于30。每個(gè)胞元節(jié)點(diǎn)可以用層疊數(shù)坐標(biāo)表示(ki，kj，kk)，每個(gè)胞元可以用兩個(gè)主對(duì)角線頂點(diǎn)坐標(biāo)表示，又由于胞元為正立方體，則胞元體可以用(xi，yj，zk、l)或(ki，kj，kk，l)唯一確定，其中(xi，yj，zk)為胞元離原點(diǎn)最近頂點(diǎn)坐標(biāo)。如圖1所示，對(duì)每個(gè)胞元空間賦予編號(hào)，編號(hào)規(guī)則按照層疊順序3個(gè)方向坐標(biāo)組成的數(shù)組順序賦值，即空間編號(hào)1對(duì)應(yīng)由節(jié)點(diǎn)(0，0，0)和(1，1，1)為主對(duì)角線的胞元，空間編號(hào)2對(duì)應(yīng)由(0,0,1)和(1，1，2)為主對(duì)角線的胞元，直至空間編號(hào)n1·n2·n3，對(duì)應(yīng)由節(jié)點(diǎn)(n1-1，n2-1，n3-1)和(n1，n2，n3)為主對(duì)角線的胞元。

1.2橢球空腔建模與相交判定

理想狀態(tài)下，泡沫材料內(nèi)的空腔結(jié)構(gòu)應(yīng)為較均勻分布的球體，但由于工藝、設(shè)備、材料雜質(zhì)等因素的影響，空腔造型會(huì)出現(xiàn)不均勻性、尺寸分布、變異、缺陷等現(xiàn)象。隨機(jī)性造型重繪泡沫材料結(jié)構(gòu)的不均勻性和尺寸統(tǒng)計(jì)分布特性，空腔橢球造型方法和缺陷隨機(jī)生成，實(shí)現(xiàn)空腔結(jié)構(gòu)的變異與不確定性建模。

1.2.1橢球幾何建模算法

隨機(jī)橢球幾何模型采用9個(gè)參數(shù)控制，分別是中心坐標(biāo)參數(shù)

半軸長(zhǎng)度參數(shù)向量

空間旋轉(zhuǎn)角度參數(shù)

半軸長(zhǎng)度參數(shù)也可表示為極半軸長(zhǎng)度及其比例系數(shù)(ka，kb，c)，其中

θ，φ，ψ分別是橢球中心軸與坐標(biāo)系主軸方向的夾角。

圖1胞元空間層疊建模及空間編號(hào)規(guī)則

Fig 1 Stacked unit cell space and the rule of numbering

1.2.2橢球間相交判定

閉孔泡沫材料每個(gè)空腔相互之間不相連通，因此，造型過(guò)程為了保證每個(gè)空腔的獨(dú)立性，需開(kāi)展空腔相交特性判定。橢球體在其中心局部笛卡爾坐標(biāo)系下表達(dá)式為

(1)

其中

中心坐標(biāo)參數(shù)為(xc，yc，zc)的橢球面可以視為在原點(diǎn)橢球面基礎(chǔ)上的坐標(biāo)平移，則有

(2)

橢球的隨機(jī)角度(θ，φ，ψ)旋轉(zhuǎn)，可以視為三次空間坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換，則有

(3)

將式(2)、(3)代入式(1)，得到隨機(jī)橢球的表達(dá)式XTAX<0

(4)

得到全局笛卡爾坐標(biāo)系下的隨機(jī)橢球方程。

根據(jù)Wang等[13-14]提出的分離條件實(shí)現(xiàn)造型過(guò)程中的橢球相交判定。假設(shè)任意兩個(gè)橢球

XTAX≤0，XTBX≤0

定義其特征方程

(1)當(dāng)f(λ)=0有兩個(gè)不同的正實(shí)根，則兩個(gè)橢球分離；(2)當(dāng)f(λ)=0有且僅有一個(gè)正實(shí)根，則兩個(gè)橢球相交于一點(diǎn)；(3)當(dāng)f(λ)=0沒(méi)有正實(shí)根，則兩個(gè)橢球相交。

