陳新民，周天帥，朱冬閣，王建明

（1. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

有限推力變軌的月球探測器發(fā)射軌道設(shè)計

陳新民1，周天帥2，朱冬閣2，王建明2

（1. 中國運載火箭技術(shù)研究院，北京 100076；2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076）

月球探測器的發(fā)射是一個多體問題，也是嚴格的軌道交會問題。發(fā)射軌道方案從理論上有很多種形式，但在工程應(yīng)用中，受到火箭能力、發(fā)射場和測控條件等多種因素制約，方案選擇限制非常嚴格。利用現(xiàn)有火箭，采用有限推力從停泊軌道轉(zhuǎn)移發(fā)射是最常用的一種發(fā)射方式。本文以某典型火箭為例，對采用有限推力變軌方案的奔月軌道設(shè)計流程、發(fā)射方案、軌道設(shè)計方法、精度分析、發(fā)射窗口設(shè)計進行了詳細分析和研究。

有限推力；月球探測；發(fā)射軌道設(shè)計

引用格式：陳新民，周天帥，朱冬閣，等. 有限推力變軌的月球探測器發(fā)射軌道設(shè)計［J］. 深空探測學報，2016，3（3）：253-261.

Reference format: Chen X M， Zhou T S，Zhu D G， et al. Launch trajectory design for lunar probes with finite thrust maneuver ［J］. Journal of Deep Space Exploration，2016， 3（3）：253-261.

0　前　言

月球探測器的發(fā)射是嚴格的軌道交會問題，從軌道動力學上講，是一個多體運動問題。發(fā)射月球衛(wèi)星的軌道方案從理論上有很多種形式，單純從最優(yōu)發(fā)射軌道設(shè)計來講，采用小推力連續(xù)變軌是最為有效的，但從實際工程實施來看，采用有限推力從地球和月球的停泊軌道上轉(zhuǎn)移也是一種經(jīng)濟合理的方式［1］。

連續(xù)小推力軌道機動對空間推進裝置、遠距離、長時間測控控制技術(shù)、衛(wèi)星自主GNC等技術(shù)提出了較高的要求，國外已經(jīng)在這一領(lǐng)域進行了相關(guān)的試驗，并取得成功。受制于大功率、高比沖、高總沖的空間電推進裝置水平限制，國內(nèi)在連續(xù)小推力軌道機動方面尚未應(yīng)用，空間機動主要采用有限推力變軌方式。本文結(jié)合某典型火箭的實際情況，對從圓形過渡軌道進入奔月軌道的有限推力變軌、接近月球的再次機動進入環(huán)月軌道的發(fā)射軌道設(shè)計方法進行了系統(tǒng)研究。該發(fā)射軌道設(shè)計方法論證的火箭方案參與了我國月球探測工程一期、二期工程論證，相關(guān)成果也支撐了后續(xù)的月球探測工程論證。

1　轉(zhuǎn)移軌道的設(shè)計參數(shù)和設(shè)計約束

奔月軌道，可以是雙曲線軌道、也可以是橢圓軌道，取決于加速段提供進入奔月軌道速度。奔月軌道設(shè)計的基本幾何關(guān)系如圖1～圖4所示。圖1和圖2給出了整個奔月軌道相對地球赤道面和月球白道面的關(guān)系；由圖3可以看出，奔月軌道的升交點赤經(jīng)、軌道傾角決定了探測器與月交會的空間位置，當飛行器和月球同時到達奔月軌道與白道的交點（赤經(jīng)和赤緯）時，可以實現(xiàn)飛行器與月球的交會；由圖4可以看出，奔月軌道的軌道形狀和近地點幅角，決定了從近地點到與月球交會的飛行時間。

圖1　近地變軌進入奔月軌道的方式的飛行軌跡示意圖Fig.1　Sketch map of changing orbit from the perigee to earth-lunar transfer trajectory

