李建強(qiáng) 王修勇 孫洪鑫 陳茂生

（湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湘潭 411201）

基于移相法的結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制時(shí)滯補(bǔ)償效果分析*

李建強(qiáng) 王修勇 孫洪鑫 陳茂生

（湖南科技大學(xué)土木工程學(xué)院，湘潭 411201）

結(jié)構(gòu)控制中由于信號(hào)傳輸及作動(dòng)器機(jī)電轉(zhuǎn)換必然引起時(shí)滯，對控制效果產(chǎn)生不利影響.本文提出了結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制移相法時(shí)滯補(bǔ)償策略，以單自由度結(jié)構(gòu)為算例，分析了時(shí)滯大小、采樣間隔、主動(dòng)控制中權(quán)矩陣取值、結(jié)構(gòu)阻尼比以及速度與位移不同時(shí)滯等情況下移相法的補(bǔ)償效果.結(jié)果表明，移相法對結(jié)構(gòu)時(shí)滯情況具有很好的補(bǔ)償效果，時(shí)滯大小、權(quán)矩陣取值和速度與位移不同時(shí)滯時(shí)，會(huì)影響移相法對結(jié)構(gòu)時(shí)滯補(bǔ)償效果；但采樣間隔，結(jié)構(gòu)阻尼比不會(huì)影響移相法對結(jié)構(gòu)時(shí)滯補(bǔ)償效果.

主動(dòng)控制，時(shí)滯，時(shí)滯補(bǔ)償，移相法

引言

在結(jié)構(gòu)的控制過程中存在著時(shí)滯現(xiàn)象［1-2］，信號(hào)的采集和傳輸、控制器的計(jì)算、作動(dòng)器的作動(dòng)過程等都會(huì)產(chǎn)生時(shí)滯，時(shí)滯對控制系統(tǒng)的性能有很大的影響，將使得控制穩(wěn)定性變差和控制效果降低，甚至可能產(chǎn)生負(fù)效應(yīng)［3-4］.在結(jié)構(gòu)控制時(shí)滯補(bǔ)償研究方面，Abdel-Rohman［5］提出了Taylor級(jí)數(shù)展開法，該方法是將時(shí)滯微分方程的時(shí)滯項(xiàng)按Taylor級(jí)數(shù)進(jìn)行展開，在時(shí)滯量比較小的情況下，對結(jié)構(gòu)時(shí)滯補(bǔ)償情況較好；Mc Greery［6］提出了狀態(tài)預(yù)估法，該方法也利用了Taylor級(jí)數(shù)法，所以用該方法來補(bǔ)償時(shí)滯時(shí)，結(jié)構(gòu)的時(shí)滯量不能過大，而且狀態(tài)預(yù)估法的效率對所估計(jì)狀態(tài)的精度有依賴；Chung等［7］最早提出了移相法，能夠很好地補(bǔ)償結(jié)構(gòu)存在的時(shí)滯情況；田石柱等［8］通過結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制試驗(yàn)，對三種時(shí)滯補(bǔ)償方法的有效性進(jìn)行了理論和實(shí)驗(yàn)研究；孫清等［9］使用磁流變阻尼器對結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制，采用移相法對磁流變中出現(xiàn)的時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償；蔡國平、黃金枝等［10-11］針對離散時(shí)間系統(tǒng)和連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)分別給出一種時(shí)滯問題處理方法，該方法在整個(gè)設(shè)計(jì)過程中無需做任何假設(shè)處理，不但能處理小時(shí)滯量問題，也能處理大時(shí)滯量問題；郭軍慧等［12］研究了大跨空間網(wǎng)格結(jié)構(gòu)風(fēng)致振動(dòng)的改進(jìn)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制方法及控制系統(tǒng)中時(shí)滯問題的神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償方法；劉軍龍等［13］提出了基于位移反饋控制的主動(dòng)增加時(shí)滯補(bǔ)償新方法，大量仿真分析和試驗(yàn)結(jié)果表明所提方法能夠在保證系統(tǒng)穩(wěn)定性的同時(shí)獲得一定可觀的補(bǔ)償效果.雖然國內(nèi)外提出了許多針對時(shí)滯的補(bǔ)償方法，但對于結(jié)構(gòu)及控制參數(shù)如主動(dòng)控制中權(quán)矩陣、結(jié)構(gòu)阻尼比、時(shí)滯大小、采樣間隔與位移和速度時(shí)滯大小等的選取可能會(huì)對控制效果產(chǎn)生影響，目前尚沒有這方面的研究報(bào)道.本文分析了時(shí)滯大小、采樣間隔、主動(dòng)控制中權(quán)矩陣取值、結(jié)構(gòu)阻尼比以及速度與位移不同時(shí)滯等情況下移相法的補(bǔ)償效果.