當(dāng)橢球中a=b=c時(shí)，則為圓球，因此，也可以用于橢球與圓球之間的相交判定。

1.3基礎(chǔ)均勻隨機(jī)造型

每個(gè)胞元內(nèi)部隨機(jī)生成一個(gè)空腔結(jié)構(gòu)，使得閉孔泡沫結(jié)構(gòu)基礎(chǔ)空腔既表現(xiàn)出空腔結(jié)構(gòu)的均勻性，又通過(guò)在限定區(qū)域內(nèi)的隨機(jī)建模體現(xiàn)一定的隨機(jī)性，實(shí)現(xiàn)泡沫材料基礎(chǔ)均勻隨機(jī)造型。

空腔造型采用圓球和橢球混合模型，胞元空間最小尺寸應(yīng)大于最大圓球空腔直徑或橢球最小外切圓球直徑dmax。如圖2所示為球心空間構(gòu)造示意圖，為了使得隨機(jī)生成的球心能夠絕對(duì)滿足胞元空間要求，在胞元空間各方向尺寸縮進(jìn)R+wt/2，構(gòu)成球心隨機(jī)造型空間，其中R=dmax/2，wt為泡沫空腔之間最小壁厚要求。在球心隨機(jī)造型空間內(nèi)隨機(jī)生成球心坐標(biāo)，可以直接滿足胞元空間內(nèi)部空腔造型的要求，減少計(jì)算量。隨機(jī)生成球心坐標(biāo)集合Ξ(x,y,z)和泡沫空腔造型參數(shù)集合Φ(r)，得到基礎(chǔ)均勻隨機(jī)空腔造型，這些生成的球體定義為胞元中心球體。

圖2　球心空間構(gòu)造示意圖

胞元空間尺寸l與空腔尺寸r之間的比例關(guān)系，將在很大程度上決定基礎(chǔ)均勻隨機(jī)空腔造型的均勻性和閉孔泡沫材料幾何結(jié)構(gòu)最終造型的空間特性，同時(shí)在一定程度上影響后續(xù)孔隙率增長(zhǎng)造型算法的計(jì)算量。為了表征基礎(chǔ)隨機(jī)造型的均勻性，提出基礎(chǔ)球體空腔均勻度γ模型

(5)

式中，Δdi為球心坐標(biāo)與胞元空間中心坐標(biāo)距離向量，l為胞元空間長(zhǎng)度，r為球體空腔半徑。當(dāng)γ=0時(shí)，空腔中心與子域中心重合，完全均勻；當(dāng)γ=1時(shí)，基礎(chǔ)空腔均勻性最差，隨機(jī)性最大。如圖3所示為等半徑均勻和隨機(jī)基礎(chǔ)空腔造型結(jié)果。

圖3　不同均勻度因子的基礎(chǔ)隨機(jī)造型結(jié)果

Fig 3 Geometry of basic stochastic modeling with different uniformity factor

胞元空間的尺寸將決定泡沫金屬材料模型的整體均勻性和幾何建模的基礎(chǔ)孔隙率，當(dāng)胞元空間尺寸越大，整體均勻性越小，基礎(chǔ)孔隙率越小，反之越大。當(dāng)l=2r時(shí)，整體均勻造型基礎(chǔ)孔隙率達(dá)到理論極限

(6)

實(shí)際造型過(guò)程中，整體空間隨機(jī)均勻基礎(chǔ)空腔造型結(jié)果的孔隙率一般在20%以下，這與胞元空間尺寸與空腔尺寸的比值相關(guān)，需通過(guò)多重采樣累積造型才能實(shí)現(xiàn)50%～70%孔隙率泡沫材料的幾何建模。