1.1設(shè)計參數(shù)

根據(jù)以上分析，奔月軌道的主要設(shè)計參數(shù)為：

1）奔月軌道的升交點赤經(jīng)；

圖2　奔月軌道的幾何關(guān)系示意圖Fig.2　Sketch map of earth-lunar transfer trajectory geometry relation

圖3　不同的軌道傾角和升交點經(jīng)度決定了奔月軌道與白道的交點Fig.3　Different Inclination and Longitude of ascending node decide node of earth-lunar transfer trajectory and Moon's orbit

圖4　調(diào)整軌道形狀和近地點幅角可以調(diào)整從近地點出發(fā)至與月球交會時間Fig.4　Adjusting trajectory shape and perigee argument change transfer time

2）奔月軌道軌道傾角；

3）奔月軌道的軌道形狀（半長軸和偏心率）和近地點幅角。

要實現(xiàn)飛行器與月球的交會，軌道設(shè)計是非常嚴格的。在軌道傾角確定的情況下，升交點赤經(jīng)由進入奔月軌道的時間決定，可以通過調(diào)整加速段的起始工作時間來實現(xiàn)。

奔月軌道設(shè)計流程圖如圖5所示。

軌道設(shè)計的相對位置關(guān)系和設(shè)計約束確定后，可以采用迭代制導(dǎo)的軌道設(shè)計方法，通過基于單純形的牛頓迭代法求解。

圖5　奔月軌道設(shè)計流程圖Fig.5　Design flow chart of earth-lunar transfer trajectory

1.2設(shè)計約束

1）運載火箭上升段約束

運載火箭上升段約束具體包括運載能力、滑行時間、射向（以及末級偏航程度）。具體表現(xiàn)為星箭分離點軌道傾角、近地點幅角、升交點經(jīng)度、真近點角等分布在一個相對固定的區(qū)間。

2） 國內(nèi)測控臺站約束

為保證國內(nèi)測控臺站對飛行器軌道機動弧段進行測控，需要對飛行器從起飛到月球的飛行時間加以限制，大致為一天半、兩天半、三天半、四天半、五天半……，此時可保證飛行器軌道機動弧段測量設(shè)備有必要的測量時間和測量仰角要求。從飛行可靠性、能源消耗、測量、控制角度出發(fā)，希望盡量縮短飛行時間。但是，從地球停泊軌道到月球軌道的最佳轉(zhuǎn)移（霍曼轉(zhuǎn)移）軌道飛行時間在5天左右，飛行時間過短，將對火箭的運載能力和軌道機動能力提出過高的要求。

3）交會時月球運動方向

在月球圍繞地球運行一周的時間內(nèi)，奔月飛行器與月球?qū)崿F(xiàn)交會，可以有兩個發(fā)射期，降交發(fā)射期和升交發(fā)射期。

4）交會時飛行器所處軌道弧段

為了調(diào)整飛行器到達月球的時間，可以選擇飛行器在到達遠地點前的升弧段到達月球，實現(xiàn)與月球交會，也可以選擇飛行器在經(jīng)過遠地點后的降弧段到達月球，實現(xiàn)與月球交會。相應(yīng)的軌道分別稱為升弧段交會軌道和降弧段交會軌道。

5）近月點所處位置

發(fā)射月球極軌衛(wèi)星，奔月軌道可以瞄準月球北極上空，也可以瞄準月球南極上空。當?shù)孛鏈y控站位于北半球時，北極近月點奔月軌道測控條件（仰角、斜距、遮蔽角）略優(yōu)于南極近月點奔月軌道。但由于月球直徑僅為地月距離的1%左右，所以兩者差別并不大。

