劉開(kāi)賀 靳艷飛 馬正木

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 100081）

相關(guān)乘性和加性高斯白噪聲激勵(lì)下周期勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振*

劉開(kāi)賀 靳艷飛 馬正木

（北京理工大學(xué)宇航學(xué)院力學(xué)系，北京 100081）

研究了外加周期信號(hào)作用下，相關(guān)高斯乘性和加性白噪聲激勵(lì)下周期勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.利用線性響應(yīng)理論，計(jì)算了系統(tǒng)輸出信號(hào)的功率譜密度、振幅、相位差.研究結(jié)果表明：當(dāng)加性噪聲強(qiáng)度和關(guān)聯(lián)系數(shù)不變的情況下，通過(guò)調(diào)整乘性噪聲強(qiáng)度可以出現(xiàn)隨機(jī)共振；關(guān)聯(lián)系數(shù)的正負(fù)以及大小對(duì)隨機(jī)共振的影響較小.當(dāng)乘性噪聲強(qiáng)度較小時(shí)，輸出信號(hào)的振幅和相位差曲線有一個(gè)單峰出現(xiàn)，即出現(xiàn)隨機(jī)共振現(xiàn)象，能量從噪聲向信號(hào)進(jìn)行轉(zhuǎn)化.隨著噪聲強(qiáng)度的增大，隨機(jī)共振現(xiàn)象消失，噪聲由增大系統(tǒng)的有序程度漸漸變?yōu)樵龃笙到y(tǒng)的無(wú)序程度.

隨機(jī)共振，周期勢(shì)系統(tǒng)，相關(guān)噪聲，功率譜密度

引言

1981年，Benzi等［1-2］提出了“隨機(jī)共振”的概念并用來(lái)解釋第四紀(jì)全球氣象冰川期問(wèn)題.此后，隨機(jī)共振及其相關(guān)問(wèn)題的研究成為物理、生物、化學(xué)、電子等各領(lǐng)域研究的熱點(diǎn)問(wèn)題［3-8］.在實(shí)際問(wèn)題中，大多情況下乘性和加性噪聲具有相關(guān)性［9-15］.曹力等［9］將噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性引入雙穩(wěn)系統(tǒng)的研究，并給出了相應(yīng)的一致有色噪聲近似.李靜輝等［10］發(fā)現(xiàn)噪聲之間的關(guān)聯(lián)性能誘導(dǎo)非平衡系統(tǒng)的相變.Mei和Xie等［12-13］將噪聲之間的互關(guān)聯(lián)性引入非線性動(dòng)力系統(tǒng)的逃逸問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)噪聲關(guān)聯(lián)性能誘導(dǎo)平均首次穿越時(shí)間的曲線出現(xiàn)共振和抑制現(xiàn)象.羅曉琴等［14］討論了由兩種不同色噪聲和周期信號(hào)激勵(lì)的雙穩(wěn)系統(tǒng)的隨機(jī)共振現(xiàn)象.靳艷飛等［15-16］研究了色噪聲參數(shù)激勵(lì)和周期調(diào)制噪聲外激勵(lì)聯(lián)合作用下線性系統(tǒng)的隨機(jī)共振.李貝等［17］研究了色關(guān)聯(lián)的乘性和加性高斯色噪聲驅(qū)動(dòng)的分段非線性系統(tǒng)的平均首次穿越時(shí)間.