1.4孔隙率增長(zhǎng)累積造型

初步生成的基礎(chǔ)空腔模型，模型內(nèi)部仍然存在大量的實(shí)體空間，難以達(dá)到大孔隙率幾何建模的要求，本文采用逐步累積方法提高孔隙率?？紫堵世鄯e增長(zhǎng)空腔造型采用多次生成方法，逐步增加孔隙結(jié)構(gòu)，在選定胞元空間橢球球環(huán)空間內(nèi)，隨機(jī)生成球心集合與半徑集合，根據(jù)球體空間相交規(guī)則判定空腔是否相交的方法排除不符合要求的球體造型，為了避免在孔隙率增長(zhǎng)后期算法效率低的問(wèn)題，本文提出了空腔自適應(yīng)優(yōu)化增長(zhǎng)方法，通過(guò)優(yōu)化提高孔隙率增長(zhǎng)算法的效率和可行性。

孔隙率累積增長(zhǎng)算法基于隨機(jī)造型篩選和空間尋優(yōu)相結(jié)合策略實(shí)現(xiàn)。以某胞元空間內(nèi)生成的空腔P為例，若(ap，bp，cp)為P的橢球半軸長(zhǎng)，在橢球(xp，yp，zp，ap+rmax+wt，bp+rmax+wt，cp+rmax+wt，θp，φp，ψp)和(xp，yp，zp，ap+rmin+wt，bp+rmin+wt，cp+rmin+wt，θp，φp，ψp)構(gòu)造的環(huán)狀空間內(nèi)，隨機(jī)生成滿足累積模型中心點(diǎn)建模要求的球心坐標(biāo)集合Ξ(xc)及匹配的半徑和轉(zhuǎn)角集合Φ(r,θ)，其中rmax和rmin分別為最大和最小球半徑，wt為空腔之間壁厚，球體數(shù)量根據(jù)胞元空間尺寸和空腔半徑生成；篩選出相互之間滿足最小壁厚要求的球體集合Ω(xc，r，θ)，得到胞元空間累積初步幾何造型。

如圖4所示為子域定義示意圖，對(duì)于任意一個(gè)胞元空間，與其具備相交可能性的球體空腔應(yīng)全部包含在子域空間內(nèi)。子域空間由胞元及與其相鄰的Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ 4個(gè)區(qū)域的共27個(gè)胞元組成3×3×3的矩陣排列，單邊界區(qū)域胞元子域由鄰近Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 3個(gè)區(qū)域共18個(gè)胞元組成，雙邊界區(qū)域胞元子域由鄰近Ⅰ、Ⅱ兩個(gè)區(qū)域共12個(gè)胞元組成，三邊界區(qū)域胞元子域由鄰近Ⅰ區(qū)域共8個(gè)胞元組成，遴選子域空間內(nèi)的所有球體空腔作為相交判定球體集合Ψ(xc，r，θ)，可以避免在整體造型空間內(nèi)進(jìn)行相交判定，提高算法效率。將胞元空間初步幾何造型集合Ω(xc，r，θ)及其相對(duì)應(yīng)的子域球體集合Ψ(xc，r，θ)進(jìn)行相交判定，所得的符合不相交規(guī)則的造型為該胞元當(dāng)次累積增長(zhǎng)幾何造型Ω′(xc，r，θ)。