1.3轉(zhuǎn)移軌道的基本類型

入軌點約束通常選為近月點，即近月點高度、近月軌道傾角。

在近地點高度、射向和滑行時間給定后，在DX-II坐標系下的軌道傾角、升交點經(jīng)度、近點幅角、星箭分離點的真近點角也基本隨之確定。

對給定的星箭分離點歷元、轉(zhuǎn)移時間、近地點高度、近地點軌道傾角、星箭分離點的真近點角以及近月點高度和軌道傾角，存在4條不同的發(fā)射軌道［2］。這4條軌道對應(yīng)著探測器位于近地端和近月端變軌時刻不同的升降軌情況，可以用z方向速度的方向（+為升軌，-為降軌）作為判斷依據(jù)，也可以由探測器在轉(zhuǎn)移軌道入軌時刻或者環(huán)月軌道入軌時刻速度與所在位置子午圈的夾角，即速度射向角AZ來判斷，其中AZ＞90°、AZ＜90°分別對應(yīng)的是降軌和升軌的情況。

設(shè)計計算過程中，軌道型號Ⅰ～Ⅳ分別對應(yīng)降降、降升、升降、升升4種類型，前者對應(yīng)近地端轉(zhuǎn)移軌道入軌時刻的情況，后者對應(yīng)近月端環(huán)月軌道入軌時刻的情況，如圖6所示。在本項目中，由于射向角大于90°，因此近地端是降軌出發(fā)，對應(yīng)Ⅰ型和Ⅱ型發(fā)射軌道。

圖6　4種類型的轉(zhuǎn)移軌道示意圖Fig.6　Sketch map of four styles transfer trajectory

2　地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計［3-5］

微分改正算法是軌道設(shè)計中常用的算法。即通過不斷的數(shù)值迭代來改進軌道初始值，從而將本來不滿足約束條件的軌道逐漸改進為滿足約束條件的軌道。描述月球探測器的運動方程為

式（1）決定了t0時刻從初始狀態(tài)量X0出發(fā)的一條軌道，記為

如果對初始狀態(tài)量X0有約束，記約束的個數(shù)為m2，則約束可記為

對本項目所需研究的問題，由于研究對象為發(fā)射軌道，因此初始狀態(tài)量為星箭分離點的狀態(tài)量（即地心天球坐標系下的位置和速度），終了點為近月點。初始狀態(tài)量的約束可記為（即式（4）的具體形式）

式（5）中每式的第一項表示這些量作為狀態(tài)量X0的函數(shù)，可由二體問題的星歷計算得到，而第二項表示預(yù)先設(shè)定的值。事實上，由于預(yù)先設(shè)定的值是在DX-Ⅱ坐標系中給出，因此星歷計算應(yīng)在DX-Ⅱ坐標系中給出，記DX-Ⅱ坐標系中星箭分離點的狀態(tài)量為Y0，則如下轉(zhuǎn)換關(guān)系成立

其中：（GH）為地心天球坐標系下的矢量轉(zhuǎn)為DX-Ⅱ坐標系下的矢量的轉(zhuǎn)換矩陣。

假設(shè)對終了狀態(tài)量X有約束，記約束的個數(shù)為m1，則約束可記為

式（6）的具體形式，即終了狀態(tài)量的約束為

由于X實際是X0的函數(shù)，因此式（7）實際是關(guān)于X0的方程。需要注意的是，實際計算時用到的不是地心天球坐標系下的狀態(tài)量X，而是月心J2000平赤道坐標系下的狀態(tài)量Z，兩者間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為

其中：XM為月球在地心天球坐標系下的位置和速度矢量。矩陣（ROT）為月心天球坐標系到J2000月心平赤道坐標系的轉(zhuǎn)換矩陣。

對固定的星箭分離點歷元及轉(zhuǎn)移時間而言，實際的可調(diào)變量僅有X06個分量，而約束條件卻達8個，因此通常情況下此問題不可解。我們解決此問題的方案是選取式（5）的前三式和式（7）作為約束條件，而通過調(diào)整不同歷元（實際上也可調(diào)整轉(zhuǎn)移時間）來同時達到式（5）后兩式的要求。這樣尋找出來的歷元即為發(fā)射窗口。