以往隨機(jī)共振的研究大多集中于經(jīng)典雙穩(wěn)系統(tǒng)，隨著研究的深入，人們開(kāi)始把研究對(duì)象拓展到多穩(wěn)系統(tǒng)，如：周期勢(shì)系統(tǒng).布朗粒子在周期勢(shì)系統(tǒng)中的動(dòng)力學(xué)機(jī)制在物理學(xué)和化學(xué)中的很多應(yīng)用中都是一個(gè)很重要的問(wèn)題，比如超導(dǎo)體中離子的運(yùn)動(dòng)、約瑟夫森節(jié)中超電流的波動(dòng)等.胡崗和Fronzoni等［18-19］分別對(duì)附加了一個(gè)傾斜的周期勢(shì)場(chǎng)中的隨機(jī)共振以及噪聲驅(qū)動(dòng)下的粒子傳輸進(jìn)行了研究. Kim和Sung［20］利用數(shù)值方法對(duì)沒(méi)有附加傾斜的勢(shì)場(chǎng)中的隨機(jī)共振進(jìn)行了研究.Saikia和Reenbohn等［21-22］用一種新的方法對(duì)欠阻尼情況下周期勢(shì)場(chǎng)中粒子的擴(kuò)散運(yùn)動(dòng)進(jìn)行了數(shù)值模擬.

針對(duì)具有相關(guān)乘性和加性的噪聲激勵(lì)的周期勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振研究較少.本文研究了帶有外加周期信號(hào)的周期勢(shì)系統(tǒng)在相互關(guān)聯(lián)的高斯白噪聲激勵(lì)下的隨機(jī)共振情況.利用線性響應(yīng)理論，以系統(tǒng)輸出信號(hào)的功率譜密度、振幅、相位差作為隨機(jī)共振的衡量指標(biāo)，討論了噪聲強(qiáng)度、噪聲互相關(guān)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振的影響.

1 模型的建立

外加周期信號(hào)和相關(guān)加性和乘性高斯白噪聲激勵(lì)下，周期勢(shì)系統(tǒng)的郎之萬(wàn)方程為：

其中，x（t）和h（t）是相關(guān)的高斯白噪聲，它們的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)滿足如下條件：

其中，Q和D分別為乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度，λ是乘性噪聲和加性噪聲之間的相關(guān)系數(shù).

首先，對(duì)（1）式進(jìn)行如下變換：

利用（3）式將（1）式變換為

其中ξ（t）和η1（t）是不相關(guān)的高斯白噪聲：

這樣，所研究的系統(tǒng)就轉(zhuǎn)化成了不相關(guān)的白噪聲激勵(lì)下的周期勢(shì)系統(tǒng).對(duì)（1）式的數(shù)值積分就可以轉(zhuǎn)變成對(duì)（4）式的數(shù)值積分.對(duì)（4）式進(jìn)行變量替換，即可得到如下隨機(jī)微分方程組：

下面采用 Heun［23］方法對(duì)（6）式應(yīng)用MATLAB編程進(jìn)行數(shù)值積分，所選參數(shù)分別為dt=0.1，F(xiàn)0= 0.2，ω0=π/4，且本文參數(shù)均為無(wú)量綱.

2 隨機(jī)共振的標(biāo)準(zhǔn)

因?yàn)榇嬖谕饧拥闹芷谛盘?hào)，如果系統(tǒng)在噪聲的作用下會(huì)產(chǎn)生隨機(jī)共振，那么系統(tǒng)的平均輸出響應(yīng)x（t）應(yīng)該具有和輸入信號(hào)相等的頻率，因此平均輸出響應(yīng)x（t）的功率譜密度PSD在頻率ω=1/T0= ω0/2π=0.125一定有一個(gè)峰值，而且在產(chǎn)生隨機(jī)共振所對(duì)應(yīng)的噪聲強(qiáng)度下ω=0.125附近的PSD一定也是最大的.所以可以把ω=ω0處的PSD值作為隨機(jī)共振的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn).

另外，按照線性響應(yīng)理論，輸出響應(yīng)的幅值和相位差也可以作為隨機(jī)共振的判斷標(biāo)準(zhǔn).對(duì)于輸出響應(yīng)的幅值，我們既可以根據(jù)圖像進(jìn)行擬合，又可以根據(jù)線性響應(yīng)理論來(lái)求解.根據(jù)線性響應(yīng)理論，輸出響應(yīng)x（t）的統(tǒng)計(jì)均值可以寫(xiě)為

類似的我們可以寫(xiě)出

則（7）式中的幅值和相位差可以表示為

根據(jù)（8）式和（9）式，我們可以利用 A和φ隨著噪聲強(qiáng)度的變化曲線來(lái)判斷隨機(jī)共振的發(fā)生.