1 考慮時(shí)滯時(shí)線性控制系統(tǒng)的控制方程

在地震作用下n個(gè)自由度受控結(jié)構(gòu)體系，其運(yùn)動(dòng)方程

式中，M，C和K分別為被控結(jié)構(gòu)體系的質(zhì)量矩陣，阻尼矩陣和剛度矩陣；X（t）為結(jié)構(gòu)體系相對于地面的位移反應(yīng)列向量；Xg（t）為地震加速度輸入；Bs為控制裝置位置矩陣；U（t）為控制力輸入向量；D為地震作用位置矩陣.

設(shè)狀態(tài)向量Z（t）=［X（t）X·（t）］T，則方程（1）轉(zhuǎn)化為狀態(tài)方程

式中，Z（t）為狀態(tài)向量；A為系統(tǒng)矩陣；B為控制裝置位置矩陣；D為地震作用矩陣.

采用經(jīng)典的線性二次型最優(yōu)控制算法時(shí)，二次型目標(biāo)函數(shù)作如下選取

應(yīng)用最優(yōu)控制理論，在滿足外激勵(lì)為零均值的隨機(jī)過程的前提下，得到使此二次型目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最小的最優(yōu)控制力及Riccati方程

式中，tf為外激勵(lì)的作用時(shí)間；Q，R分別為狀態(tài)向量Z（t）和控制力向量U（t）的權(quán)矩陣.

權(quán)矩陣Q、R分別為：

若控制系統(tǒng)存在時(shí)滯τ的情況下，則在t時(shí)刻產(chǎn)生的最優(yōu)控制力為U（t-τ），于是狀態(tài)方程為：

由于時(shí)滯τ的存在，使控制系統(tǒng)利用LQR控制算法計(jì)算得出的控制力不能滿足實(shí)際過程中所需要的最優(yōu)控制力，其結(jié)果是使控制系統(tǒng)的控制效果下降，同無時(shí)滯理想條件相比，結(jié)構(gòu)響應(yīng)增大，不能更好的起到減小振動(dòng)的作用.

2 基于移相法的結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制時(shí)滯補(bǔ)償方法－移相法

由結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制最優(yōu)控制原理可知，對于多自由度系統(tǒng)，第i階模態(tài)對控制力的貢獻(xiàn)可表示為：

然而在實(shí)際的控制過程中，存在著時(shí)滯τ.第i階模態(tài)對控制力的貢獻(xiàn)可表示為：

對g1i和g2i進(jìn)行補(bǔ)償后，位移與速度的增益變成g′1i和g′2i，即：

式中，qi為第i振型坐標(biāo)；g1i和g2i分別為理想情況下的位移和速度反饋增益；g′1i和g′2i分別為修正后的位移和速度反饋增益；τx為位移反饋力時(shí)滯，τx為速度反饋力時(shí)滯.為了使實(shí)際控制系統(tǒng)等價(jià)于理想控制系統(tǒng)，則公式（8）與公式（10）相等，即：

假設(shè)實(shí)際工程中位移反饋力時(shí)滯大小為τx，速度反饋力時(shí)滯大小為τx，則相對于固有頻率為ωi的第i階模態(tài)，位移和速度反饋力的相位分別落后為ωiτx、ωiτx.

圖1 反饋控制力與結(jié)構(gòu)響應(yīng)的相位圖Fig.1 Phasor diagram of the feedback forces and the response for a real system

式中

對于具有n個(gè)自由度的系統(tǒng)，振型補(bǔ)償矩陣De通過Di聚集而成，De為2n×2n維矩陣（即4個(gè)n×n對角矩陣）.四個(gè)子對角矩陣由下式確定：

式中，i=1，2，….

將振型補(bǔ)償矩陣De轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間矩陣D，則可得到

式中，ψs=［ψ0；0ψ］，ψ是系統(tǒng)的陣型矩陣.這樣就可以得到時(shí)滯補(bǔ)償增益矩陣G′

式中，G為理想狀態(tài)下無時(shí)滯的狀態(tài)反饋增益矩陣.

3 移相法時(shí)滯補(bǔ)償控制效果分析

為了說明實(shí)際問題，現(xiàn)以單自由度為例說明：結(jié)構(gòu)質(zhì)量m=1.2×106kg，剛度為k=4.2×107N/ m，阻尼比ζ=0.05、權(quán)矩陣系數(shù)，R= βI.式中，α、β為待定系數(shù)，結(jié)構(gòu)的外干擾為E1 Centro（NS，1940）地震波.