以第一列元素的計算為例

將之代入到式（8）即可得到第一列元素，其他列元素的計算相同。顯然，應(yīng)盡可能小，但不可以太小，無量綱時通常選為10-6～10-7較為合適。

3　某三級火箭+上面級地月轉(zhuǎn)移軌道發(fā)射方案

3.1基本思路

本方案基本思路如圖7所示。

圖7　某三級火箭發(fā)射月球衛(wèi)星的軌道方案Fig.7　Trajectory project of three-stage Rocket launching lunar probe

某三級分離前的工作與發(fā)射GTO軌道的飛行情況基本一致，火箭一、二、三級一次工作進入200 km的圓形過渡軌道，滑行一定的時間后，三級二次工作將上面級和衛(wèi)星組合體送入奔月軌道。

采用霍曼變軌，奔月軌道的近地點高度在200 km左右，通過調(diào)節(jié)三級二次的工作時間來調(diào)節(jié)遠地點高度，通過調(diào)節(jié)滑行時間和三級二次工作的俯仰程序角，調(diào)節(jié)奔月軌道的近地點幅角。

3.2典型軌道

3.2.1奔月軌道的初步分析

奔月軌道的近地點高度固定為200 km，奔月軌道的設(shè)計主要通過調(diào)整奔月軌道的軌道傾角、近地點幅角、遠地點高度、進入奔月軌道的時間等來實現(xiàn)。

火箭三級具有側(cè)向機動能力，通過調(diào)整側(cè)向偏航程序來調(diào)整奔月軌道的軌道傾角，根據(jù)運載能力需求調(diào)整軌道傾角變化。奔月軌道的近地點幅角變化范圍在147.40～199.19°之間，遠地點高度通過調(diào)整奔月軌道的速度實現(xiàn)。

下面給出典型的飛行軌道來說明情況。

3.2.2奔月軌道

根據(jù)第2部分地月轉(zhuǎn)移軌道設(shè)計方法，式（5）初始約束取值

式（7）近月點約束取值

經(jīng)微分修正法計算，獲得典型地月轉(zhuǎn)移軌道數(shù)據(jù)如表1所示。

發(fā)射時間：（北京時間）2003年4月11日08時23分32.7秒，4天半奔月軌道；

發(fā)射場：西昌發(fā)射中心，104°射向；

各級箭體落區(qū)與發(fā)射GTO保持一致。

主要特征點參數(shù)如表2、3所示，飛行時序如圖8所示，測站情況如圖9所示，星下軌跡如圖10所示。

表1　典型地月轉(zhuǎn)移軌道Table 1　Characteristic Earth-Moon transfer trajectory parameters

表2　火箭發(fā)射軌道主要特征點參數(shù)Table 2　Characteristic trajectory parameters of rocket

表3　上面級分離后奔月軌道主要特征點參數(shù)Table 3　Characteristic trajectory parameter safter upper-stage separation

圖8　四天半奔月軌道發(fā)射的典型時序Fig.8　Typical flight sequence of four and a half days trajectory

圖9　國內(nèi)兩個典型測控站的測量情況Fig.9　Measure case of two typical measure station

圖10　星下點軌跡Fig.10　Track of satellite point subtrack

3.3精度分析

3.3.1關(guān)于衛(wèi)星入軌精度要求

以100 km的極軌為基礎(chǔ)，入軌精度偏差為±30 km，軌道傾角為±5°作為分析的依據(jù)和對測控的設(shè)計要求。當入軌精度要求放寬時，可以放寬相應(yīng)的測量和控制的精度要求。

3.3.2典型軌道的精度分析

上面的4.5天軌道除進入奔月軌道和進入環(huán)月軌道的時刻位于中國上空外，還有4次經(jīng)過中國上空的機會。精度分配針對進入奔月軌道和中途4次經(jīng)過中國上空的時段進行分析。主要精度特征點于圖11所示。