3 數(shù)值分析

首先，我們僅考慮在加性噪聲強(qiáng)度D=0.002和關(guān)聯(lián)系數(shù)λ=0.9都固定不變的情況下，乘性噪聲強(qiáng)度Q對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振的影響.

圖1給出了乘性噪聲強(qiáng)度Q對(duì)平均輸出響應(yīng)x（t）的功率譜密度PSD的影響.由圖可見(jiàn)，Q=0. 03時(shí)，PSD在ω=0.125時(shí)的峰值是最高的，由此可以初步判斷在該組參數(shù)設(shè)定下，隨機(jī)共振是發(fā)生的，并且在Q=0.03時(shí)達(dá)到最大.

圖1 系統(tǒng)輸出信號(hào)的PSD作為頻率ω的函數(shù)隨不同噪聲強(qiáng)度變化的曲線Fig.1 System output signal PSD to frequencyωrelationships with different noise intensity

為了進(jìn)一步確定隨機(jī)共振是否發(fā)生，我們還對(duì)（8）式中的A和φ進(jìn)行了計(jì)算，并繪制了它們和Q的關(guān)系曲線，如圖2和圖3所示.從圖中我們可以看出隨機(jī)共振確實(shí)發(fā)生.在圖2中，我們可以看到Q≤0.03時(shí)，當(dāng)增大Q時(shí)，平均輸出信號(hào)x（t）的幅值A(chǔ)整體也是增大的；當(dāng)Q=0.03時(shí)平均輸出信號(hào)x（t）的幅值A(chǔ)達(dá)到了一個(gè)最大值，此時(shí)能量從噪聲向信號(hào)轉(zhuǎn)移的最多，達(dá)到了類似于傳統(tǒng)意義上的“共振”.隨著Q的繼續(xù)增大，平均輸出信號(hào)x（t）的幅值A(chǔ)又開(kāi)始下降，這說(shuō)明能量從噪聲向信號(hào)的轉(zhuǎn)移開(kāi)始變少.當(dāng)Q繼續(xù)增大（Q≥0.15）時(shí)，我們發(fā)現(xiàn)平均輸出信號(hào)x（t）的幅值 A開(kāi)始小于輸入信號(hào)的幅值，這說(shuō)明此時(shí)的噪聲不再增強(qiáng)系統(tǒng)的有序程度，而是開(kāi)始增大系統(tǒng)的無(wú)序程度.從圖2中我們還可以看出，只有當(dāng)乘性噪聲強(qiáng)度很小的時(shí)候，系統(tǒng)才會(huì)發(fā)生隨機(jī)共振.除了平均輸出信號(hào)的幅值以外，我們還研究了輸出信號(hào)x（t）與輸入信號(hào)之間的相位差與乘性噪聲強(qiáng)度Q的關(guān)系.在圖3中，我們看到平均輸出信號(hào)x（t）與輸入信號(hào)之間的相位差隨著Q的增大出現(xiàn)一個(gè)極大值，說(shuō)明系統(tǒng)存在隨機(jī)共振現(xiàn)象.