圖4子域空間構(gòu)造示意圖

Fig 4 Schematic of subdomain space

隨著空間累積增長(zhǎng)模型的進(jìn)行，胞元附近尋找滿足造型要求球體空腔的效率急劇下降，孔隙率增長(zhǎng)的計(jì)算量呈幾何倍數(shù)增長(zhǎng)。本文提出了基于優(yōu)化理論的孔隙率自適應(yīng)增長(zhǎng)算法，可以極大提高孔隙率增長(zhǎng)造型的算法效率。算法如下：(1)選取某一胞元及其隨機(jī)造型及相交判定，得到初步增長(zhǎng)幾何造型集合Ω；(2)Ω與子域空腔集合Ψ相交判定，篩選出與其全不相交的造型集合Γ，與Ψ一起構(gòu)造新的子域空腔集合Ψ′，定義Ω去除Γ后的子集為Ω′；(3)選取Ω′中任意球體Z，記錄Ψ′與Z的相交特性；(4)比例減小球體Z的軸半徑參數(shù)，得到新的球體Z′，計(jì)算球體Z′與Ψ′的相交特性，若軸半徑參數(shù)小于最小半徑，則認(rèn)為該球體Z造型失敗，從Ω′中篩除該球體并更新Ω′，若Ω′為空轉(zhuǎn)至(8)；(5)若Z′與Ψ′全部不相交，轉(zhuǎn)(8)，若相交特性未變化，轉(zhuǎn)至(4)，否則轉(zhuǎn)至(6)；(6)記錄Ψ′中由相交變?yōu)椴幌嘟坏那蝮w集合Λ，以球體Z的球心和集合Λ的球心連線為方向向量，選取其中兩個(gè)夾角最小向量的中心向量的反方向?yàn)閆球心坐標(biāo)優(yōu)化搜索方向，得到球體Z″，若相交特性變化的球體只有一個(gè)，則優(yōu)化方向向量為其反方向；(7)記錄Z″與Ψ′的相交特性，若相交特性沒(méi)變化，則繼續(xù)沿該方向搜索球心坐標(biāo)，直至出現(xiàn)相交特性變化，記錄出現(xiàn)由不相交變?yōu)橄嘟磺蛐南蛄康姆聪驗(yàn)橄麓吻蛐乃阉鞣较颍羟蛐淖鴺?biāo)超出子域，則轉(zhuǎn)(8)，若Z′與Ψ′全部不相交，轉(zhuǎn)(8)，否則轉(zhuǎn)(4)；(8)結(jié)束此次造型，若球體Z′符合造型要求并入Ψ′，更新子集Ω′，若Ω′為空或胞元孔隙率達(dá)到目標(biāo)值，結(jié)束該胞元的孔隙率增長(zhǎng)，進(jìn)入(1)，否則轉(zhuǎn)至(3)；(9)當(dāng)所有子域空腔集合Ψ(x,y,z,r)內(nèi)所有空腔尋優(yōu)完成，或達(dá)到搜索上限，完成一次孔隙率累積增長(zhǎng)。

整體孔隙率計(jì)算公式為

(7)

式中，Vfoam表示造型空間內(nèi)泡沫空腔體積，Vall表示造型空間總體積，其中泡沫空腔體積計(jì)算時(shí)，應(yīng)考慮邊界處界面截?cái)嗖糠挚涨惑w積，如圖5所示為邊界處空腔截?cái)囝愋?，分別有單邊界、雙邊界和三邊界截?cái)唷ｓw積計(jì)算采用微積分方法推導(dǎo)得到3種截?cái)囝愋拖麦w積計(jì)算公式，單邊截?cái)嗫涨惑w積計(jì)算公式為

(8)

式中，右邊第一項(xiàng)為球體體積，第二項(xiàng)為球缺體積。對(duì)于雙邊截?cái)嗪腿吔財(cái)嗫涨惑w積，采用近似計(jì)算，即球體體積減去兩部分或3部分球缺體積

(9)

(10)

該計(jì)算結(jié)果與實(shí)際相比孔隙率偏小，但由于邊界附近空腔占比例較小，對(duì)孔隙率計(jì)算結(jié)果影響較少，在累積增長(zhǎng)建模過(guò)程中子域空間的近似孔隙率計(jì)算，也采用該方法計(jì)算。

1.5閉孔泡沫材料隨機(jī)模型造型結(jié)果

根據(jù)基礎(chǔ)空間造型和空間累積增長(zhǎng)算法，編制泡沫材料造型程序，得到橢球空腔造型參數(shù)，基于三維造型軟件的二次開(kāi)發(fā)實(shí)現(xiàn)泡沫材料幾何造型。圖6和7所示為分別建立的孔隙率分別為52%和64%的泡沫材料隨機(jī)造型結(jié)果，最小壁厚為0.08 mm，空腔的半徑范圍為0.2～1.0 mm，模型大小為10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基礎(chǔ)空腔均勻度因子γ=1，橢球參數(shù)k的取值區(qū)間為 [0.7,1]。