圖11　精度分析特征節(jié)點Fig.11　Typical events of precision analyse

以下分析基于上面級全自主制導(dǎo)控制方案，以GPS測定上面級運動參數(shù)為基礎(chǔ)，由上面級自主進行。假設(shè)修正結(jié)束后的3個方向的速度、位置誤差都為0.1 m/s，坐標三分量誤差都為200 m。各段的測量和控制精度，對入軌誤差的影響分析如下。

1）2段的精度

2段根據(jù)GPS的測量信息進行的初始軌道修正，測量信息精度為0.05 m/s，坐標最大誤差為30 m，控制精度為速度0.1 m/s，位置200 m，從分析來看，如果不進行中途修正，它引起的環(huán)月軌道誤差如下：

◆ 軌道傾角誤差 8°；

◆ 靠近入軌點的拱點高度誤差150 km；

◆ 另一個拱點高度誤差30 km。

2）3段的精度

3段僅進行測量，飛行器速度最大誤差為0.05 m/s，坐標最大誤差為30 m，采用地面注入的數(shù)據(jù)對飛行器軌道進行中途修正和末端機動控制，除了GPS測量外，不再對飛行器的運動參數(shù)（包括對月運動參數(shù)）進行任何測量。根據(jù)初步計算，衛(wèi)星進入環(huán)月軌道的最大誤差如下：

◆ 靠近月球入軌點的拱點高度誤差55 km；

◆ 另一個拱點高度誤差12 km；

◆ 軌道傾角誤差3°。

3）其他各段的精度

如果還需要提高精度，必須依靠地面更高精度的測量信息，如果要將最終衛(wèi)星的軌道高度控制在30 km的量級，對于4.5 d的奔月軌道，不同時間中途修正，允許的最終修正結(jié)束后的速度和位置誤差和測量精度要求如下：

表4　允許修正后的速度和位置誤差和測量精度要求Table 4　Velocity and position error and measure precision requirement after correction

3.4發(fā)射窗口分析［6］

嚴格的發(fā)射窗口受到航區(qū)、測控、太陽光照、月球遮擋等多種約束限制，發(fā)射窗口的選擇是一個復(fù)雜系統(tǒng)的綜合決策問題，在任務(wù)要求和基本的約束明確后，可以用系統(tǒng)工程的方法分析各種約束條件的合理性，協(xié)調(diào)相互矛盾的因素，建立有關(guān)條件與發(fā)射時間之間的數(shù)學關(guān)系，進行發(fā)射窗口的計算。

這里僅基于運載火箭的性能，對軌道約束決定的從停泊軌道向奔月軌道變軌轉(zhuǎn)移的時間段，即火箭允許發(fā)射的基本時間段進行分析。

月球圍繞地球運動的軌道接近圓形軌道，軌道相對地球赤道的傾角以18.6年為周期在18°19′～28°35′之間變化，對于每個月而言，軌道傾角范圍變化很小，可以認為基本是確定的。月球軌道在地球上星下點軌跡的變化如圖12所示。

圖12　月球軌道在地球上星下點軌跡的變化范圍Fig.12　Change range of moon's orbit point subtrack

月球軌道的軌道傾角決定了月球相對地球的視赤緯的最大范圍A，隨著月球繞地球的周期運轉(zhuǎn)，月球相對地球的視赤緯在這個范圍內(nèi)變化（-A～+A）。

要與月球交會，奔月軌道遠地點所能到達的緯度范圍必須在月球軌道運行的緯度范圍內(nèi)。奔月軌道的軌道傾角和奔月軌道近地點幅角來調(diào)整奔月軌道遠地點緯度。在圓形過渡軌道上，可以通過調(diào)節(jié)滑行時間（來調(diào)整進入奔月軌道的時間），來保證奔月軌道的遠地點視經(jīng)度與月球視赤經(jīng)一致。只要奔月軌道遠地點的緯度范圍小于月球相對地球的視赤緯的范圍，則每天都有一次發(fā)射機會。