圖2 輸出信號(hào)的幅值在D=0.002，λ=0.9時(shí)隨著乘性噪聲強(qiáng)度變化的曲線Fig.2 Output amplitude tomultiplicative noise curve when D=0.002，λ=0.9

圖3輸出信號(hào)的相位差在D=0.002，λ=0.9時(shí)隨著乘性噪聲強(qiáng)度變化的曲線Fig.3 Outputphase difference tomultiplicative noise curve when D=0.002，λ=0.9

下面我們研究加性噪聲和乘性噪聲之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)λ對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振的影響.固定乘性噪聲強(qiáng)度和加性噪聲強(qiáng)度，令關(guān)聯(lián)系數(shù)分別取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)，來(lái)研究互為相反數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的影響.令Q=0.1和D=0.002，研究了λ=±0.8時(shí)系統(tǒng)的平均輸出信號(hào)的時(shí)間歷程圖.在圖4中，我們可以看出隨著時(shí)間的增長(zhǎng)，平均輸出信號(hào)是有著多次的反轉(zhuǎn)的（即上升或是下降），而當(dāng)λ互為相反數(shù)時(shí)，系統(tǒng)的平均輸出信號(hào)走勢(shì)基本是相反的，但是它們每次上升或者下降的幅度基本是一致的，而且在相同的時(shí)間段內(nèi)，它們的信號(hào)幅值基本也是一樣的.圖5是截取圖4的一部分進(jìn)行了放大，從圖中就可以比較清晰的看出來(lái)λ并不影響輸出信號(hào)幅值的大小.

圖4 λ=±0.8時(shí)系統(tǒng)的平均輸出信號(hào)的時(shí)間歷程圖Fig.4 Time history of the average output signal for system x（t）whenλ=±0.8

圖5 圖4的局部放大圖Fig.5 Partial enlarged view of Fig.4

其次，我們研究了互為相反數(shù)的關(guān)聯(lián)系數(shù)對(duì)隨機(jī)共振的影響.首先我們固定D=0.002保持不變，令λ分別為-0.4和0.4，畫(huà)出了它們對(duì)應(yīng)的平均輸出信號(hào)幅值相對(duì)于乘性噪聲強(qiáng)度Q的曲線，如圖6.在圖6中，曲線是λ=-0.4所對(duì)應(yīng)的曲線，而*點(diǎn)是λ=0.4時(shí)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，我們可以看出，大部分的*點(diǎn)都落在了曲線附近，而且整體的變化趨勢(shì)是一致的，由此可見(jiàn)只要關(guān)聯(lián)系數(shù)的絕對(duì)值一樣，那么平均輸出信號(hào)的幅值大小基本是不變的.

在圖7中，我們繪制了λ取互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)時(shí)，平均輸出信號(hào)和輸入信號(hào)之間的相位差以及平均輸出信號(hào)的導(dǎo)數(shù)（即平均輸出速度）與輸入信號(hào)之間的相位差φ隨乘性噪聲強(qiáng)度Q變化的曲線.從圖中我們可以觀察到，λ=±0.9所對(duì)應(yīng)的平均輸出信號(hào)和平均輸出速度的相位差曲線幾乎完全重合在了一起，峰值處所對(duì)應(yīng)的Q也是相同的.這就說(shuō)明了關(guān)聯(lián)系數(shù)的符號(hào)對(duì)相位差的影響是很小的.另外，λ=0.9所對(duì)應(yīng)的平均輸出信號(hào)相位差和平均速度相位差的變化規(guī)律是一樣的，只是平均拉開(kāi)了一個(gè)距離，這個(gè)距離正好等于π/2，而這也正好是符合線性響應(yīng)理論的，在線性響應(yīng)理論中，平均輸出信號(hào)和平均速度之間就是相差π/2.

圖6 λ=±0.4時(shí)的平均輸出信號(hào)幅值隨Q的變化曲線Fig.6 Amplitude of the average output signal tomultiplicative noise curve whenλ=±0.4

圖7 λ=±0.9時(shí)的平均輸出信號(hào)和速度的相位差隨Q的變化曲線Fig.7 Phase difference of average output signal and velocity to multiplicative noise relationships whenλ=±0.9

最后，我們就研究了不同大小的關(guān)聯(lián)系數(shù)對(duì)系統(tǒng)隨機(jī)共振的影響.從圖8和圖9中我們可以看出來(lái)，雖然λ從0逐漸增大到1，但是對(duì)平均輸出信號(hào)的幅值和相位差隨乘性噪聲強(qiáng)度的變化規(guī)律的影響很小，尤其是平均輸出信號(hào)的幅值和相位差取得峰值時(shí)所對(duì)應(yīng)的最佳噪聲強(qiáng)度都沒(méi)有發(fā)生變化，因此我們可以說(shuō)關(guān)聯(lián)系數(shù)對(duì)隨機(jī)共振的影響很小.