3.1 采樣時(shí)間間隔對補(bǔ)償效果的影響分析

取權(quán)矩陣參數(shù)α=5×103，β=4×10-4，采樣時(shí)間間隔是0.02、0.04、0.06秒時(shí)，計(jì)算的LQR控制結(jié)構(gòu)減振率、時(shí)滯時(shí)結(jié)構(gòu)減振率和補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)的減振率如表1.

表1 不同采樣間隔時(shí)滯補(bǔ)償效果Table 1 Time delay compensation results with different sampling intervals

上表可以看出：（1）從表1看出，在采樣間隔分別為0.02s、0.04s和0.06s而時(shí)滯大小均為0.12s情況下，補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)減振率分別為56.84%、54.22%和56.63%，可以看出采樣間隔的大小對補(bǔ)償效果影響不大；（2）在采樣時(shí)間間隔為0.02s條件下，時(shí)滯大小為0.06s時(shí)補(bǔ)償效果如圖2，時(shí)滯大小為0.18s時(shí)補(bǔ)償效果如圖3，時(shí)滯時(shí)間為0.22s時(shí)補(bǔ)償效果如圖4.總體來看，時(shí)滯較大的情況下移相法補(bǔ)償效果較好，時(shí)滯較小時(shí)補(bǔ)償效果不明顯，采用移相法進(jìn)行時(shí)滯補(bǔ)償都能取得很好的控制效果；（3）采用不同時(shí)間間隔采樣可以得到相似的結(jié)論.

圖2 采樣時(shí)間間隔0.02s時(shí)時(shí)滯0.06s時(shí)補(bǔ)償圖Fig.2 Compensation of0.06s time-delay for the sampling interval of 0.02s

圖3 采樣時(shí)間間隔0.02s時(shí)時(shí)滯0.18s時(shí)的補(bǔ)償圖Fig.3 Compensation of 0.18s time-delay for the sampling interval of 0.02s

圖4 采樣時(shí)間間隔0.02s時(shí)時(shí)滯0.22s時(shí)的補(bǔ)償圖Fig.4 Compensation of0.22s time-delay for the sampling interval of 0.02s

3.2 權(quán)矩陣取值對移相法補(bǔ)償效果的影響分析

由公式（6）知，權(quán)矩陣Q，R的取值跟 α，β的大小有關(guān)，下面討論α，β的變化對移相法補(bǔ)償效果的影響.如表2.

表2 不同α，β情況時(shí)滯補(bǔ)償效果Table 2 Time delay compensation results with differentα，β

可以看得出，參數(shù)α，β的大小對結(jié)構(gòu)減振率和移相法對結(jié)構(gòu)時(shí)滯補(bǔ)償效果沒有影響，而僅與α，β比值的大小有關(guān)；如α，β的值不同，卻α，β比值為1×107時(shí)結(jié)構(gòu)的減振率和補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)的減振率都為58.52%和50.02%.

3.3 結(jié)構(gòu)阻尼比ζ對移相法補(bǔ)償效果的影響分析

在α=5×103，β=4×10-4，時(shí)滯大小為0.18s的情況下，阻尼比ζ從0.01變化到0.1的過程中LQR算法對結(jié)構(gòu)減振率以及移相法對0.18s時(shí)滯補(bǔ)償情況的影響，如圖5.從圖可看出，隨著阻尼比ζ從0.01變化到0.1增大，在時(shí)滯大小相同的情況下，LQR算法得出的結(jié)構(gòu)減振率在減小，對時(shí)滯情況進(jìn)行補(bǔ)償，補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)減振率也在減小，但補(bǔ)償?shù)男Ч緵]變.

圖5 不同阻尼比ξ時(shí)的控制率Fig.5 Control rate under different damping ratioξ

3.4 位移與速度不同時(shí)滯時(shí)移相法補(bǔ)償效果分析

由公式（9）知，位移反饋力時(shí)滯τx和速度反饋力時(shí)滯τx也可以影響著控制力U，假設(shè)位移反饋力時(shí)滯τx和速度反饋力時(shí)滯τx不相同時(shí)，對移相法時(shí)滯補(bǔ)償情況的影響.下面分兩種情況進(jìn)行討論. 3.4.1 情況1—位移時(shí)滯時(shí)間與速度時(shí)滯時(shí)間相差一個(gè)步長

在α=5×103，β=4×10-4，阻尼比ζ=0.05情況下位移與速度相差一個(gè)步長時(shí)移相法對時(shí)滯的補(bǔ)償情況如表3.