對于每天的發(fā)射來說，可以通過調(diào)整進入奔月軌道的遠地點高度、奔月軌道的近地點幅角和軌道傾角設(shè)計幾種奔月軌道，調(diào)整能力取決于運載火箭的運載能力和停泊軌道上滑行時間的調(diào)節(jié)范圍。

當奔月軌道的遠地點緯度調(diào)節(jié)范圍在當月月球軌道傾角范圍以內(nèi)，則發(fā)射機會受到限制。某三級火箭發(fā)射奔月軌道的運載能力及軌道調(diào)節(jié)范圍如表5所示。

考慮月球軌道傾角周期性變化，最小為18.5°左右，最大為28.5°左右，月球每27.3天左右運行一周，其緯度變化范圍在軌道傾角的范圍以內(nèi)。

以奔月軌道傾角36°為例，根據(jù)月球一個運行周期內(nèi)不同月球軌道傾角下星下點軌跡緯度變化范圍與奔月軌道遠地點緯度關(guān)系，確定發(fā)射窗口，如圖13和圖14所示。兩條水平線范圍內(nèi)為可實現(xiàn)發(fā)射窗口。根據(jù)兩個圖形可以看出，月球軌道傾角小時，每個月可以發(fā)射的機會要多一些，根據(jù)火箭奔月軌道遠地點緯度調(diào)節(jié)范圍情況可以看出，當月球軌道傾角為18.5°時，每個月有15天左右的發(fā)射機會，當月球軌道傾角為28.5°時，每個月有10天左右的發(fā)射機會。

表5　某三級火箭火箭發(fā)射奔月軌道運載能力及主要軌道參數(shù)Table 5　Earth-Moon transfer trajectory capcity and mostly trajectory parameters of three-stage rocket

圖13　月球軌道傾角18°時發(fā)射窗口Fig.13　Launch windows when 18° moon's orbit Inclination

圖14　月球軌道傾角28°時發(fā)射窗口Fig.14　Launch windows when 28° moon's orbit Inclination

4　結(jié)束語

奔月軌道的設(shè)計需要考慮運載能力、精度、測控等各方面的設(shè)計約束條件，是一個復(fù)雜的多體動力學問題。本文通過典型軌道的設(shè)計，對采用有限推力變軌方案的奔月軌道設(shè)計流程、發(fā)射方案、軌道設(shè)計方法、精度分析、發(fā)射窗口設(shè)計等進行了詳細介紹，為相關(guān)的研究提供參考。

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電話：（010）88521130

E-mail：chenskyb@sina.com

Launch Trajectory Design for Lunar Probes with Finite Thrust Maneuver

CHEN Xinmin1，ZHOU Tianshuai2，ZHU Dongge2，WANG Jianming2
（1. China Academy of Launch Vehicle Technology，Beijing 100076，China；2. Beijing Institute of Astronautical Systems Engineering，Beijing 100076，China）

To launch a lunar probe is a multi-celestial body problem，and also a strict orbit rendezvous problem. Many launch trajectory plans can be obtained theoretically，but selctions are strictly limited for enginnering applications with many constarints，such as launch capacity，launch site，telemetry and control conditions etc. The most conventional method is to transfer from the parking orbit with finite thrust. This paper takes a typical launch vehicle as an example，the Earth-lunar transfer scheme with constraints are analyzed and studied.

finite thrust；lunar exploration；launch trajectory design

V412.4

A

2095-7777（2016）03-0253-9

10.15982/j.issn.2095-7777.2016.03.009

陳新民（1972- ），男，博士，研究員，主要研究方向：飛行器設(shè)計。

［責任編輯：宋宏］

2016-05-18；

2016-06-19