4 結(jié)論

本文主要研究了周期信號(hào)和白關(guān)聯(lián)的加性和乘性高斯白噪聲激勵(lì)下，周期勢(shì)系統(tǒng)的隨機(jī)共振.利用線性響應(yīng)理論，定義了系統(tǒng)響應(yīng)的幅值和相位差，并作為隨機(jī)共振的判斷標(biāo)準(zhǔn).通過(guò)討論乘性和加性噪聲對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)的功率譜密度、幅值和相位差系統(tǒng)的影響，我們發(fā)現(xiàn)：在系統(tǒng)加性噪聲和關(guān)聯(lián)系數(shù)不變的情況下，通過(guò)調(diào)節(jié)乘性噪聲強(qiáng)度可以達(dá)到隨機(jī)共振.噪聲之間的關(guān)聯(lián)系數(shù)的大小和正負(fù)對(duì)隨機(jī)共振的影響是比較小的.

圖8 系統(tǒng)平均輸出信號(hào)幅值作為Q的函數(shù)隨λ變化的曲線Fig.8 Amplitude of the average output signal tomultiplicative noise curves for differentλ

圖9 系統(tǒng)平均輸出信號(hào)相位差作為Q的函數(shù)隨λ變化的曲線Fig.9 Phase difference of the average output signal to multiplicative noise curves for differentλ

1 Benzi R，Sutera A，Vulpiani A.Themechanism of stochastic resonance.Journal of Physics A，1981，14（11）：L453～L457

2 Benzi R，Parisi G，Vulpiani A.Stochastic resonance in climatic change.Tellus，1982，34（1）：10～16

3 Gammaitoni L，H?nggi P，Hung P，Marchesoni F.Stochastic resonance.Reviews of Modern Physics，1998，70（1）：223～287

4 H?nggi P，Talkner P，Borkovec M.Reaction-rate theory：fifty years after Kramers.Reviews of Modern Physics，1990，62（2）：251～341

5 Glass L.Synchronization and rhythmic processes in physiology.Nature，2001，410：277～284

6 胡崗.隨機(jī)力與非線性系統(tǒng).上海：上?？萍冀逃霭嫔?，1994（Hu G.Stochastic force and nonlinear system. Shanghai：Education Press of Shanghai science and technology，1994（in Chinese））

7 賈洪軍，王江，于海濤，等.Courbage神經(jīng)元映射模型的隨機(jī)共振研究.動(dòng)力學(xué)與控制學(xué)報(bào)，2011，09（3）：263～265 （Jia H J，Wang J，Yu H T，etal.Stochastic resonance analysis on courbagemap-based neuralmodel.Journal of Dynamics and Control，2011，09（3）：263～265（in Chinese））

8 VanWiggeren G D，Roy R.Communication with chaotic lasers.Science，1998，279（5354）：1198～1200

9 Cao L，Wu D J.Bistable kinetic model driven by correlated noises：Unified colored-noise approximation.Physical Review E，1995，52（3）：3228～3231

10 Li JH，Huang Z Q.Nonequilibrium phase transition in the case of correlated noises.Physical Review E，1996，53 （4）：3315～3318

11 Xie CW，Mei D C.Effects of cross-correlated noises on the relaxation time of the bistable system.Chinese Physics Letters，2003，12（11）：1208～1212

12 Xie CW，MeiD C.Effects of correlated noises on the intensity fluctuation of a single-mode laser system.Physics Letters A，2004，323（5）：421～426