圖5　空腔在邊界上的3種截?cái)囝愋?/p>

圖6　52%孔隙率無(wú)缺陷模型

圖7　64%孔隙率無(wú)缺陷模型

閉孔泡沫材料由于生產(chǎn)工藝等原因，會(huì)產(chǎn)生一些缺陷，主要有連通缺陷、大孔缺陷等。大孔缺陷一般表現(xiàn)為最大直徑1～3倍的大空腔結(jié)構(gòu)，可以直接空間隨機(jī)生成。連通缺陷一般表現(xiàn)為兩個(gè)空腔的連接，可以分為橢球同軸連通和非同軸連通兩種。圖8所示為建立的空腔缺陷模型，其中孔隙率均為56%，最小壁厚(對(duì)非連通缺陷區(qū)域)為0.08 mm，空腔的半徑范圍為0.2～0.8 mm，模型空間大小為10.0 mm×10.0 mm×15.0 mm，基礎(chǔ)空腔均勻度因子γ=1，大孔缺陷的半徑為1.0 mm，連通缺陷最大連通距離為0.1 mm。

圖8　缺陷模型

2　結(jié)　論

提出了基于隨機(jī)成型的閉孔泡沫材料幾何建模方法，在均勻劃分造型空間的基礎(chǔ)上，采用隨機(jī)方法生成球體或橢球體空腔形成閉孔泡沫材料基礎(chǔ)均勻隨機(jī)造型，空間累積增長(zhǎng)結(jié)合空腔造型相交判定算法實(shí)現(xiàn)了閉孔泡沫材料孔隙率增長(zhǎng)，建立了50%～70%孔隙率的泡沫材料，得到以下結(jié)論：

(1)采用基礎(chǔ)空腔均勻隨機(jī)生成，結(jié)合基于橢球相交判定空腔累積增長(zhǎng)算法，可以實(shí)現(xiàn)孔隙率為50%～70%的閉孔泡沫材料三維幾何模型建模；

(2)基于優(yōu)化理論的孔隙率自適應(yīng)增長(zhǎng)可以提高空間累積的可行性和計(jì)算效率；

(3)建立的閉孔泡沫材料幾何模型，實(shí)現(xiàn)了橢球隨機(jī)分布、大孔和連通缺陷模型建模，具有較高的真實(shí)材料重構(gòu)特性，有利于數(shù)值方法開(kāi)展泡沫材料力學(xué)特性、傳熱特性等性能的預(yù)測(cè)和設(shè)計(jì)。

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3D geometry modeling method of closed-cell foam based porosity accumulation

YU Kuahai，LIU Fen

(Department of Mechanics Engineering,Henan University of Science and Technology,Luoyang 471023,China)

This paper proposes a new 3D geometry modeling method of closed-cell foam material based on stochastic algorithm,with the cavity shape of spheroid.Uniform space partition method constructs the stacked unit cell space,then generate one spheroid in each unit cell to construct the basic geometry of foam,by defining the uniformity factor to control its randomness.Porosity accumulation method is developed to make the porosity reach to the target step by step,by central unit cell generate several spheroids randomly each time and intersection determination to retain the feasible geometry in each step.Porosity adaptive increasing algorithm based optimization method is also proposed to improve the modeling efficient.Besides,large cavities and overlapping flaw geometry models are also developed,considering the actual foaming process and structure features of foams.

closed-cell foam; stochastic modeling; ellipsoid intersection; porosity accumulation increase

1001-9731(2016)09-09073-06

2015-08-14

2016-03-15 通訊作者：虞跨海，E-mail:yukuahai@163.com

虞跨海(1982-)，男，浙江義烏人，博士，副教授，從事計(jì)算力學(xué)方面研究。

TB31；TB34

ADOI:10.3969/j.issn.1001-9731.2016.09.014