從表3可以得知：（1）位移和速度時(shí)滯大小不一致時(shí)，補(bǔ)償效果是不一樣的.如位移時(shí)滯0.08s，速度時(shí)滯0.10s和位移時(shí)滯0.10s，速度時(shí)滯0.08s時(shí)，LQR控制未時(shí)滯結(jié)構(gòu)減振率都為61.42%，但前者時(shí)滯補(bǔ)償結(jié)構(gòu)減振率為60.39%，后者為56.37%；（2）當(dāng)位移與速度時(shí)滯大小相差一個(gè)采樣周期時(shí)，位移時(shí)滯小于速度時(shí)滯時(shí)補(bǔ)償效果優(yōu)于位移時(shí)滯大于速度時(shí)滯的情況.如位移時(shí)滯0.08s，速度時(shí)滯0.10s和位移時(shí)滯0.10s，速度時(shí)滯0.08s時(shí)補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)減振率為60.39%和56.37%，明顯前者接近無時(shí)滯情況下結(jié)構(gòu)減振率61.42%.

3.4.2 情況2—位移時(shí)滯時(shí)間與速度時(shí)滯時(shí)間相差多個(gè)步長

在α=5×103，β=4×10-4，阻尼比ζ=0.05情況下分別固定位移與速度的時(shí)滯讓速度與位移的時(shí)滯大小在變化的情況，看移相法對時(shí)滯補(bǔ)償情況如表4.

從表4可以得知：當(dāng)位移的時(shí)滯大小為0.18s時(shí)，速度時(shí)滯大小從0.10s到0.16s變化的過程中，補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)減振率從42.91%變化到51.18%，但當(dāng)速度的時(shí)滯大小為0.18s時(shí)，位移時(shí)滯大小從0. 10s到0.16s變化的過程中，補(bǔ)償后結(jié)構(gòu)減振率從65.06%變化到56.76%.說明位移時(shí)滯與速度時(shí)滯不同時(shí)，補(bǔ)償效果是不同的.

表3 位移與速度時(shí)滯不同的時(shí)間時(shí)時(shí)滯補(bǔ)償效果Table 3 Time-delay compensation results with different time delay of displacement and velocity

表4 位移與速度時(shí)滯時(shí)間變化時(shí)移相法的補(bǔ)償效果Table 1 Time-delay compensation resultswith time-delay variation of displacement and velocity

4 結(jié)論

本文通過對結(jié)構(gòu)主動(dòng)控制時(shí)滯補(bǔ)償?shù)膮?shù)研究，得出以下結(jié)論

（1）采樣時(shí)間間隔的大小不影響著移相法補(bǔ)償?shù)男Ч?但采樣時(shí)間間隔越大，系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定.

（2）采用移相法對結(jié)構(gòu)時(shí)滯進(jìn)行補(bǔ)償?shù)臅r(shí)候要合理的選用α，β的比值，它的比值影響著控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性.

（3）阻尼比ζ的變化影響著LQR控制的減振率，但不影響補(bǔ)償?shù)男Ч?

（4）速度和位移時(shí)滯不同時(shí)間時(shí)，對移相法的補(bǔ)償效果是不同的，但不管是速度還是位移時(shí)滯補(bǔ)償，移相法都具有較好的補(bǔ)償效果.

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ANALYSISON TIME DELAY COMPENSATION OF ACTIVE CONTROL SYSTEMSBASED ON PHASE SHIFT METHOD*

Li Jianqiang Wang Xiuyong Sun Hongxin Chen Maosheng
（School of Civil Engineering，Hunan University of Science and Technology，Xiangtan 411201，China）

The signal transmission and electromechanical conversion of actuator cause time delay of structural control.Definitely，it adversely affects the control performance.In this paper，a phase shift algorithm for the time-delay of active structural system was proposed.The random earthquake response of structures with single degree of freedom subjected to E1 Centro was studied.The compensation effect of time-delay size，sampling interval，active control weightingmatrix values，structural damping ratio，delays of different speed and displacementwere analyzed based on the phase shiftmethod.The results showed that the phase shiftmethod is absolutely effective.Time-delay size，active controlweightingmatrix values and the delays of different speed and displacementaffect the compensation effect，but the sampling interval and structural damping ratiomake little influence on the compensation effect.

active structural control，time delay，time delay compensation，phase shiftmethod

2 February 2015，revised 19 April2015.

E-mail：xywang＿cs@sina.com

10.6052/1672-6553-2015-026

*The project supported by the National Basic Research Program of China（973 Program-2015CB057702），The National Natural Science Foundation of China（51378203）and the Graduate Research and Innovation Projection In Hunan Province（CX2015B496）

2015-02-02收到第1稿，2015-04-19收到修改稿.

*國家重點(diǎn)基礎(chǔ)研究發(fā)展計(jì)劃（973計(jì)劃）項(xiàng)目（2015CB057702），國家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（51378203）和湖南省研究生科研創(chuàng)新項(xiàng)目（CX2015B496）

E-mail：xywang＿cs@sina.com