13 Mei D C，Xie CW，L Zhang.Effects of cross correlation on the relaxation time ofa bistable system driven by cross-correlated noise.Physical Review E，2003，68（5）：051102～051108

14 Luo X Q，Zhu SQ.Stochastic resonance driven by two different kinds of colored noise in a bistable system.Physical Review E，67（2）：021104～021116

15 Jin Y F，Xu W，Xu M，F(xiàn)ang T.Stochastic resonance in linear system due to dichotomous noisemodulated by bias signal.Journal of Physics A：Mathematical and General，2005，38：3733～3742

16 靳艷飛，徐偉，李偉，徐猛.具有周期信號(hào)調(diào)制噪聲的線性模型的隨機(jī)共振.物理學(xué)報(bào)，2005，54（6）：96～ 101（Jin Y F，Xu W，LiW，Xu M.Stochastic resonance for periodically modulated noise in a linear system.Acta Physica Sinica，2005，54（6）：96～101（in Chinese））

17 李貝，靳艷飛.色關(guān)聯(lián)的色噪聲驅(qū)動(dòng)的分段非線性模型的平均首次穿越時(shí)間.物理學(xué)報(bào)，2013，62（8）：150503（Li B，Jin Y F.The mean first-passage time for piecewise nonlinear system driven by colored correlated additive and multiplicative colored noises.Acta Physica Sinica，2013，62（8）：150503（in Chinese）

18 Hu G.Stochastic resonance in a periodic potential system under a constant force.Physics Letters A，1993，174（3）：247～249

19 Fronzoni L，Mannella R.Stochastic resonance in periodic potentials.Journal of Statistical Physics，1993，70（1-2）：501～512

20 Kim YW，SungW.Does stochastic resonance occur in periodic potentials？Physical Review E，1998，57（6）：R6237～6240

21 Saikia S，Jayannavar A M，Mahato M C.Stochastic resonance in periodic potentials.Physical Review E，2011，83 （6）：061121

22 Reenbohn W L，Pohlong SS，Mangal C，Mahato.Periodically driven underdamped periodic and washboard potential systems：dynamical states and stochastic resonance. Physical Review E，2012，85（3）：031144

23 Mannella R.A gentle introduction to the integration of stochastic differential equations.Stochastic processes in physics，chemistry，and biology.Springer Berlin Heidelberg，2000，557：353～364

STOCHASTIC RESONANCE IN A PERIODIC POTENTIAL SYSTEM DRIVEN BY CORRELATED ADDITIVE AND MULTIPLICATIVEWHITE NOISES*

Liu Kaihe Jin Yanfei Ma Zhengmu

（Department of Mechanics，Beijing Institute of Technology，Beijing 100081，China）

In this paper，the stochastic resonance in a periodic potential system driven by correlated multiplicative and additive white noises is studied.Using the linear response method，the expressions of power spectral density，amplitude of response and phase difference of response are given.The effects of noises on stochastic resonance are also presented.It is found that stochastic resonance occurs by adjusting the intensity ofmultiplicative noise for small noise.Moreover，the value aswell as the plus-minus sign of the correlation between the additive and multiplicative noises have slight influence on the amplitude and phase difference of system response.The curves of amplitude and phase difference of response both exhibit a peak when the intensity ofmultiplicative noise is small，stochastic resonance occurs and energy transfers from noise to signal.With the increase ofmultiplicative noise intensity，stochastic resonance disappears and the noisemakes system from order to disorder.

stochastic resonance，periodic potential system，correlated noises，power spectral density Received 13 March 2015，revised 22 April 2015.

E-mail：jinyf@bit.edu.cn

10.6052/1672-6553-2015-031

*The project supported by the National Natural Science Foundation of China（11272051）

2015-03-13收到第1稿，2015-04-22收到修改稿.

*國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11272051）

E-mail：jinyf@bit.edu.cn